2008年高考数学(理)试题及答案详解(山东卷)

1、20082008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学理科数学第卷（共第卷（共60分）分）参考公式：参考公式：球的表面积公式：球的表面积公式：S4R2，其中，其中R是球的半径是球的半径.如果事件如果事件A在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是p，那么，那么n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A恰好发生恰好发生k次次的概率：的概率：Pn（k）Cknpk(1-p)n-k（k0，1，2，n）.如果事件如果事件A、B互斥，那么互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B）.如果事件如果事件A、B相互独立，那么相互独立，那么P（AB）P（A）P

2、（B）.一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分，在每小题给出的四个，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足Ma1,a2,a3,a4,且Ma1,a2,a3=a1,a2的集合M的个数是（A）1(b)2(C)3(D)4（2）设z的共轭复数是z，若z+z=4,zz8，则zz等于（A）i（B）-i(C)1(D)i（3）函数ylncosx(-2x2的图象是()（4）设函数f(x)x+1+x-a的图象关于直线x1对称，则a的值为(A)3(B)2(C)1(D)-1（5）已知cos（-6）+sin=473

3、,sin()56则的值是（A）-532（B）532(C)-54(D)54（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(A)9（B）10(C)11(D)12（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（A）511（B）681（C）3061（D）4081(8)右图是根据山东统计年鉴2007中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数

4、字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（A）304.6（B）303.6(C)302.6(D)301.6（9）（X-31x）12展开式中的常数项为（A）-1320（B）1320（C）-220(D)220(10)设椭圆C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（A）1342222yx(B)15132222yx(C)1432222yx(D)112132222yx（11）已知圆的方程为X2+Y2-6X-8Y0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形A

5、BCD的面积为（A）106（B）206（C）306（D）406（12）设二元一次不等式组0142,080192yxyxyx，所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）1,3(B)2,10(C)2,9(D)10,92911583026310247第卷（共第卷（共90分）分）二、填空题：本二、填空题：本大题共大题共4小题，每小题小题，每小题4分，共分，共16分分.（13）执行右边的程序框图，若p0.8，则输出的n.（14）设函数f(x)=ax2+c(a0)，若)()(010 xfdxxf，0 x01，则x0的值为33.（15）已知a，b，c为ABC的三个内

6、角A，B，C的对边，向量m（1,3），n（cosA,sinA）。若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B_.（16）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为（5，7）.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6小题，共小题，共74分分.（17）（本小题满分12分）已知函数f(x)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2（）求f（8）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.（18）（本

7、小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用表示甲队的总得分。（）求随机变量分布列和数学期望；（）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).(19)(本小题满分本小题满分12分分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1

8、.Sn为数列bn的前n项和，且满足nNnnSSbb22=1（n2）.()证明数列nS1成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481a时，求上表中第k(k3)行所有项的和.(20)(本小题满分本小题满分12分分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC,PC的中点.（）证明：AEPD;（）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角EAFC的余弦值.（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),(1)nfxaxx其

9、中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.(22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，410AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.20082008年普通高等学校招生全国

10、统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学理科数学参考答案参考答案第卷（共第卷（共60分）分）参考公式：参考公式：球的表面积公式：球的表面积公式：S4R2，其中，其中R是球的半径是球的半径.如果事件如果事件A在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是p，那么，那么n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A恰好发生恰好发生k次次的概率：的概率：Pn（k）Cknpk(1-p)n-k（k0，1，2，n）.如果事件如果事件A、B互斥，那么互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B）.如果事件如果事件A、B相互独立，那么相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）.一、选择题：本

11、大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）B（2）D（3）A（4）A（5）C（6）D（7）B(8)B（9）C(10)A（11）B（12）C第卷（共第卷（共90分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题4分，共分，共16分分.（13）4（14）33.（15）6.（16）（5，7）.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6小题，共小题，共74分分.（17）解：（）f(x)cos()sin(3xx)cos(21)sin(2

12、32xx2sin(x-6)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-x-6）sin(x-6).即-sinxcos(-6)+cosxsin(-6)=sinxcos(-6)+cosxsin(-6),整理得sinxcos(-6)=0.因为0，且xR,所以cos（-6）0.又因为0，故-62.所以f(x)2sin(x+2)=2cosx.由题意得.2,222所以故f(x)=2cos2x.因此.24cos2)8(f（）将f(x)的图象向右平移个6个单位后，得到)6(xf的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()46xf的图象.()()2cos2()2

13、cos().464623xxxgxff所以当2k23x2k+(kZ),即4k32x4k+38(kZ)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为384,324kk(kZ)（18）（本小题满分12分）()解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为0123P2719294278的数学期望为E=.227839429212710解法二：根据题设可知)32,3(B因此的分布列为03123322333321222(0)(1),(1)(1),32733922428(2)()(1),(3)().339327PCPCPCPC2323),32,3(.3,2,1,0,32)321()32(

14、)(3323EBkCCkPkkkkk所以因为（）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232CDPCCP由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54DPCPABP.解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).24334)32213

15、121(32)2131()32(2212323223CC(19)(本小题满分本小题满分12分分)()证明数列nS1成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481a时，求上表中第k(k3)行所有项的和.()证明：由已知，当n2时因此，nb1n=1-)1(2nnn2（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0.因为1213121278,2所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此281134.91abq又132,1314b所以q=2.记表中第k(k3)行所有

16、项的和为S，则(1)2(12)2(12)1(1)12(1)kkkkbqSqkkkk（k3）.212121111111121,21,()21,111,21.111.211111,222.12nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbSSSbbbSSSSSSSSSSSSSbaSnnSSnnbSS又（）所以（）即所以又所以数列是首项为，公差为的等差数列由上可知（）即所以当时，2221(1).nnnn(20)(本小题满分本小题满分12分分)（）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=3，所以当AH最

17、短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大.此时tanEHA=36,2AEAHAH因此AH=2.又AD=2，所以ADH=45，所以PA=2.解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD.过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角，在RtAOE中，EO=AEsin30=32，AO=AEcos30=32,又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=324,又223930,484SEEOSO在RtESO中，cosESO=32154,5304SOSE即所求二面角的余弦值为15.5解法二：由（）知AE

18、，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（3，-1，0），C（3，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），F（31,122），所以31(3,0,0),(,1).22AEAF设平面AEF的一法向量为111(,),mxyz则0,0,mAEmAF因此111130,310.22xxyz取11,(0,2,1),zm则因为BDAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量.又BD=（-3,3,0），所以cosm,BD=2315.5|5

19、12mBDmBD因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为15.5（21）（）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1，当n=2时，21()ln(1),(1)fxaxx所以232(1)().(1)axfxx（1）当a0时，由()0fx得121xa1，221xa1，此时123()()()(1)axxxxfxx.当x（1，x1）时，()0,()fxfx单调递减；当x（x1+）时，()0,()fxfx单调递增.（2）当a0时，()0fx恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在21xa处取得极小值，极小值为22(1)(1ln).2afaa当a0时，f(x)无极

20、值.（）证法一：因为a=1,所以1()ln(1).(1)nfxxx当n为偶数时，令1()1ln(1),(1)ngxxxx则1112()10,(2)11(1)(1)nnnxngxxxxxx.所以当x2,+时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此1()1ln(1)(1)ngxxxxg(2)=0恒成立，所以f(x)x-1成立.当n为奇数时，要证()fxx-1,由于1(1)nx0，所以只需证ln(x-1)x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则12()111xhxxx0（x2）,所以当x2，+时，()1ln(1)hxxx单调递增，又h(2)=10，所以当x2时，恒有h(x)0,即ln（x-1）x

21、-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，1()ln(1).(1)nfxxx当x2，时，对任意的正整数n，恒有1(1)nx1，故只需证明1+ln(x-1)x-1.令()1(1ln(1)2ln(1),2,hxxxxxx则12()1,11xhxxx当x2时，()hx0，故h(x)在2,上单调递增，因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1)x-1成立.故当x2时，有1ln(1)(1)nxxx-1.即f（x）x-1.(22)（）证明：由题意设221212120(,),(,),(,2).22xxAxBxxxMxppp由22xpy得22xyp，则,xyp所以12,.MAMBxxkkpp因此直线MA的方程为102(),xypxxp直线MB的方程为202().xypxxp所以211102(),2xxpxxpp222202().2xxpxxpp由、得212