11 第十一章 差分方程 习题详解

1、1*第十一章差分方程第十一章差分方程习题习题11.11计算下列函数的二阶差分xy2：(1)232xxy=；(2)xey2=；(3)xxy2)1(2+=解解(1)32322(1)2(1)(2)31xyxxxxxx=+=，22()(31)62xxyyxxx=+.(2)2(1)2xxxyee+=，22(1)2()()xxxxyyee+=.2(11)2(1)2(1)2222()(1)xxxxxeeeeee+=(3)2(1)21(11)2(1)22322xxxxxyxxx+=+=+，21()(2322)22xxxxxyyx+=+=+.2证明：xxxxxxxxxxyzzyyzzyzy+=+=+11)(；1

2、111+=xxxxxxxxxxxxxxzzzyyzzzzyyzzy证证根据一阶差分的定义，有111111()()()xxxxxxxxxxxxxxxxyzyzyzyzzzyyyzzy+=+=+，1111()()xxxxxxxxxxyzzzyyyzzy+=+=+11111+=xxxxxxxxxxxxzzzyzyzyzyzy111111111111111)()()()(+=+=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzzzyyzzzzzyyyzzzzyyzzzzzyyyzzzzyzyzyzy3指出下列差分方程的阶数：2(1)xyxxsin22=；(2)213xyy

3、xx=+；(3)xxxyyy=+12；(4)xyyxx+=333解解(1)2阶；(2)2阶；(3)1阶；(4)2阶4已知xxey=是方程xxxeayy211=+的一个解，求a解解因为xxey=是方程xxxeayy211=+的一个解，所以xxxeaee211=+，即eae22=+，故)2(eea=5已知差分方程12312=+tttyyy，(1)证明函数tCCytt+=221(1C，2C为任意常数)是差分方程的通解；(2)当00=y，31=y时，求差分方程的特解解解(1)因为2132tttyyy+211212122(2)32(1)2(2)tttCCtCCtCCt+=+1=所以，函数tCCytt+=

4、221是差分方程的通解(2)由初始条件00=y，31=y，得=+=+31202121CCCC，解之得，41=C，42=C故所求特解为tytt+=+224习题习题11.21求下列差分方程的通解：(1)12=xxyy；(2)41=+xxyy；(3)131+=+xyyxx；(4)xxxyy321=+解解(1)原方程改写为021=+xxyy，它特征方程为20=，特征根为2=故所求通解为32xxyC=(C为任意常数).(2)方程对应的齐次方程01=+xxyy的特征方程为01=，其特征根为1=.所以齐次方程的通解为xYC=(C为任意常数).由于1是特征方程的根，所以方程的特解具有形式*xybx=，代入方程

5、，并比较两端同次幂的系数可得4b=所以方程的一个特解为*4xyx=，故原方程的通解为4xyCx=+(C为任意常数)(3)方程131+=+xyyxx对应的齐次方程031=+xxyy的特征方程为03=+，其特征根为3=.所以齐次方程的通解为(3)xxYC=(C为任意常数)由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*xyAxB=+，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得4141AAB=+=，解之得14A=，316B=所以原方程的一个特解为*13416xyx=+故原方程的通解为*13(3)416xxxxyYyCx=+=+(C为任意常数)(4)方程xxxyy321=+对应齐次方程021=+xxyy

6、的特征方程为20+=，特征根为2=齐次方程的通解为(2)xxYC=令3xxxyz=，则有1321xxzz+=4该方程的一个特解为*15xz=.故原方程的一个特解为*335xxxxyz=所以原方程的通解为*3(2)5xxxxxyYyC=+=+(C为任意常数)2求下列差分方程满足给定初始条件的特解：(1)03=xxyy，10=y；(2)101=+xxyy，30=y；(3)xxxyy221=+，20=y；(4)xyyxxsin41=+，10=y解解(1)方程03=xxyy改写为041=+xxyy，它的特征方程为40=，特征根为4=故所求通解为4xxyC=(C为任意常数).由10=y，得1=C，故原方

7、程满足初始条件的特解为4xxy=.(2)方程对应的齐次方程01=+xxyy的通解为xYC=(C为任意常数).由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*xyAx=.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得10A=即*10 xyx=.故原方程的通解为*10 xxxyYyCx=+=+.由03y=，得3C=，故原方程满足初始条件的特解为103xyx=+.(3)方程对应齐次方程021=+xxyy的特征方程为20=.特征根为2=.所以原方程对应齐次方程的通解为52xxYC=.令2xxxyz=，代入原方程得到112xxzz+=.该方程的一个特解为*2xxz=故原方程的一个特解为*12222xxxxxxy

8、zx=.所以原方程的通解为*122xxxxxyYyCx=+=+.由02y=，得2C=，故原方程满足初始条件的特解为112222(4)xxxxyxx=+=+.(4)原方程对应齐次方程041=+xxyy的特征方程为40+=.特征根为4=.所以对应齐次方程的通解为(4)xxYC=.令cossinxyAxBx=+，代入方程xyyxxsin41=+，比较等式两端同类项的系数，的0A=，13B=.故原方程的一个特解为*1sin3xyx=.所以原方程的通解为*1(4)sin3xxxxyYyCx=+=+.由01y=，得1C=，故原方程满足初始条件的特解为1(4)sin3xxyx=+.3设a，b为非零常数且01

9、+a，验证：通过变换abyzxx+=1可将非齐次方程bayyxx=+1化为齐次方程，并求解xy.解解由abyzxx+=1得1xxbyza=+，所以原式化为6111xxbbzazabaa+=+，即10 xxzaz+=该方程为齐次方程其通解为()xxzCa=故原方程bayyxx=+1的通解为()1xxbyCaa=+(C为任意常数)4(存款模型)设tS为t年末存款总额，r为年利率，tttrSSS+=+1，且初始存款为0S，求t年末的本利和.解解将方程tttrSSS+=+1改写为0)1(1=+ttSrS此方程为一阶常系数齐次线性差分方程.可求得此方程的通解为ttrCS)1(+=(C为任意常数).由初始

10、条件00SStt=时，得0SC=故t年末的本利和ttrSS)1(0+=.5设某产品在时期t的价格为tP，总供给量为tS，总需求量为tD并且有ttPS31+=，143=ttPD，ttDS=(1,2,t=)(1)试建立关于tP的差分方程；(2)已知0P时，求出tP.解解(1)由ttDS=，可知11ttSD+=，即11334ttPP+=，故所求差分方程为2431=+ttPP该方程为一阶常系数非齐次线性差分方程(2)在方程2431=+ttPP中，令PPPtt=+1，得到一个特解72*=PPt容易求得对应的齐次方程0431=+ttPP的通解为43ttPC=?(C为任意常数)7故原方程的通解为*4237t

11、tttPPPC=+=+?.由0P，得027CP=.故原方程满足初始条件的特解为0242737ttPP=+.习题习题11.31求下列二阶常系数齐次线性差分方程的通解或在给定的初始条件下的特解:(1)0612=+xxxyyy；(2)09612=+xxxyyy；(3)01612=+xxyy；(4)2113120 xxxyyy+=，01y=，16y=.解解(1)方程的特征方程为26(2)(3)0=+=.特征根为12=，23=故所求通解为12(2)3xxxyCC=+(1C，2C为任意常数).(2)方程的特征方程为2269(3)0+=+=.特征根为123=故所求通解为12()(3)xxyCCx=+(1C，

12、2C为任意常数).(3)方程的特征方程为21016+=.特征根为1,214i=411=r，=031tan，则取2=.故所求通解为121cossin422xxyCxCx=+(1C，2C为任意常数).(4)方程0121312=+xxxyyy的特征方程为213120+=.8特征根为11=,212=故所求通解为12(1)(12)xxxyCC=+(1C，2C为任意常数).由10=y，61=y,得11811C=，2711C=.故原方程满足初始条件的特解为187(1)(12)1111xxxy=.2求下列二阶常系数非齐次线性差分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：(1)6612=+xxxyyy；(2)896

13、12=+xxxyyy；(3)204623212+=+xxyyyxxx；(4)xxxxyyy522312=+；(5)324312+=+xyyyxxx；(6)42=xy，20=y，41=y解解(1)原方程对应的齐次方程0612=+xxxyyy的通解为12(2)3xxxyCC=+(1C，2C为任意常数).由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*xyA=，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A=.所以原方程的一个特解为*1xy=.故原方程的通解为12(2)31xxxyCC=+(1C，2C为任意常数).(2)方程对应的齐次方程09612=+xxxyyy的通解为12()(3)xxyCCx=

14、+(1C，2C为任意常数).由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式：*xyA=.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：12A=所以原方程的一个特解为：*12xy=.故原方程的通解为121()(3)2xxyCCx=+(1C，2C为任意常数).(3)原方程对应的齐次方程02312=+xxxyyy的特征方程为0232=+，特征根为：11=，22=.故对应的齐次方程通解为912(1)(2)xxxyCC=+(1C，2C为任意常数).由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2xyAxBxC=+.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A=，1B=，3C=.所以原方程的一个特解为*2

15、3xyxx=+.故原方程的通解为212(1)(2)3xxxyCCxx=+(1C，2C为任意常数).(4)原方程对应的齐次方程02312=+xxxyyy的特征方程为0232=+，特征根为：11=，22=.故对应的齐次方程的通解为122xxyCC=+(1C，2C为任意常数).令5xxxyz=，则有21251522xxzzz+=.可求出该方程的一个特解为*16xz=故原方程的一个特解为*556xxxxyz=.所以原方程的通解为12526xxxyCC=+(1C，2C为任意常数).(5)原方程对应的齐次方程04312=+xxxyyy的特征方程为0432=+，特征根为：11=，42=.故对应的齐次方程的通

16、解为12(4)xxyCC=+(1C，2C为任意常数).由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2xyAxBx=+.10代入原方程，并比较两端同次幂的系数，可得=+=357210BAA，解之得15A=，825B=.所以原方程的一个特解为*218525xyxx=+.故原方程的通解为21218(4)525xxyCCxx=+(1C，2C为任意常数).(6)由42=xy，改写成2124xxxyyy+=该方程对应齐次方程2120 xxxyyy+=的特征方程为0122=+，特征根为：11=，12=.故对应的齐次方程的的通解为12xyCCx=+(1C，2C为任意常数).由于1是特征方程的重根，所以原方

17、程的特解具有形式*2xyAx=.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：2A=.所以原方程的一个特解为*22xyx=.故原方程的通解为2122xyCCxx=+(1C，2C为任意常数).由20=y，41=y，得12C=，02=C.原方程在给定初值条件下的解为：222xyx=+.3已知ax=1，bx=2，212nnnxxx+=+)3,2,1(=n，求通项nx以及nnxlim解解将212nnnxxx+=+改写成0212112=+nnnxxx11该方程为二阶常系数齐次线性差分方程它的特征方程为021212=特征根为：11=，212=故齐次线性差分方程的通解为nnCCx+=2121(1C，2C为待定常数

18、)由初始条件ax=1，bx=2，代入上述通解，得到=+=bCCaCC21214121，解之得321baC+=，)(342abC=故所给数列的通项221332+=nnabbax，且32limbaxnn+=习题11.4习题11.41假设某湖开始有10万条鱼，且鱼的年增长率为25%，而每年捕鱼量为3万条(1)列出每年湖中鱼的条数的差分方程，并求解；(2)多少年后，湖中的鱼将捕捞完？解解(1)设ty表示第t年末湖中鱼的条数，依题意，ty满足下述差分方程3)25.01(1+=+ttyy，即325.11=+ttyy且满足初始条件100=y容易求得该差分方程的通解为12)25.1(+=ttCy由初始条件10

19、0=y，得到2=C故该差分方程满足初始条件100=y的解为12)25.1(2+=tty(2)多少年后，湖中的鱼将捕捞完也即是在上式中令ty=0，求t012)25.1(2=+t，求得825.1ln6ln=t(年)即大约8年后，湖中的鱼将捕捞完2设某商品在t时期的供给量tS与需求量tD都是这一时期该商品价格tP的线性函数：12ttbPaS+=，ttdPcD=(其中a，b，c，d为正常数)，且在t时期的价格tP由1t时期的价格1tP与供给量及需求量之差按关系)(111=ttttDSPP(为常数)确定，试求该商品的价格随时间变化的规律解解根据题意，即可得差分方程)()(11caPdbPtt+=+在上述

20、方程中，令PPPtt=+1，得到该方程的一个特解为dbcaPPt+=*(称为均衡价格).容易求得该方程对应齐次方程0)(11=+ttPdbP的通解为ttdbCP)(1+=故方程的通解为dbcadbCPtt+=)(1如果已知初始价格0P，求得dbcaPC+=0，此时有dbcadbdbcaPPtt+=)(10如果1)(1=y为给定的初始条件.19(1)试证0ty，1=t，2，；(2)试证：变换ttyu1=将原方程化为tu的线性方程，并由此求出ty的通解；(3)求方程tttyyy4)32(1=+满足初始条件10=y的特解及tty+lim.解解(1)因为00y，a，b，c为正的常数.所以0)(001+

21、=byacyy假设0ty，由数学归纳法得证0)(1+=+tttbyacyy，1=t，2，.(2)作变换ttyu1=，代入原方程后，得baucutt=+1.当ac时，方程baucutt=+1，有特解acbut=*对应齐次方程01=+ttaucu的通解为ttcaAU=(A为任意常数).于是方程baucutt=+1的通解为acbcaAuUutttt+=+=*由初始条件00yytt=，得到00uutt=.代入上述方程，得=acbuA0.于是acbcaacbuutt+=0.即101+=acbcaacbyytt.当ac=时，方程为cbuutt=+1.20此时设特解为Btut=*(B为待定常数)，代入方程，

22、cbB=即特解为tcbut=*.对应齐次方程01=+ttuu的通解为CUt=(C为任意常数).故方程cbuutt=+1的通解为*tttbuUuCtc=+=+.于是，在初始条件00uutt=下，方程的解为tcbuut+=0，即101+=tcbyyt.综上讨论，在初始条件00yytt=原方程的解为10101,1,ttbabcaycaccaybtcayc+=+=.(3)对方程tttyyy4)32(1=+满足初始条件10=y的特解，由上述公式11121232321231+=+=ttty，322123limlim11=+tttty.7已知级数=1nnU的通项为2sin32cos2nnUn+=），=32,

23、1,(n.求其部分和序列的通项nS.解解根据前n项部分和的定义知1211+=nnnUUUUS，于是212sin22cos32)1(sin32)1(cos211nnnnUSSnnn=+=+.这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程由于2sin22cos3)(nnxf=，设方程的特解为2sin2cos21*nAnASn+=(1A，2A为待定常数).将其代入上述方程，并比较等式两边同类项的系数，得到方程组=+=+212cos2sin32sin12cos2121AAAA，解之得211=A，252=A于是特解为2sin252cos21*nnSn+=.于是，我们容易得到原方程的通解2sin252cos21nn

24、CSn+=(C为任意常数).将初始条件311=US代入通解中，有32sin252cos21=+C.解得21=C故该级数的部分和序列的通项nS为2sin252cos2121nnSn+=.8验证：通过变换ttytu)1(+=可将方程)()1()2()3(12tfytbytaytttt=+(a，b为常数)变换为关于tu的二阶常系数线性差分方程，并由此求出方程0)1()2(2)3(12=+tttytytyt的通解解解作变换ttytu)1(+=，即ttuty11+=于是1121+=ttuty，2231+=ttuty将ty，1+ty，2+ty代入方程，得到)(12tfbuauuttt=+22此方程为关于t

25、u的二阶常系数线性差分方程对于0)1()2(2)3(12=+tttytytyt，作变换ttytu)1(+=，则有齐次方程0212=+tttuuu它的特征方程为0122=+，特征根为121=于是齐次方程0212=+tttuuu的通解为tCCut21+=(1C，2C为任意常数)将ttytu)1(+=代入上述通解，即可得方程0)1()2(2)3(12=+tttytytyt的通解121tCCtyt+=+(1C，2C为任意常数)9(消费模型)设tY为t期国民收入，tC为t期消费，tI为t期的投资，它们之间有如下关系1111()tttttttttCYaIYbYYYCI=+=+=，其中，a，b和均为常数，且10，10，10，10+，0a，0b若已知初期的国民收入0Y为已知，试求tY与t的函数关系.解解将11ttCYa=+和11ttIYb=+代入1111()tttttYYYCI=并整理得11(1)()ttYYab+=+将方程改写为11(1)()ttYYab+=+该方程为一阶常系数非齐次线性差分方程在方程中令YYYtt=+1，得到一个特解+