反比例函数题型的综合提优题

1、 第三讲 反比例函数典型题、常考题复习2学习目标：能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解决实际问题重点难点：综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验合作探究：典型例题讲解一、反比例函数的实际应用问题例1（2010四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是co.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中co的浓度达到4 mg/l，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/l，发生爆炸；爆炸后，空气中的co浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1

2、）求爆炸前后空气中co浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的co浓度达到34 mg/l时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的co浓度降到4 mg/l及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图11【答案】.解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为由图象知过点（0，4）与（7，46）.解得,此时自变量的取值范围是07.(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中) 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为.由图象知

3、过点（7,46），. ,，此时自变量的取值范围是7. （2）当=34时，由得,6+4=34，=5 .撤离的最长时间为7-5=2(小时).撤离的最小速度为32=1.5(km/h). (3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.例2、（反比例函数新颖题）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10c，待加热到100c，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(0c)和通电时间x (min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温

4、和室温为20c，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0x8和8xa时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40c的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源（不可以用上课时间接通饮水机电源）时间节次上午7:20到校7:458:20第一节8:309:05第二节2、 反比例函数与翻折结合问题例1如图，四边形oabc是面积为4的正方形，函数y（x0）的图象经过点b（1）求k的值；（2）将正方形oabc分别沿直线ab、bc翻折，得到正方形m

5、abc、nabc设线段mc、na分别与函数y（x0）的图象交于点e、f，求线段ef所在直线的解析式 例2如图1，在平面直角坐标系中，四边形aobc是矩形，点c的坐标为（4，3），反比例函数y（k0）的图象与矩形aobc的边ac、bc分别相交于点e、f，将cef沿ef对折后，c点恰好落在ob上（1）求证：aoe与bof的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，p点坐标为（2，3），在反比例函数y的图象上是否存在点m、n（m在n的左侧），使得以o、p、m、n为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点m、n的坐标；若不存在，请说明理由三、反比例函数中的探究性问题例1（2010 山东省德州

6、） 探究 (1) 在图1中，已知线段ab，cd，其中点分别为e，f第1题图1oxydbac若a (-1，0)， b (3，0)，则e点坐标为_；若c (-2，2)， d (-2，-1)，则f点坐标为_；(2)在图2中，已知线段ab的端点坐标为a(a，b) ，b(c，d)，求出图中ab中点d的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程oxydb第1题图2a归纳 无论线段ab处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为a(a，b)，b(c，d)， ab中点为d(x，y) 时，x=_，y=_（不必证明）运用 在图2中，一次函数与反比例函数xyy=y=x-2abo第1题图3的图象交点为a，b

7、求出交点a，b的坐标；若以a，o，b，p为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点p的坐标【答案】解： 探究 (1)(1，0)；(-2，)；(2)过点a，d，b三点分别作x轴的垂线，垂足分别为adboxydba， ，则d为ab中点，由平行线分线段成比例定理得=o=xyy=y=x-2aboop即d点的横坐标是同理可得d点的纵坐标是ab中点d的坐标为(，)归纳：，运用 由题意得解得或即交点的坐标为a(-1，-3)，b(3，1) 以ab为对角线时，由上面的结论知ab中点m的坐标为(1，-1) 平行四边形对角线互相平分，om=op，即m为op的中点p点坐标为(2，-2) 同理可得分别以oa，

8、ob为对角线时，点p坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) 满足条件的点p有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) 例2（1）探究新知：如图1，已知abc与abd的面积相等，试判断ab与cd的位置关系，并说明理由（2）结论应用：如图2，点m，n在反比例函数y=（k0）的图象上，过点m作mey轴，过点n作nfx轴，垂足分别为e，f，试证明：mnef；若中的其他条件不变，只改变点m，n的位置如图3所示，请判断mn与ef是否平行【答案】（1）证明：分别过点c，d，作cgab，dhab，垂足为g，h，则cgadhb90 cgdh abc与abd的面积相等， cgdh 四边形cgh

9、d为平行四边形 abcd （2）证明：连结mf，ne 设点m的坐标为（x1，y1），点n的坐标为（x2，y2） 点m，n在反比例函数（k0）的图象上， ， mey轴，nfx轴， oey1，ofx2 sefm， sefn sefm sef n 由（1）中的结论可知：mnef mnef 课堂练习达标训练1、若一次函数y2x1和反比例函数y的图象都经过点（1，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点a在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点a的坐标；（3）利用（2）的结果，若点b的坐标为（2，0），且以点a、o、b、p为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点p的坐标2、已知：如图，正比例函数

10、y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点a(3,2) （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象信息回答问题：在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？（3）m(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3过点m作直线mnx轴，交y轴于点b；过点a作直线acy轴交x轴于点c，交直线mb于点d当四边形oadm的面积为6时，求过点m、a的一次函数解析式和求出线段ma的长能力提升1、（育才二模）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”. 但对于特定度数的已知角，如90角、45角等，是可以用尺规进行三等分的. 如

11、图a，aob90，我们在边ob上取一点c，用尺规以oc为一边向aob内部作等边ocd，作射线od，再用尺规作出dob的角平分线oe，则射线od、oe将aob三等分. 仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的mon三等分（已知mon45）. （不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）图b图a数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角aob置于直角坐标系中，边ob在x轴上、边oa与函数的图象交于点p，以p为圆心、2op长为半径作弧交图象于点r. 分别过点p和r作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点m，连接om得到mob，则mobaob. 要明白帕普斯

12、的方法，请研究以下问题：设、，求直线om对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）. 图c分别过点p和r作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点q. 请说明q点在直线om上，并据此证明mobaob. 2. （2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系xoy中，直线l1过点a（1，0）且与y轴平行，直线l2过点b（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点p点e为直线l2上一点，反比例函数y（k0）的图象过点e与直线l1相交于点f（1）若点e与点p重合，求k的值；（2）连接oeofef若k2，且oef的面积为pef的面积的2倍，求e点的坐标；（3）是否存在点e及y轴上的点m，使得以点mef为顶点的

13、三角形与pef全等？若存在，求e点坐标；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理专题：分类讨论分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；（2）当k2时，点ef分别在p点的右侧和上方，过e作x轴的垂线ec，垂足为c，过f作y轴的垂线fd，垂足为d，ec和fd相交于点g，则四边形ocgd为矩形，再求出sfpe=k2k+1，根据soef=s矩形ocgdsdofsegdsoce即可求出k的值，进而求出e点坐标；（3）当k2时，只可能是mefpef，作fhy轴于h，由fhmmbe可求出bm的值，再在rtmbe中，由勾股定理得，em2=eb2+mb2，求出k的值，进而可得出e点坐标；当k2时，只可能是mfepef，作fqy轴于q，fqmmbe得，可求出bm的值，再在rtmbe中，