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文档简介
1、-1-习题三解答1.沿下列路线计算积分+idzz302。(1)自原点到i3+的直线段(2)自原点沿实轴至3,再由3沿垂直向上至i3+;(3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向右至i3+。解(1)=,3tytx10t,故ttzi3+=,10t。()dtdzi3+=于是()()dtttdzzi3i32130102+=+()+=1023i3dtt()i3266i33101|i)3(31333+=+=+=t(2)+=i30i30222221dzzdzzdzzdzzcc。1c之参数方程为=,3tytx()10t;2c之参数方程为=,3tyx()10t故()+=+=i301010222i3266ii339
2、dttdttdzz。(3)+=+=i30i0i3i2222243dzzdzzdzzdtzdzzcc。()10i:3=ttzc;()10i3:4+=ttzc,故()+=+=i301010222i32663i3idttdttdzz2分别沿xy=与2xy=算出、积分()+idzyx102i的值。解(1)沿xy=。此时()10i+=tttz。()dtdzi1+=,于是()()()+=+i101022i1iidtttdzyx()()()+=+=+=102i65612i31i1ii1dttt。(2)沿2xy=,此时()10i2+=tttz。()dttdz2i1+=,故()()()+=+i10102222i
3、1iidttttdzyx()()()()+=+=10103222ii12i1i1dtttdttt()i65612i31i1+=+=。3设()zf在单连域d内解析,c为d内任何一条正向简单闭曲线,问()()=0imredzzfdzzfcc是否成立,如果成立,给出证明;如果不成立,举例说明。解未必成立。令()zzf=,1:=zc,则()zf在全平面上解析,但是x3+ic2c1oc3ic4y(z)3-2-()=20rereiicdeedzzf()=+=200icosisincosd()=20iiimimdeedzzfc()=+=200cosisinsind4利用单位圆上1zz=的性质,及柯西积分公式
4、说明2iczdz=?,其中c为正向单位圆周|1z=。解12icczdzdzz=?,(利用柯西积分公式)5计算积分dzzzc的值,其中c为正向圆周:(1)2=z;(2)4=z解(1)因在2|=z上有2|=z,4|2=zzz,从而有zz4=,故有i422|2|2|4=dzzdzdzzzzczz(2)因在c上有4|=z,16|2=zzz,从而有zz16=,故有i844|4|4|16=dzzdzdzzzzczz6利用观察法得出下列积分的值。解利用柯西古萨基本定理和柯西积分公式。7沿指定曲线的正向计算下列各积分。(1)czdzze2,1|2:|=zc(2)22cdzza?,:|czaa=(3)i21zc
5、edzz+?,:|2i|3/2cz=(4)3czdzz?,:|2cz=(5)23,(1)(1)cdzzz?:|1czr=时,331/()|10()zcezazdzza?在上解析,故;当|1a时,32i()|i()2!zzazacedzeeza=?10证明:当c为任何不通过原点的简单闭曲线时,210cdzz=?。证明当原点在曲线c内部时,0212i(1)|0zcdzz=?;当原点在曲线c外部时,21/z在c内解析,故210cdzz=?。11下列两个积分的值是否相等?积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到?为什么?1)|2zzdzz=?;2)|4zzdzz=?解2i|202i0zzdzed
6、z=?;2i|404i0zzdzedz=?,故两个积分的值相等。但不能利用闭路变形原理从1)的值得到,因zz不是一个解析函数。12设区域d为右半平面,z为d内圆周|1z=上的任意一点,用在d内的任意一条曲线c连结原点与z,证明201re.14zd=+证明函数211+在右半平面解析,故在计算从0到z沿任意一条曲线c的积分时与积分路径无关。则i1222i000011i2icos.111422cos2zeddxddxe=+=+(分子分母同乘以2i1e+),-5-b1c1c2b2mnefbgh故201re.14zd=+13设1c与2c为相交于mn、两点的简单闭曲线,它们所围的区域分别为1b与2b。1b
7、与2b的公共部分为b。如果()fz在1bb与2bb内解析,在1c、2c上也解析,证明:12()()ccfzdzfzdz=?。证明在1bb上()fz为解析函数,则由柯西基本定理()0mengmfzdz=?;同理()0mhnfmfzdz=?则()()()()ngmmenmhnnfmfzdzfzdzfzdzfzdz+=+,即12()()ccfzdzfzdz=?。14设c为不经过a与-a的正向简单闭曲线,a为不等于零的任何复数,试就a与-a同c的各种不同位置,计算积分cdzazz22。解(i)当a在c的内部而-a在c的外部时=+=+=cazcazzdzazazzdzazzii222。(ii)当a在c的
8、内部而a在c的外部时,=+=ccazazzdzazazzdzazzii222(iii)当a与a在c的内部时,设1c,2c分别为以aa,为心半径充分小的圆周使21,cc均在c的内部且互不相交也互不包含,则由复合闭路定理及cauchy积分公式得=+=+=ccciiidzazazzdzazazzdzazz21222(iv)当a与a都在c的外部时,由cauchy-gourssat定理得=cdzazz022。15设1c与2c为两条互不包含,也互不相交的正向简单闭曲线,证明:122200100002,1sin2isin,cczzczdzzdzzzzzzzc+=?当在内时,当在内时.证明利用cauchy积分
9、公式,01zc当在内时,01222001|2izzczdzzzzz=?,而201sin02iczdzzz=?;02zc当在内时,120102iczdzzz=?,而02001sinsin|sin2izzczdzzzzz=?。故结论成立。16设函数()zf在1|0z内解析,且沿任何圆周c:rz=|,10r的积分为零,问()zf是否需在z=0处解析?试举例说明之。解不一定。如令()21zzf=,则其在1|0z内解析,且沿任何圆周c:rz=|,10。解1)2222363,363xyuxxyyuxxyy=+=,则22222()i363i(363)3(1)xyfzuuxxyyxxyyiz=+=,故3()(
10、1)i,fzizcc=+?;2)222222222222222222i1()ii()()()()yxxyxyxyxyzfzvvxyxyxyzzz=+=+=+,故111(),(2)0()2fzcffzzz=+=又,则;3)()i22i(1)2i(1i)2i(1)xyfzuuyxxyz=+=,故22()i(1),(2)i()i(1)fzzcffzz=+=又,则;4)222222i1()iiyxxyxyzfzvvxyxyxyzzz=+=+=+,故()ln,fzzcc=+?。31设sinpxvey=,求p的值使v为调和函数,并求出解析函数()ifzuv=+。解2sin(1)0pxxxyyvveyp+=
11、,知1p=。当1p=时,(),zfzecc=+?;当1p=时,(),zfzecc=+?。32如果(,)uxy是区域d内的调和函数,c为d内以0z为中心的任何一个正向圆周:0|zzr=,它的内部完全含于d。试证:1)(,)uxy在00(,)xy的值等于(,)uxy在圆周c上的平均值,即2000001(,)(cos,sin)2uxyuxryrd=+;2)(,)uxy在00(,)xy的值等于(,)uxy在圆域00|zzr上的平均值,即02000020001(,)(cos,sin)ruxyuxryrrddrr=+。证明1)由平均值公式(p86)-9-20001()(e)2ifzfzrd=+只取其实部有
12、:2000001(,)(cos,sin)2uxyuxryrd=+;2)由1)知002000000220000011(cos,sin)2(,)(,)rruxryrrddruxyrdruxyrr+=。33如果()ifzuv=+在区域d内处处解析,c为d内的正向圆周:|zr=,它的内部完全含于d。设z为c内一点,并令2/zrz=?,试证2()()0ccfzfddzzr=?。证明因z为c内一点,22|/|/|rzrzrzrrz=?,故()fz?在c及其内部解析。由cauchy基本定理知:2()()0ccfzfddzzr=?。34根据柯西积分公式与习题33的结果,证明222111()()()()2i2i
13、()()cczrzzffzfddzrzzrz=+=?,其中c为|zr=|.证明由柯西积分公式有:1()()2icffzdz=?;而由33题结果知2()0czfdzr=?,故将这两式相减即得。35如果令iie,erzr=,验证222/i.()()()()r2cos()dddzrzzzrrr=+并由34题的结果,证明22i22201()(e)()22cos()rrfrfzdrrrr=+.取其实部,得2222201()(cos,sin)(,)(cos,sin)22cos()rrurruxyurrdrrrr=+这个积分称为泊松(poisson)积分。通过这个公式,一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的值来表示。证明2irrrre=,故22/.()()()()()()dddrzrzzzzz=又iidiredidre=,22()()2cos()zzrrrr=+,故-10-22/i()()2cos()ddzzrrrr=+。又由34题知222i2221()()1()(e)()2i()()22cos()ccrzzfrrfrdfzdzrzrrrr=+?。36设()fz在简单闭曲线c内及c上解析,且不恒为常数,n为正整数.1)试用柯西积分公式证明:1()()2inncffzdz=?.2)设m为|()|f在c上的最大值,l为c的长,d为z到c的最短距离,试用积分估值公式(3.1.1
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