复变函数习题解答-3

1、-1-习题三解答1.沿下列路线计算积分+idzz302。（1）自原点到i3+的直线段（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至i3+；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向右至i3+。解（1）=,3tytx10t，故ttzi3+=，10t。()dtdzi3+=于是()()dtttdzzi3i32130102+=+()+=1023i3dtt()i3266i33101|i)3(31333+=+=+=t（2）+=i30i30222221dzzdzzdzzdzzcc。1c之参数方程为=,3tytx()10t；2c之参数方程为=,3tyx()10t故()+=+=i301010222i3266ii339

2、dttdttdzz。（3）+=+=i30i0i3i2222243dzzdzzdzzdtzdzzcc。()10i:3=ttzc；()10i3:4+=ttzc，故()+=+=i301010222i32663i3idttdttdzz2分别沿xy=与2xy=算出、积分()+idzyx102i的值。解（1）沿xy=。此时()10i+=tttz。()dtdzi1+=，于是()()()+=+i101022i1iidtttdzyx()()()+=+=+=102i65612i31i1ii1dttt。（2）沿2xy=，此时()10i2+=tttz。()dttdz2i1+=，故()()()+=+i10102222i

3、1iidttttdzyx()()()()+=+=10103222ii12i1i1dtttdttt()i65612i31i1+=+=。3设()zf在单连域d内解析，c为d内任何一条正向简单闭曲线，问()()=0imredzzfdzzfcc是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解未必成立。令()zzf=，1:=zc，则()zf在全平面上解析，但是x3+ic2c1oc3ic4y(z)3-2-()=20rereiicdeedzzf()=+=200icosisincosd()=20iiimimdeedzzfc()=+=200cosisinsind4利用单位圆上1zz=的性质，及柯西积分公式

4、说明2iczdz=?，其中c为正向单位圆周|1z=。解12icczdzdzz=?，（利用柯西积分公式）5计算积分dzzzc的值，其中c为正向圆周：（1）2=z；（2）4=z解（1）因在2|=z上有2|=z，4|2=zzz，从而有zz4=，故有i422|2|2|4=dzzdzdzzzzczz（2）因在c上有4|=z，16|2=zzz，从而有zz16=，故有i844|4|4|16=dzzdzdzzzzczz6利用观察法得出下列积分的值。解利用柯西古萨基本定理和柯西积分公式。7沿指定曲线的正向计算下列各积分。（1）czdzze2，1|2:|=zc（2）22cdzza?，:|czaa=（3）i21zc

5、edzz+?，:|2i|3/2cz=（4）3czdzz?，:|2cz=（5）23,(1)(1)cdzzz?:|1czr=时，331/()|10()zcezazdzza?在上解析，故；当|1a时，32i()|i()2!zzazacedzeeza=?10证明：当c为任何不通过原点的简单闭曲线时，210cdzz=?。证明当原点在曲线c内部时，0212i(1)|0zcdzz=?；当原点在曲线c外部时，21/z在c内解析，故210cdzz=?。11下列两个积分的值是否相等？积分2）的值能否利用闭路变形原理从1）的值得到？为什么？1）|2zzdzz=?；2）|4zzdzz=?解2i|202i0zzdzed

6、z=?；2i|404i0zzdzedz=?，故两个积分的值相等。但不能利用闭路变形原理从1）的值得到，因zz不是一个解析函数。12设区域d为右半平面，z为d内圆周|1z=上的任意一点，用在d内的任意一条曲线c连结原点与z，证明201re.14zd=+证明函数211+在右半平面解析，故在计算从0到z沿任意一条曲线c的积分时与积分路径无关。则i1222i000011i2icos.111422cos2zeddxddxe=+=+（分子分母同乘以2i1e+），-5-b1c1c2b2mnefbgh故201re.14zd=+13设1c与2c为相交于mn、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1b与2b。1b

7、与2b的公共部分为b。如果()fz在1bb与2bb内解析，在1c、2c上也解析，证明：12()()ccfzdzfzdz=?。证明在1bb上()fz为解析函数，则由柯西基本定理()0mengmfzdz=?；同理()0mhnfmfzdz=?则()()()()ngmmenmhnnfmfzdzfzdzfzdzfzdz+=+，即12()()ccfzdzfzdz=?。14设c为不经过a与-a的正向简单闭曲线，a为不等于零的任何复数，试就a与-a同c的各种不同位置，计算积分cdzazz22。解（i）当a在c的内部而-a在c的外部时=+=+=cazcazzdzazazzdzazzii222。（ii）当a在c的

8、内部而a在c的外部时，=+=ccazazzdzazazzdzazzii222（iii）当a与a在c的内部时，设1c,2c分别为以aa,为心半径充分小的圆周使21,cc均在c的内部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及cauchy积分公式得=+=+=ccciiidzazazzdzazazzdzazz21222（iv）当a与a都在c的外部时，由cauchy-gourssat定理得=cdzazz022。15设1c与2c为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明：122200100002,1sin2isin,cczzczdzzdzzzzzzzc+=?当在内时,当在内时.证明利用cauchy积分

9、公式，01zc当在内时,01222001|2izzczdzzzzz=?，而201sin02iczdzzz=?；02zc当在内时,120102iczdzzz=?，而02001sinsin|sin2izzczdzzzzz=?。故结论成立。16设函数()zf在1|0z内解析，且沿任何圆周c：rz=|，10r的积分为零，问()zf是否需在z=0处解析？试举例说明之。解不一定。如令()21zzf=，则其在1|0z内解析，且沿任何圆周c：rz=|，10。解1）2222363,363xyuxxyyuxxyy=+=，则22222()i363i(363)3(1)xyfzuuxxyyxxyyiz=+=，故3()(

10、1)i,fzizcc=+?；2）222222222222222222i1()ii()()()()yxxyxyxyxyzfzvvxyxyxyzzz=+=+=+，故111(),(2)0()2fzcffzzz=+=又，则；3）()i22i(1)2i(1i)2i(1)xyfzuuyxxyz=+=，故22()i(1),(2)i()i(1)fzzcffzz=+=又，则；4）222222i1()iiyxxyxyzfzvvxyxyxyzzz=+=+=+，故()ln,fzzcc=+?。31设sinpxvey=，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数()ifzuv=+。解2sin(1)0pxxxyyvveyp+=

11、，知1p=。当1p=时，(),zfzecc=+?；当1p=时，(),zfzecc=+?。32如果(,)uxy是区域d内的调和函数，c为d内以0z为中心的任何一个正向圆周：0|zzr=，它的内部完全含于d。试证：1）(,)uxy在00(,)xy的值等于(,)uxy在圆周c上的平均值，即2000001(,)(cos,sin)2uxyuxryrd=+；2）(,)uxy在00(,)xy的值等于(,)uxy在圆域00|zzr上的平均值，即02000020001(,)(cos,sin)ruxyuxryrrddrr=+。证明1）由平均值公式（p86）-9-20001()(e)2ifzfzrd=+只取其实部有

12、：2000001(,)(cos,sin)2uxyuxryrd=+；2）由1）知002000000220000011(cos,sin)2(,)(,)rruxryrrddruxyrdruxyrr+=。33如果()ifzuv=+在区域d内处处解析，c为d内的正向圆周：|zr=，它的内部完全含于d。设z为c内一点，并令2/zrz=?，试证2()()0ccfzfddzzr=?。证明因z为c内一点，22|/|/|rzrzrzrrz=?，故()fz?在c及其内部解析。由cauchy基本定理知：2()()0ccfzfddzzr=?。34根据柯西积分公式与习题33的结果，证明222111()()()()2i2i

13、()()cczrzzffzfddzrzzrz=+=?，其中c为|zr=|.证明由柯西积分公式有：1()()2icffzdz=?；而由33题结果知2()0czfdzr=?，故将这两式相减即得。35如果令iie,erzr=，验证222/i.()()()()r2cos()dddzrzzzrrr=+并由34题的结果，证明22i22201()(e)()22cos()rrfrfzdrrrr=+.取其实部，得2222201()(cos,sin)(,)(cos,sin)22cos()rrurruxyurrdrrrr=+这个积分称为泊松（poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的值来表示。证明2irrrre=，故22/.()()()()()()dddrzrzzzzz=又iidiredidre=，22()()2cos()zzrrrr=+，故-10-22/i()()2cos()ddzzrrrr=+。又由34题知222i2221()()1()(e)()2i()()22cos()ccrzzfrrfrdfzdzrzrrrr=+?。36设()fz在简单闭曲线c内及c上解析，且不恒为常数，n为正整数.1）试用柯西积分公式证明：1()()2inncffzdz=?.2）设m为|()|f在c上的最大值，l为c的长，d为z到c的最短距离，试用积分估值公式（3.1.1