(经典)中考数学几何题总汇

1、中考数学集合专题中考数学集合专题知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。精典例题：【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且ba，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A、bLa33B、aLba2)(2C、abLba262D、baLba23分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B变式与思考：在ABC中，AC5，中线AD7，则AB边的取值范围是（）A、1AB29B、4AB24C、5AB19D、

2、9AB19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。【例2】如图，已知ABC中，ABC450，ACB610，延长BC至E，使CEAC，延长CB至D，使DBAB，求DAE的度数。分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE的度数，即可求得DAE的度数。略解：ABDB，ACCED21ABC，E21ACBDE21（ABCACB）530DAE1800（DE）1270探索与创新：【问题一】如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上。（1）点P是ABC内任一点，求证：PA；（2）试判断在ABC外，又和点

3、A在直线l的同侧，是否存在一点Q，使BQCA，并证明你的结论。nmll问题一图CBACBA分析与结论：（1）连结AP，易证明PA；（2）存在，怎样的角与A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造ABC的外接O，易知弦BC所对且顶点在弧AmB，和弧AnC上的圆周角都与A相等，因此点Q应在弓形AmB和AnC内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。【问题二】如图，已知P是等边ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？分析与结论：（1）DE是AED与四边形EBCD的公共边，只须证明ADAEBEBCCD（2）既有等边

4、三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。略解：在等边ABC中，BC600又PEAB于E，PDAC于DBPECPD300例2图EDCBA问题二图EDPCBA不妨设等边ABC的边长为1，BEx，CDy，那么：BPx2，PCy2，21yx，而AEx1，ADy1AEAD23)(2yx又BECDBC231)(yxADAEBEBCCD从而ADAEDEBEBCCDDE即AED的周长等于四边形EBCD的周长。评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。跟踪训练：一、填空题：1、三角形的三边为1，a

5、1，9，则a的取值范围是。2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为。3、在ABC中，若C2（AB），则C度。4、如果ABC的一个外角等于1500，且BC，则A。5、如果ABC中，ACB900，CD是AB边上的高，则与A相等的角是。6、如图，在ABC中，A800，ABC和ACB的外角平分线相交于点D，那么BDC。7、如图，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周长为28cm，则DB。8、纸片ABC中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内（如图），若1200，则2的度数为。9、在ABC中，A500，高BE、CF交于点

6、O，则BOC。10、若ABC的三边分别为a、b、c，要使整式0)(mcbacba，则整数m应为。第6题图FEDCBA第7题图EDCBA二、选择题：1、若ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（）A、6个B、7个C、8个D、9个2、在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，则A的度数为（）A、300B、360C、450D、7203、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（）A、7B、11C、7或11D、不能确定4、在ABC中，B500，ABAC，则A的取值范围是（）A、00A1800B、00A800C、500A1300D、800A1300

7、5、若、是三角形的三个内角，而x，y，z，那么x、y、z中，锐角的个数的错误判断是（）A、可能没有锐角B、可能有一个锐角C、可能有两个锐角D、最多一个锐角6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形三、解答题：1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？3、如图，在ABC中，A960，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于1A，1ABC

8、与1ACD的平分线相交于2A，依此类推，4ABC与4ACD的平分线相交于5A，则5A的大小是多少？4、如图，已知OAa，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON600，填空：（1）当OP时，AOP为等边三角形；（2）当OP时，AOP为直角三角形；（3）当OP满足时，AOP为锐角三角形；（4）当OP满足时，AOP为钝角三角形。2A1A第3题图DCBAa060第4题图NPOA一、填空题：1、79a；2、2；3、1200；4、300或1200；5、DCB；6、500；7、8cm；8、600；9、1300；10、偶数。二、选择题：CBCBCB三、解答题：1、6种（4、8、8；4、8、10

9、；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）2、可以，设延伸部分为a，则长为a2，a3，a5的三条线段中，a5最长，0)5()3()2(aaaa只要0a，长为a2，a3，a5的三条线段可以组成三角形设长为a5的线段所对的角为，则为ABC的最大角又由12)5()3()2(2222aaaa当0122a，即32a时，ABC为直角三角形。3、304、（1）a；（2）a2或2a；（3）2aOPa2；（4）0OP2a或OPa22.全等三角形全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。精典例题：【例1】如图，已

10、知ABBC，DCBC，E在BC上，AEAD，ABBC。求证：CECD。分析：作AFCD的延长线（证明略）评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。例1图FEDCBA例2图21EDCBA问题一图PE4321CBA【例2】如图，已知在ABC中，C2B，12，求证：ABACCD。分析：采用截长补短法，延长AC至E，使AEAB，连结DE；也可在AB上截取AEAC，再证明EBCD（证明略）。探索与创新：【问

11、题一】阅读下题：如图，P是ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EBEC，12，求证：APBC。证明：在ABE和ACE中，EBEC，AEAE，12ABEACE（第一步）ABAC，34（第二步）APBC（等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：BECEEBCECB又12ABCACB，ABACABEACE（SAS）34又ABACAPBC评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅

12、读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有

13、效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。跟踪训练：一、填空题：1、若ABCEFG，且B600，FGEE560，则A度。2、如图，ABEFDC，ABC900，ABDC，那么图中有全等三角形对。3、如图，在ABC中，C900，BC40，AD是BAC的平分线交BC于D，且DCDB35，则点D到AB的距离是。第2题图FEDCBA第3题图DCBA第4题图HEDCBA4、如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的

14、条件：，使AEHCEB。5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段（不包括ABCD和ADBC）。6、如图，EF900，BC，AEAF。给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN。其中正确的结论是（填序号）。二、选择题：1、如图，ADAB，EAAC，AEAD，ABAC，则下列结论中正确的是（）A、ADFAEGB、ABEACDC、BMFCNGD、ADCABE填空第5题图OEDCBA填空第6题图21FNMEDCBA选择第1题图MGFEDCBA2、如图，AEAF，ABAC，EC与BF交于点O，A600，B250，则EOB的度数为（）A

15、、600B、700C、750D、8503、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互补或相等选择第2题图OFECBA选择第4题图PDCBA4、如图，在ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PBm，PCn，ABc，ACb，则)(nm与)(cb的大小关系是（）A、nmcbB、nmcbC、nmcbD、无法确定三、解答题：1、如图，12，34，ECAD。求证：ABE和BDC是等腰三角形。解答题第1题图D4321ECBA解答题第2题图DFECBA2、如图，ABAE，ABCAED，BCED，点F是CD的中点

16、。（1）求证：AFCD；（2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。3、（1）已知，在ABC和DEF中，ABDE，BCEF，BACEDF1000，求证：ABCDEF；（2）上问中，若将条件改为ABDE，BCEF，BACEDF700，结论是否还成立，为什么？4、如图，已知MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且ABCD，P为MON的平分线上一点。问：（1）ABP与PCD是否全等？请说明理由。（2）ABP与PCD的面积是否相等？请说明理由。解答题第5题图DEFCBA5、如图，已知CEAB，DFAB，点E、F分别为垂足，且ACBD。（1）根据所给条件，指出ACE和BDF具有

17、什么关系？请你对结论予以证明。（2）若ACE和BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。参考答案一、填空题：1、32；2、3；3、15；4、AHBC或EAEC或EHEB等；5、DCDE或BCBE或OAOE等；6、二、选择题：BBDA三、解答题：1、略；2、（1）略；（2）AFBE，AF平分BE等；3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；4、（1）不一定全等，因ABP与PCD中，只有ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为OP为MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即ABP中AB边上的高与PCD中CD边上的高相等，

18、又根据ABCD（即底边也相等）从而ABP与PCD的面积相等。5、（1）ACE和BDF的对应角相等；（2）略4.直角三角形、勾股定理、面积直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。精典例题：【例1】如图，在四边形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，则AB？分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。答案：338例1图32EDCBA例2图QPCBA【例2】如图，P为AB

19、C边BC上一点，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度数。分析：本题不能简单地由角的关系推出ACB的度数，而应综合运用条件PC2PB及APC600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。答案：ACB750（提示：过C作CQAP于Q，连结BQ，则AQBQCQ）探索与创新：【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN300，点A处有一所中学，AP160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A点）

20、距离公路（MN）的最近距离（AD80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。略解：作ADMN于D，在RtADP中，易知AD80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AEAF100，根据勾股定理和垂径定理知：EDFD60，EF120，从而学校受噪声影响的时间为：150118000120t（小时）24（秒）评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。问题一图FEDAQPNM【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图1

21、2，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：（1）如图1，由点A作ADBC，垂足为D。AB220，B30AD110（千米）。由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。（2

22、）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AEAF160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：1530502701101602222ADAEDE。EF6015（千米）。该台风中心以15千米时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为154151560（小时）。（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12201106.5（级）。评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作ADB

23、C于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AEAF160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。跟踪训练：一、填空题：1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x，则x的取值范围是。2、如图，D为ABC的边BC上的一点，已知AB13，AD12，BD5，ACBC，则BC。第2题图13125DCBA第3题图DCBA第5题图DCBA3、如图，四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B900，则DAB。4、等腰ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则ABCS。5、如图，ABC中，BAC900，B2C，D点在BC上，AD平分BAC，若AB1

24、，则BD的长为。6、已知RtABC中，C900，AB边上的中线长为2，且ACBC6，则ABCS。7、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且AOD600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF。第7题图FEODCBA第8题图EQPDCBA第9题图DCBA8、如图，点D、E是等边ABC的BC、AC上的点，且CDAE，AD、BE相交于P点，BQAD。已知PE1，PQ3，则AD。9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是。二、选择题：1、如图，已知ABC中，AQPQ，PRPS，

25、PRAB于R，PSAC于S，则三个结论：ASAR；QPAR；BRPQSP中（）A、全部正确B、仅和正确C、仅正确D、仅和正确2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定3、在四边形ABCD中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD3，则ACB的度数是（）A、大于900B、小于900C、等于900D、不能确定第1题图SRQPCBA第4题图OCBA4、如图，已知ABC中，B900，AB3，BC3，OAOC6，则OAB的度数为（）A、100B、150C、200D、250三、解答题：1、阅

26、读下面的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足42222acbca4b，试判断ABC的形状。解：42222acbca4b)()(2222222bababac222cbaABC是直角三角形。问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）错误的原因是；（3）本题的正确结论是。2、已知ABC中，BAC750，C600，BC33，求AB、AC的长。3、如图，ABC中，AD是高，CE是中线，DCBE，DGCE于G。（1）求证：G是CE的中点；（2）B2BCE。第3题图GEDCBA第4题图CBA4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，ACB900，BC

27、60米，A360。（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。参考数据：sin3600.5878，sin5400.80905、已知ABC的两边AB、AC的长是方程023)32(22kkxkx的两个实数根，第三边BC5。（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。参考答案一、填空题：1、10或72；2、16.9；

28、3、1350；4、33cm2；5、13；6、5；7、48、7；9、49二、选择题：BDCB三、解答题：1、（1）；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过A作ADBC于D，则AB23，AC323、提示：连结ED4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。5、（1）2；（2）k4或3，当k4时，面积为12。5.角平分线、垂直平分线角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在ABC中，ABAC，B300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF2BF。分析一

29、：要证明CF2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BFAF。问题转化为证CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF2AF2BF。分析二：要证明CF2BF，联想B300，EF是AB的中垂线，可过点A作AGEF交FC于G后，得到含300角的RtABG，且EF是RtABG的中位线，因此BG2BF2AG，再设法证明AGGC，即有BFFGGC。例题图1FECBA例题图2GFECBA分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADBC于D，则BDCD，考虑到B300，不妨设EF1，再用勾股定理计算便可得

30、证。以上三种分析的证明略。例题图3DFECBA问题图321EDCBA探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC中，AD是角平分线。求证：ACABDCBD。分析：要证ACABDCBD，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，ABD与ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式ACABDCBD中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例

31、项AE，这样，证明ACABDCBD就可以转化为证AEAC。证明：过C作CEAD交BA的延长线于ECEADE13221E3AEACCEADAEABDCBDACABDCBD（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）数形结合思想转化思想分类讨论思想答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是ABC中BAC的角平分线，AB5cm，AC4cm，BC7cm，求BD的长。答案：935cm评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题：1、如图，A520，O是AB

32、、AC的垂直平分线的交点，那么OCB。2、如图，已知ABAC，A440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC。第1题图OCBA第2题图NMDCBA第3题图EDCBA第4题图EABCD3、如图，在ABC中，C900，B150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD8，则AC。4、如图，在ABC中，ABAC，DE是AB的垂直平分线，BCE的周长为24，BC10，则AB。5、如图，EG、FG分别是MEF和NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是MBC和NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若G680，那么P。填空第5题图GPMEBNCFA选择第1题图FEDCB

33、A选择第2题图4321DCBA二、选择题：1、如图，ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且A600，则BFC等于（）A、800B、1000C、1200D、14002、如图，ABC中，12，34，若D360，则C的度数为（）A、820B、720C、620D、5203、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为23两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（）A、8cm、8cm、14cmB、12cm、12cm、6cmC、8cm、8cm、14cm或12cm、12cm、6cmD、以上答案都不对4、如图，RtABC中，C900，CD是AB边上的高，C

34、E是中线，CF是ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（）A、0组B、2组C、3组D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定三、解答题：1、如图，RtABC的A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MAMD。第1题图MDCBA第2题图EFDCBA第3题图EFDCBA2、在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DEEC，过D作DFBA交AE于点F，DFAC，求证：AE平分BAC。3、如图，在ABC中，B22.50，C600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD26，AEBC于点E，求EC的长。4、如

35、图，在RtABC中，ACB900，ACBC，D为BC的中点，CEAD，垂足为E，BFAC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。第4题图EFDCBA选择第4题图EFDCBA参考答案一、填空题：1、380；2、240；3、4；4、14；5、680二、选择题：CBCDB三、解答题：1、过A作ANBC于N，证DDAM；2、延长FE到G，使EGEF，连结CG，证DEFCEG3、连结AD，DF为AB的垂直平分线，ADBD26，BDAB22.50ADE450，AE22AD26226又C600EC32363AE4、证ACDCBF6.平行四边形平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质精典例题：

36、【例1】已知如图：在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，点E、F分别在BC和AD边上，AFCE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BODO略证：连结BF、DE在四边形ABCD中，ABCD，ADBC四边形ABCD是平行四边形ADBC，ADBC又AFCEFDBE，FDBE四边形BEDF是平行四边形BODO，即点O是BD的中点。【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分

37、别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。变式5：若ACBD，ACBD，则四边形EFGH是正方形。变式6：在四边形ABCD中，若ABCD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。例1图OFEDCBA变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，ADE和BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是

38、AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。探索与创新：【问题】已知如图，在ABC中，C900，点M在BC上，且BMAC，点N在AC上，且ANMC，AM和BN相交于P，求BPM的度数。分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。略证：过M作MEAN，且MEAN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NEAM，MEAN，ACBCMEBC在BEM和AMC中，MECM，EMBMCA900，BMACBEMAMCBEAMNE，12，34，1390024900，且BENEBEN是等腰直角

39、三角形BNE450AMNEBPMBNE450跟踪训练：一、填空题：1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长a的取值范围是。2、ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，OAB的周长比OBC的周长大3，则AB。3、已知ABCD中，AB2AD，对角线BDAD，则BCD的度数是。4、如图：在ABCD中，AEBD于E，EAD600，AE2，ACBD16，则BOC的周长为。第4题图EODCBA第5题图21OFEDCBA第6、7题图FEDCBA5、如图：ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EFBC于F，1300，2450，OD22，则AC的长为。6、如图：过ABCD

40、的顶点B作高BE、BF，已知BF45BE，BC16，EBF300，则AB。7、如图所示，ABCD的周长为30，AEBC于点E，AFCD于点F，且AEAF23，C1200，则平行四边形ABCD的面积为。二、选择题：1、若ABCD的周长为28，ABC的周长为17cm，则AC的长为（）A、11cmB、5.5cmC、4cmD、3cm2、如图，ABCD和EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（）A、DEBFB、DEBFC、DEBFD、DEFEBF第2题图EFDCBA第4题图EDCBA3、如图，已知M是ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之

41、比是（）A、61B、41C、31D、1254、如图，ABCD中，BDCD，C700，AEBD于E，则DAE（）A、200B、250C、300D、3505、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（）A、以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边B、以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边D、以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边6、如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O，若ABCD的面积为4，则OGHS（）A、3.5B、4C、4.5D、5第

42、6题图HGFEDCBA第7题图OEDCBA7、在ABCD中，AB6，AD8，B是锐角，将ACD沿对角线AC折叠，点D落在ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点O，则ABCD的面积等于（）A、48B、610C、712D、224三、解答题：1、如图，在ABCD中，AEBC于E，AFDC于F，ADC600，BE2，CF1，连结DE交AF于点P，求EP的长。第1题图PFEDCBA第2题图HGFEDCBA第4题图FEDCBA2、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且BEAEBFFCDGGCHDAHk（k0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：如上图，连结BDBE

43、AEHDAH，BFFCDGGCEHBD，FGBD连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：；当k值为时，四边形EFGH是平行四边形；在的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为矩形；在的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为菱形；3、已知，在四边形ABCD中，从ABDC；ABDC；ADBC；ADBC；AC；BD中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。4、如图，在ABC中，ACB900，D、F分别为AC、AB的中点，点E在BC的延长线上，CDEA。（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）若53sinA，四边形EBFD

44、的周长为22，求DE的长。跟踪训练参考答案一、填空题：1、1a6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、564或12.8；7、327cm2；二、选择题：DBCABCC三、解答题：1、提示：由BADC600，BE2，AEBC可得AB4，再证DFDCCF3，AD6，ECBCBE4DC，又BCD1200，EDC300，求得APEEAP600，AEP为等边三角形，EPAE32。2、是；任意正数；BDAC；ACBD3、和；和；和；和；和；和；和；和；和4、（1）证ECDF，EDCF；（2）DE57.矩形、菱形矩形、菱形知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。精典例题：【例

45、1】如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD，垂足为E，DAEBAE31，求EAC的度数。分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。解略，答案450。例1图EODCBA例2图FEDCBA【例2】如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长。分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。解略，答案AF4.5。【例3】如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一动点，DEAM，垂足为E，3AB2BC，并且AB、BC的长是方程02)2(2kxkx的两根。（1）求

46、k的值；（2）当点M离开点B多少时，ADE的面积是DEM面积的3倍？请说明理由。分析：用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出k。略解：（1）由韦达定理可得ABBC2k，ABBCk2，又由BC23AB可消去AB，得出一个关于k的一元二次方程0123732kk，解得1k12，2k31，因ABBC2k0，k2，故2k31应舍去。（2）当k12时，ABBC10，ABBCk224，由于ABBC，所以AB4，BC6，由DEMAEDSS3可得AE3EM43AM。易证AEDMBA得MBAEAMAD，设AEa3，AMa4，则MB22a，而AB2BM2AM2，故2421644aa，解得2a2，

47、MB22a4。即当MB4时，DEMAEDSS3。评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。探索与创新：【问题一】如图，四边形ABCD中，AB6，BC35，CD6，且ABC1350，BCD1200，你知道AD的长吗？分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。略解：作AECB的延长线于E，DFBC的延长线于F，再作AGDF于GABC1350，ABE450ABE是等腰直角三角形又AB6，AEBE3BCD1200，FCD600DCF是含300的直角三角形C

48、D6，CF3，DF33EF3)35(38由作图知四边形AGFE是矩形AGEF8，FGAE3从而DGDFFG32在ADG中，AGD900AD22DGAG126476192【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。跟踪训练：一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为。2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是cm。3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AEBD于E，且OEOD1

49、2，AE3cm，则DEcm。4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA3，PD4，PC5，则PB。5、如图，在菱形ABCD中，BEAF600，BAE200，则CEF。第3题图EODCBA第4题图?543PDCBA第5题图FEDCBA二、选择题：6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（）A、仅能作一个B、可以作四个C、一般情况下不可作D、可以作无穷多个7、如图，在矩形ABCD中，AB4cm，AD12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达

50、D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB。A、1B、2C、3D、4第8题图GFEDCBA8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD9cm，AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（）A、4cm、10cmB、5cm、10cmC、4cm、32cmD、5cm、32cm9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（）A、B、C、D、10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A、矩形B、菱

51、形C、正方形D、等腰梯形三、解答题：11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DEAG于E，且DEDC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。第11题图GFEDCBA12、如图，在ABC中，ACB900，CD是AB边上的高，BAC的平分线AE交CD于F，EGAB于G，求证：四边形GECF是菱形。13、如图，以ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF。请回答下列问题（不要求证明）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，以A、

52、D、E、F为顶点的四边形不存在？跟踪训练参考答案一、填空题：1、180；2、20cm；3、3；4、23；5、200提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证ABEACF得AEAF，从而AEF是等边三角形。二、DDBBA三、解答题：11、可证DEAABF12、略证：AE平分BAC，且EGAB，ECAC，故EGEC，易得AECCEF，CFEC，EGCF，又因EGAB，CDAB，故EGCF。四边形GECF是平行四边形，又因EGFG，故GECF是菱形。13、（1）平行四边形；（2）BAC1500；（3）当BAC600时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。8.正方形正方形

53、知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。精典例题：【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EFAC，在DA的延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF相交于点H。求证：AHAD。分析：因为A是DG的中点，故在DGH中，若AHAD，当且仅当DGH为直角三角形，所以只须证明DGH为直角三角形（证明略）。评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若PAQ450，求证：PBDQPQ。分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形

54、来证明。变式：若条件改为PQPBDQ，那么PAQ？你还能得到哪些结论？探索与创新：【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AGEB于G，AG交BD于点F，则OEOF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。问题一图1OFGEDCBA分析：对于图1通过全等三角形证明OEOF，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。结论：（2）的结论“OEOF”仍然成立。提示：只须证明AOFBOE即可。评注

55、：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑行时，PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可

56、能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。DCBADCBADCBA分析：（1）实验猜测：PQPB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。略解：（1）如图1，易证BPPD，12，PQD1800PQCPBCPDQPBPDPQ问题二图121QPDCBA（2）如图2，易证BOPPEQQEPOAOAPx22PCQPBCPBCQSSS四边形)(21)(21ECPEPCQEBOPC22)2(2121xPC12212xxy（0 x22）（3）PCQ可能成为等腰三角形。当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时x0；当点Q在边DC的

57、延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）。此时，QNPMx22，CN22CPx221，所以CQQNCN12x，当122xx时，解得1x。评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。跟踪训练：一、填空题：1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是（填序号）。2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CEAC，AE与CD边相交于F点，那么CEFC。第2题图EFDCBA3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形DCBA的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面

58、积的一半，若AC2，则正方形移动的距离AA是。4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA。其中能判断它是正方形的题设条件是（把正确的序号填在横线上）。二、选择题：1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长和为p，正方形ABCD的周长为S，则S与p的关系式是。A、SpB、SpC、SpD、S与p无关2、如图，在正方形ABCD中，DEEC，CDE600，则下列关系式：1441；1311；（12）（34）53中，正确的是（）A、B、仅C、仅和

59、D、仅和第1题图DCBA第2题图4321EDCBA第3题图FEDCBA3、如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtCEF的面积为200，则BE的值为（）A、10B、11C、12D、154、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为)(ba的正方形的是（）babbaa数量（张）卡片方案（1）（2）（3）A112B111C121D211三、解答题：1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。第1题图DCBAEF第2题图1NMDCBAE第2题图2NMDCBAE3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEBC于E，PFDC于F。求证：（1）APEF；（2）APEF。第3题图PFEABCD第4题图FEABCD4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BECA，作AEAC，又CFAE，求证：BCF21AEB。跟踪训练参考答案一、填空题：1、；2、12；3、12；4、二、选择题：CDCA三、解答题：1、易证ABFCFB