复变函数 2.3初等多值解析函数

1、第三节初等多值解析函数,2.3.1根式函数,2.3.2对数函数,2.3.3一般幂函数与一般指数函数,2.3.4具有多个有限支点的情形,2.3.5反三角函数和反双曲函数,2.3.6小结与思考,2,定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域d内有定义,且对d内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数f(z)在d内是单叶的.并且称区域d为f(z)的单叶性区域.显然,区域d到区域g的单叶满变换w=f(z)就是d到g的一一变换.f(z)=z2不是c上的单叶函数.f(z)=z3是c上的单叶函数,3,2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域,设有幂函数:w=zn令z=rei,w=ei,则：

2、w=znei=rnein=rn,=n于是得到幂函数有如下的变换性质：,z平面,w平面,射线=0,射线=n0,圆周r=r0,圆周=r0n,4,w=zn,z平面,w平面,射线=0,射线=n0,圆周r=r0,圆周=r0n,0,n0,角域00,射线0n0,),),),5,从原点起沿负实轴剪开的w平面,g0,z平面,w平面,w=zn,角域00,角域0n0,上岸,下岸,6,映射特点:,幂函数w=zn(n1)单叶性区域是顶点在原点，张度不超过2/n的角形区域,的角形域,但张角变成为原来的n倍.,是幂函数的单叶性区域的一种分法,总之：,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点,7,2.3.1根式函数,定义2.

3、9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：,i.e.根式函数,为幂函数z=wn的反函数.,(1)根式函数的多值性.,8,(2)分出根式函数的单值解析分支.,1)产生多值的原因.,产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值,9,2)解决的办法.,限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2,理论上的的做法：,从原点o起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为g)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究,常用的做法：,从原点起沿着负实轴将z平面割破：,z,g,10,结论：,从原

4、点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:,分成如下的n个单值函数：,定义域为,wk在gk上解析,且,11,g1,3,g0,-,-,t0,t1,t2,g2,3,5,12,2.3.2对数函数,1.定义,说明：,w=lnz是指数函数ew=z的反函数,lnz一般不能写成lnz,2.计算公式及多值性说明：,13,由于argz的多值性导致w=lnz是一个具有无穷多值的多值函数,规定：,为对数函数lnz的主值,于是：,z的主辐角,14,特殊地,15,例4,解,注意:在实对数函数中,零和负数无对数,这一点在复对数函数中不再成立.,16,例5,解,17,例6,解,18,19,2.性质,20,证(3),证毕,

5、21,(3)(4)错了,例：,错了，同志哥！,决不会相等！,原因,bernoulli悖论,lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加,a=0,1a+a=0,1,22a=0,2a+a2a,22,3.分出w=lnz的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将,对数函数w=lnz分成如下n个单值解析分支：,定义域为,wk在gk上解析,且,23,2.3.3一般幂函数与一般指函数,1.一般幂函数,称为z的一般幂数函数,2.一般指数函数,称为z的一般指数函数,都是多值函数，适当割破z平面，都可转化为单值函数,24,注意:,1.一般幂函数,称为z的一般幂数函数,25,26,特殊情况:,27,28,例7,解,答案,课堂练习,29,例8,解,30,2.幂函数的解析性,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,31,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,32,2.3.4反三角函数和反双曲函数,1.反三角函数的定义,两端取对数得,33,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:,2.反双曲函数的定义,34,例14,解,35,2.3.6小结与思