第2章 控制系统计算机数字仿真基础

1、自动控制系统计算机仿真,合肥工业大学电气与自动化工程学院,2.0引言,第2章控制系统计算机数字仿真基础,研究的问题数值解法的意义,什么是微分方程（组）？什么是解析解？什么是数值解？数值解法的意义和特点是什么？,现实世界中大多数事物,内部联系非常复杂,找出其状态和状态变化规律之间的相互联系，也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系,此种关系的数学表达就为,微分方程,2.0.1.什么是微分方程?,其状态随着时间、地点、条件的不同而不同,寻找解析解的过程称为求解微分方程组。,一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满足的解称为解析解(或古典解),称为真解

2、或解。,微分方程(组)的解析解?,2.0.2.什么是微分方程(组)的解析解?,2.0.3.什么是微分方程的数值解?,虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义上来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值.,寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。,把这样一组近似解称为微分方程在该范围内的,数值解,在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都无法保证，更何况要求阶的导数,求解数值解,很多微分方程根本求不到问题的解析解,重要手段。,2.0.4.数值求解微分方程的意义,常微分方程的数值解法常用来求近似解,根据提供的算法,通过计算机

3、,便捷地实现,2.0.5.常微分方程数值解法的特点,数值解法得到的近似解(含误差)是一个离散的函数表.,本章主要讨论一阶常微方程的初值问题,2.0.6.基本知识,其中f(x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为初值条件。,各种数值解法,则称f(x,y)对y满足李普希兹条件，L称为Lipschitz常数.,常微分方程的理论指出：,当f(x,y)定义在区域G=(axb,y),若存在正的常数L使：,就可保证方程解的存在唯一性,(Lipschitz)条件,连续系统数字仿真要从时间、数值两方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算。,数值积分法就是利用数值积分的方法对常微分方程

4、(组)建立离散化形式的数学模型差分方程，并求其数值解，也称为数值解法。,设一阶常微分方程,它的解y(t)在区间a,b上是连续变化的。将区间a,b分成若干个小区间，时间间隔为h，在区间积分，得,2.1连续系统数值积分方法,这样在区间a，b每一个离散点tk，均可求出对应的yk（k=1,2,.），作为(2.2)的近似值。数值解法的主要问题就是如何求这些近似值.,待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f(x,y)在a,bR1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a

5、,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。,A问题的引入,2.1.1.欧拉法/折线法,解析解法：（常微分方程理论）只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。,如何求解,步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。,-EulersMethod,B欧拉方法/*EulersMethod*/,EulersMethod,Taylor展开法,B-1显式欧拉方法,几何意义,亦称为欧拉折线法/*Eulerspolygonala

6、rcmethod*/,几何直观是帮助我们寻找解决一个问题的思路的好办法哦,这种方法的几何意义就是把f(t,y)在区间tk,tk+1内的曲边面积用矩形面积近似代替。计算简单，计算量小，而且可以自启动。当h很小时，造成的误差是允许的。该算法具有一阶精度。,欧拉法迭代公式,欧拉法图解,如何提高精度？,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,Ri的主项/*leadingterm*/,EulersMethod,如果单步差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称该公式为p阶方法.这里p为非负整数.显然,阶数越高,方法的精度越高.,Taylor展开式,一元函数的Taylor展开式为:,若某算法的局部

7、截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。,Ri的主项/*leadingterm*/,B-2隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,与显式比较,B-3梯形公式/*trapezoidformula*/,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不

8、用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,B-4中点欧拉公式/*midpointformula*/,假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。,需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Cantyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?,Doyouthinkitpos

9、sible?,Well,callmegreedy,OK,letsmakeitpossible.,C改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/,注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,即：预估-校正法,先用欧拉法预估：,再用梯形公式校正：,将简写:,平均斜率,从yk点开始，既不按该点斜率k1变化，也不按预估点斜率k2变化，而是去两者平均值。,求得校正点yk+1,即,则tk,tk+1上的数值积分为,典型的单步

10、法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:,例1:求解常微分方程初值问题,例子：,由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.,例2取步长h=0.1，用欧拉法求解初值问题,(欧拉公式),解,y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1(0+1)=1.1,y2=y1+hf(x1,y1)=1.1+0.1(0.1+1.1)=1.22y3=y2+hf(x2,y2)=1.22+0.1(0.2+1.22)=1.22+0.142=1.362,y10=y9+hf(x9,y9)=y9+0.1(x9+y9)=3.18748,例3：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固

11、定的x=xn=nh，有,例4用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2,计算过程保留4位小数,解:h=0.2,欧拉迭代格式,当k=0,x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有y(0.2)y1=0.21(401)0.8当k=1,x2=0.4时，已知x1=0.2，y1=0.8，有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.6144当k=2,x3=0.6时，已知x2=0.4，y2=0.6144，有y(0.6)y3=0.20.6144(4-0.40.6144)=0.4613,例5用Euler法求初值问题y=xy2y(0)=0的数值解（取h=0.1n=5)解：f(x,y)=x-y2;x0=y0=0;

12、h=0.1由Euler法的递推公式得：yn+1=yn+0.1(xny2n)yn=0n=0,1,2,3,4,5由上式计算所得数据,n012345xn00.10.20.30.40.5yn000.010.029990.059990.0995,6,2.1.2龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下

13、，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,比较典型的几个2阶龙格-库塔格式,第一种:,第二种:,以上几种递推公式均称为二阶龙格库塔公式，是比较典型的几个常用算法。上述3）法就是预估-校正法。,第三种：,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定

14、这些系数的步骤与前面相似。,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/,三阶龙格库塔迭代公式,四阶龙格库塔迭代公式,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,例子：,四阶龙格库塔公式:,例取步长h=0.2，用四阶龙格库塔公式求下面初值问题的数值解。,解,由公式得,数值解yi与准确解y(xi)的对照见表,准确解是,xi,yi,y(xi),2.1.3数值积分法的稳定性,利用数值积分法进行仿真时常常会出现这样的情况，一个系统本来是稳定的，可是仿真结果却是发散的。这种情况

15、通常是由积分步长选得不合适造成的。,看一个例子：用Euler法求一阶系统的数值解,设计算步长为h，则Euler递推公式为：,当时，数值解是发散的；,当时，数值解等幅振荡；,当时，数值解是收敛的；,微分方程(组)的数值解法，实质上就是将微分方程差分化，然后从初值开始进行迭代运算。显然，要使迭代运算正常进行，首先必须保证这一数值解法的稳定性。所谓数值解法的稳定性，是指在扰动(初始误差、舍入误差、截断误差等)影响下，其计算过程中的累积误差不会随计算步数的增加而无限增长。不同的数值解法对应着不同的差分递推公式。一个数值法是否稳定取决于该差分方程的特征根是否满足稳定性要求。,例：考察隐式欧拉法,可见绝对

16、稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,2.1.4数值积分法的选择,为了有效的对连续系统进行数字仿真，必须针对具体问题，合理地选择算法和计算步长。一般来说，选用数值方法从以下原则考虑。,(1)精度:要求合理地选择数值算法和阶次，当算法和阶次确定后，选择恰当的计算步长。,(2)计算速度:计算速度取决于所用的数值算法和步长大小。在满足精度要求的前提下，选择多步法、显式计算法可以提高速度。当算法取定时，在保证精度的前提下，选择较大步距可以减少仿真计算次数，提高速度。,(3)稳定性：数值算法的稳定性主要与计算步长有关，不同的数值方法对步长有不同的限制范围，且与仿真对象的

17、时间常数也有关。一般来说步长h与系统最小时间常数有以下关系：,总之，仿真算法的选择要兼顾以上3个方面，综合考虑。,2.2.1控制系统的典型结构形式,2-4(a)单输入-单输出开环控制结构图,2.2控制系统的结构及其描述,2-4(b)串联连接,2.单输入-单输出前馈控制结构控制系统结构如图2-5(b)所示。这种结构形式本身仍为开环控制形式，但为补偿输入引起的误差，在已知误差变化规律的情况下，加入补偿环节，对误差作提前修正。补偿环节同样可用任一种数学模型描述。,2-5(a)单输入-单输出前馈控制结构图,2-5(b)并联连接,则偏差,图2-6(a)单输入-单输出闭环控制结构图,称作误差，而此时的闭环

18、系统称作单位反馈系统。,2-6(b)反馈连接,图2-7控制系统拓扑结构图,4.多输入-多输出控制系统结构若干个单输入-单输出控制系统结构形式通过一定方式组合在一起，构成了多输入-多输出控制系统结构形式，用来描述较复杂的多变量控制系统。根据不同的环节组合形式，也有不同的控制结构。如变量和环节有单向耦合作用关系的结构形式见图2-8(a)、交叉反馈耦合作用关系的结构形式见图2-8(b)等。,(a)单向耦合结构(b)交叉反馈耦合结构图2-8多输入-多输出控制结构图,2.2.2控制系统的典型环节,1.比例环节,2.积分环节,3.积分比例环节,4.惯性环节,2.2.2控制系统的典型环节,任何一个复杂的控制

19、系统，都是由一些简单的不同类型的典型环节采用串联、并联、反馈等形式组合而成的。若对常见的一些典型环节能准确地加以定量描述，则复杂系统的描述也只是复杂在各部分的相互连接关系上。采用前述系统关系描述，把这种连接关系用相应的数学关系表达出来，就可以得到在计算机上能方便运行的“仿真模型”。经典控制理论中常见的典型环节如下所述：,(1)比例环节,(2)惯性环节,(3)惯性比例环节,(4)积分环节,(5)比例积分环节,(6)一阶超前滞后环节,(7)二阶振荡环节,选择典型环节,式中，为阻尼比，01时，系统为欠阻尼二阶振荡情况；为无阻尼自然振荡频率。,式中yi(s)为环节i的输出，ui(s)为环节i的输入；n

20、为系统的环节数。用这种环节很容易表示出上述的常用动态环节，而阶振荡环节则只用两个这样的典型环节，并加上一个负反馈即可得到。,其中,每个典型环节都可以写成：,拉氏变换后，写成矩阵的形式：,2.2.3控制系统的连接矩阵,以连接矩阵表示复杂系统各环节之间的连接关系，结合各环节的数学描述，可以构造复杂系统的仿真模型，使得对复杂结构控制系统的仿真变得简单方便。,控制系统的连接矩阵,1,1,1,1,1,1,连接矩阵说明,wij=0,环节j不与环节i相连；wij0,环节j与环节i有连接关系；wij0,环节j与环节i直接相连(wij=1)或通过比例系数相连(wij为任意正实数）wij0,环节j与环节i直接负反

21、馈相连(wij=1或通过比例系数负反馈相连(wij为任意负实数)；特殊地：wii0,环节i单位自反馈(wii=1或wii=1)或通过比例系数自反馈(wii为任意实数)；,2.3控制系统的建模,自动控制系统的建模方法很多，归纳起来有三类：机理建模法、实验建模法、综合建模法。,【例2-1】建立电磁悬浮系统数学模型。电磁悬浮控制系统如图所示。,磁悬浮系统是利用电磁力来控制转子悬浮的空间位置。其工作原理是控制电磁铁绕阻的电流,产生与转子重量等价的电磁力,使得转子稳定悬浮在平衡位置。由于电磁力与悬浮气隙间存在非线性反比关系,这种平衡并不稳定,一旦受到外界干扰(如电压脉动或风),转子就会掉下来或被吸上去,

22、因此须实行闭环控制。采用位置传感器在线获取转子位置信号,控制器对位移信号进行处理产生控制信号,功率放大器根据控制信号产生所需电流并送往电磁铁,电磁铁产生相应磁力克服重力使得转子稳定在平衡点附近。当转子受到干扰向下运动时,转子与电磁铁的距离增大,传感器所敏感的光强增大,其输出电压增大,经过功率放大器处理后,使得电磁铁控制绕组的控制电流增大,电磁力增大,转子被吸回平衡位置,反之亦然。,采用的磁悬浮实验系统主要由铁心、线圈、传感器、控制器、功率放大器及其控制对象转子等元件组成,系统结构如图所示。,实验模型,磁浮列车的诞生,德国是目前全世界磁浮列车技术发展得最成熟的国家，常导式磁浮列车时速达450km

23、/h。日本在规划一条与新干线平行的电磁浮运输系统，超导式磁浮列车将达552km/h。英国、加拿大、西班牙、苏联与中国大陆等地，亦不断跟进进行磁浮列车的研发。,实物模型,磁浮列车沿革,磁浮列車漂浮原理,磁浮列車漂浮原理(吸引型),为德国高速运输系统所採用之漂浮原理。如图所示，在车辆下方内翻部分装有磁力强大的电磁铁（导引电磁铁及磁浮电磁铁），T形轨道底部有钢板(钢板在上，电磁铁在下)。,磁浮列車漂浮原理(吸引型),当电磁铁旁线圈通电后，即产生强大磁力吸引车厢向上浮起，车辆之磁吸引力与重力平衡后可悬浮在轨道上方约一公分高。即使列车在静止时，火车仍然浮在空中。导引电磁铁则能使列车在行驶时保持稳定。,磁浮列車漂浮原理(排斥型),为日本高速运输系统所採用之漂浮原理。如图所示，车上装有超导电磁铁，U型轨道内埋藏线圈。,磁浮列車漂浮原理(排斥型),当列车靠轮子维持稳定前进后，超导电磁铁会使轨道内线圈感应出电流，由电流磁效应产生另一磁场，使车体离开轨道。直到磁力、重力平衡后，列车约离地10公分高。轨道两边另设有电磁铁，让列车能够与轨道维持一定距离。,直观模拟:轨道两侧装