科学计算与数学建模第2章 城市供水量的预测模型-插值与拟合算法-2.4-插值多项式的误差分析.pptx

1、2.4插值多项式的误差分析,2.4.1插值余项,a,b,Pn(x),f(x),若记Rn(x)f(x)Pn(x)，则Rn(x)就是用Pn(x)近似代替f(x)时所产生的截断误差，称为插值多项式Pn(x)的余项或简称为n次插值余项。如何计算或估计插值多项式截断误差Rn(x)f(x)Pn(x)？,(2.4.1),的插值多项式，则对于任何xa,b有：,定理2.4.1设f(x)在区间a,b上有直到n1阶导数,x0,x1,xn为区间a,b上n1个互异的节点，Pn(x)为满足条件:Pn(xi)f(xi)(i0,1,n),f(n1)(),(x)(n1)!n1,记做,n1(x),Rn(x)f(x)Pn(x)=(

2、xx0)(xx1)(xxn)K(x),其中ab，且依赖于x。,n,n0,特别地，Newton向前插值多项式的余项可以表示为：n1,R(x)R(xth)f,(n1)!,()t(t1)(tn)hn1,i0,1m,fm,fx,xi,xi,m!,由差商的性质,得Newton基本插值,多项式的误差为：Rn(x)fx0，x1，,xn,xn1(x)其中ab，且依赖于x。,2.4.2插值误差的事后估计法,1,1,2,2,yy,12,f(1)(xx0)(xx1),x0,x1,yy,12,f(2)(xx0)(xx2),x0,x2,许多情况下，要直接应用余项公式来估计误差是很困难的，下面以线性插值为例，介绍另一种估

3、计误差的方法。设x0 x1x2且f(xi)(i0,1,2)为已知，若将用x0,x1两点做线性插值求得yf(x)的近似值为y1，用x0,x2两点作线性插值所求得yf(x)的近似值为y2，则由插值余项公式知：,假设f(x)在区间x0,x2中变化不大，将上面两式相除，即得近似式,yy1,xx1,yy2xx2,121,yyxx1(yy),x2x1,(2.4.2),近似式（2.4.2）表明，可以通过两个结果的偏差y2y1来估计插值的误差，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。插值多项式误差Rn(x)会不会随着节点的增多而减少？f(n1)()f(n1)()Rn(x)n1(x)(xx0)(x

4、x1)(xxn)(n1)!(n1)!,例2.4.1,计算115的近似值.,121，,解：选两点进行线性插值近似，故取节点x0100，x1,11,100121121100,x121x100,由线性插值公式可得：L(x)10,1故用线性插值求得的近似值为：,1,100121121100,115L(115)101151211111510010.714,同理，用抛物线插值公式所求得的近似值为：,2,115121115144,115100115144,115100115121,115L11510,11,12,100121144121,121100121144,144100144121,10.723,可见

5、，用线性插值求得的近似值为10.714，用抛物线插值求得的近似值为10.723，将它们与115=10.7238.相比较，可以看出抛物线插值的精确度比线性插值的更好那会不会用到的点数越多、阶数越高，就越精确呢？,n,01n,f(n1)()f(n1)(),n1,R(x),(x),(n1)!(n1)!,(xx)(xx)(xx),n1(115)(115100)(115121)(115144)(115169)(n1)!3214这个例子说明当插值期间大时，不是节点越多插值余项就越小。,如果将区间限制在1,1内，情况会怎样呢？,例2.4.2对函数,1,f(x),(1x1),125x2,P(x)10,5,P(x),5,10,2,1,(x),(x1,1),125x,描绘在同一坐标系中，如图2.4.1所示,将曲线f(x),yP(x),yP,再以,为节点作十次插值多项式,。,5,先以i,x12i(i0,1,5),为节点作五次插值多项式P5(x)，,5,i,x11i(i0,1,10),10,P(x),图2.4.