第9章马尔可夫预测方法讲述案例.ppt

1、,第9章马尔可夫预测方法,9.1马尔可夫链基本理论,9.2.1市场占有率预测,9.2案例分析,9.2.2股票价格走势预测,9.2.3加权马氏链法预测证券指数走势,9.2.4期望利润预测,9.1.1马尔可夫链基本概念,（1）马尔可夫链,首页,9.1马尔可夫链基本理论,注:,而与以前的状态,(2)一步转移概率,马氏链在时刻n处于状态i的条件下，到时刻n+1转移到状态j的条件概率，,即,称为在时刻n的一步转移概率，,首页,注:,由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步转移后，必到达状态空间中的某个状态,一步转移概率满足,(3)一步转移矩阵,称为在时刻n的一步转移矩阵,首页,即有,有限马氏链,状

2、态空间I=0，1，2，k,首页,(4)齐次马氏链,即,则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次）,(5)初始分布,首页,注,马氏链在初始时刻有可能处于I中任意状态，初始分布就是马氏链在初始时刻的概率分布。,(6)绝对分布,概率分布,称为马氏链的绝对分布或称绝对概率,定态分布,即,首页,在马氏链的研究中，须研究“从已知状态i出发，经过n次转移后，系统将处于状态j”的概率.,(7)n步转移矩阵,1)n步转移概率,系统在时刻m从状态i经过n步转移后处于状态j的概率,称为n步转移概率,由于马氏链是齐次的，这个概率与m无关,首页,显然有,2)n步转移矩阵,称为n步转移矩阵,规定,首页,注,（1）用一步

3、转移概率表示多步转移概率,首页,注,I=1，2，N,由矩阵的乘法规则，得,表示：在时刻n，各状态的概率等于其初始状态的概率与n步转移概率矩阵之积。,若链是齐次的，则有,首页,(8)遍历性,定义1,使得,则称此马氏链具有遍历性,马氏链的遍历性表明,不论从哪一个状态i出发，当转移的步数n充分大时，转移到状态j的概率都接近于正常数,首页,(9)平稳分布,有,给转移概率P，若存在一个概率分布中的,j=0，1，2，s,则称为平稳分布。,9.1.2马尔可夫链预测原理,1马氏链近期预测原理,9.1.2马尔可夫链预测原理,1马氏链近期预测原理,定理1设Xn为一个齐次马氏链，其状态空间为I，绝对概率为n步转移概

4、率为，则有：,即表明马氏链的绝对概率由其初始分布和n步转移概率完全确定,定理2C-K方程（Chapman-Kolmogorov方程）,定理1设Xn为一个齐次马氏链，其状态空间为I，n步转移概率为，则有：,注：（1）C-K方程的矩阵形式为：,（2）n步转移矩阵与一步转移矩阵之间的关系,（3）定理1与定理2的结合即为马尔可夫链预测模型：,2马氏链稳态概率分布预测原理,则此马氏链是遍历的，,且,中的,是方程组,j=0，1，2，s,的满足条件,的唯一解,注1,定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。,定理给出了求平稳分布的方法。,注2,3马尔可夫链预测

5、基本步骤,（1）划分状态区间，确定状态空间I=1,2，N；（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态；（3）对步骤（2）所得的结果进行统计计算，得马尔可夫链的一步转移概率矩阵,它决定了指标值状态转移过程的概率法则；（4）进行“马氏性”检验；,（5）确定初始分布P(0)，利用，分别求得n=1,2,3,各期的绝对分布：从而所预测的状态j即是：,首页,（6）进一步讨论遍历性，确定平稳分布，计算长期稳态时的分布律情况。,9.2案例分析,9.2.1市场占有率预测,【例9-1】设有甲、乙、丙3家企业生产同一种生活必需品，供应同一地区的2400户居民使用，每户可自由选择此三家企

6、业产品。经市场调查，某年1月份甲、乙、丙三企业拥有的户数分别为760户，580户，1100户，2月份用户可能的流动情况如表9-1所示。试求：（1）2月份市场占有率的分布；（2）5月份市场占有率的分布；（3）当顾客流如此长期稳定下去市场占有率的分布。,首页,解,（1）根据市场调查，确定1月份的初始概率分布,A=7605801100;P0=A./sum(A)%初始分布%结果为P0=0.31150.23770.4508,（2）根据2月份流动情况求一步转移概率矩阵P）,N1=480120160;N2=90360130;N3=120180800;P=N1./sum(N1);N2./sum(N2);N3.

7、/sum(N3)%一步,（3）2、5月份市场占有率分布,P1=P0*PP4=P0*P4,（5）判断遍历性，解方程组，求出平稳分布，即为长期稳态市场占有率,symsx1x2x3eq1=x1-x1x2x3*P(:,1)eq2=x2-x1x2x3*P(:,2)eq3=x3-x1x2x3*P(:,3)eq4=x1+x2+x3-1x1x2x3=solve(eq1,eq2,eq3,eq4),x1x2x30.25730.29860.4441故在市场稳定状态下甲、乙、丙的市场占有率分别为25.73%、29.86%和44.41%。,2、销售策略对市场占有率的影响,从上述结果可知，甲公司的市场占有率从31.15降

8、至最终的25.73，这是假定以状态转移概率保持不变为前提的。如果该公司的经营决策者看到了这种不利趋势，并制定某种策略（如销售策略）来扭转这种不利趋势，则会使公司在市场上保持较有利的地位。,（1）保留策略,指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折价优惠等方法。,假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙两公司的流失，使保留率从原来的63.16提高到80，同时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：,则转移矩阵为：,利用上述程序的第（5）步即可计算出在此转移矩阵情况、市场稳定状态下甲、乙、丙

9、的市场占有率分别为39%、24.85和36.15%，显然甲公司通过保留策略市场占有率由25.73%提高到39%，取得了明显的效果。,（2）争取策略,指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针与对策。如：通过广告等方法。,设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两家公司购货的顾客中分别争取20与15，此时程序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：,同样利用上述程序的第（5）步即可计算出在此概率矩阵情况、市场稳定状态下甲、乙、丙的市场占有率分别为31.59%、27.53%和40.88%，显然甲公司通过争取策略市场占有率由25.73%提高到31.59%，取得了一定的效果。,9.2.2股票价格走势

10、预测,【例9-2】青岛啤酒2007年2月1日-4月26日的交易日收盘价见表7-10，试用马尔可夫链预测4月27日，4月30日的收盘价区间。,先划分区间，确定状态：将价格按从小到大划分为五个区间：低于16元的为状态a，16元(含)至17元的为状态b，17元(含)至18元的为状态c，18元(含)至19元的为状态d，19元(含)以上的股价为状态e；进而找出各个状态所包含的个数及所在的位置。,（1）输入数据X=16.8815.9115.9216.4416.4416.8717.0017.35.17.5017.9418.5218.6219.3917.4517.4816.28.16.4915.6515.80

11、16.3516.9116.5716.4217.32.17.2517.0416.4016.4316.2116.1616.3916.24.17.0417.2416.9716.8417.0517.4117.4818.03.18.9518.8018.7618.2918.1018.6118.8319.18.19.0018.8618.6719.2320.0020.2419.6519.63;,（2）找出各个状态所包含的个数及所在的位置a=find(X=19);,（3）计算一步转移的频数矩阵N11=length(find(X(a+1)=16,N21=length(find(X(b+1)=16,N31=leng

12、th(find(X(c+1)=16,N41=length(find(X(d+1)=16,%X最后一个数据在状态f，无法转移，因此不能取N51=length(find(X(f(1:end-1)+1)=16,（4）计算一步转移概率矩阵Pp1=N11N12N13N14N15./sum(N11N12N13N14N15);p2=N21N22N23N24N25./sum(N21N22N23N24N25);p3=N31N32N33N34N35./sum(N31N32N33N34N35);p4=N41N42N43N44N45./sum(N41N42N43N44N45);p5=N51N52N53N54N55./

13、sum(N51N52N53N54N55);P=p1;p2;p3;p4;p5,（5）以4月26日开始，分别预测以后的两个交易日价格情况P0=00001;%以4月26日最后一个数据所在的状态作为初始分布P1=P0*P%下一个交易日4月27日的分布律P2=P0*P2%4月26日以后的第2个交易日4月30日的分布律,P1=000.14290.14290.7143P2=00.03060.19390.22960.5459故两个收盘价范围都在第5个状态f，即在19元以上的区间,9.2.3加权马氏链法预测证券指数走势,加权马氏链法预测步骤:（1）将证券指数序列由小到大排列，划分区间，产生状态空间I（2）确定各

14、时段价格指数所处的状态；（3）马氏性检验；（4）计算各阶自相关系数,（5）对各阶自相关系数规范化,（6）对步骤（5）所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵；,（7）分别以前面若干时间段的证券价格指数为初始状态，结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段证券价格指数的状态概率（k为滞时）,（8）将同一状态的各预测概率加权和作为证券价格指数处于该状态的预测概率，即,所对应的i即为该时段股票价格状态的预测,【例9-3】已知2008年3月27日5月30日上证A股收盘价指数数据如表9-2，试用加权马氏链法预测下一个交易日的指数范围。,（1）先将价格指数按从小到大划分为五个区间：

15、低于3500的为状态1，3500(含)至3600的为状态2，3600(含)至3700的为状态3，3700(含)至3800的为状态4，3800(含)以上的股价为状态5；相应地找出每个数据所在的状态，,（2）计算各阶自相关系数rk=autocorr(X,8)%rk=1.00000.78440.57600.45160.35840.23470.0511-0.0977取滞后5期,（3）将各阶自相关系数规范化可以得到各阶滞时的马尔可夫链权重wk=rk(2:6)./sum(rk(2:6),（4）不同滞时的马尔可夫链的转移概率矩阵：1）滞后一步转移矩阵程序类似例9-2中的程序，只是将区间范围值替换即可2）滞后

16、二步转移矩阵程序同1），只是将程序中的“1”改为“2”，注意一下最后两个数据不转换3）滞后三步转移矩阵程序同1），只是将程序中的“1”改为“3”，注意一下最后三个数据不转换4）滞后四步转移矩阵程序同1），只是将程序中的“1”改为“4”，注意一下最后四个数据不转换5）滞后五步转移矩阵程序同1），只是将程序中的“1”改为“5”，注意一下最后五个数据不转换,（5）选定最后五天为初始日（5月26日至30日），其所在的状态结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段证券价格指数的状态概率,（6）将同一状态的各预测概率加权和作为证券价格指数处于该状态的预测概率将表中“状态空间概率”用矩阵Q表示：,Q=P5(2

17、,:);P4(2,:);P3(3,:);P2(2,:);P1(3,:)wk=wkp1=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,1)p2=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,2)p3=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,3)p4=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,4)p5=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,5),结果为：p1=0.2046；p2=0.2571；p3=0.3588；p4=0.1051；p5=0.0743,9.2.4期望利润预测,在企业当中，除需要摸清销路的变化情况外，还要对利润的变化进行预测。如：某商品的销售状态有畅销和滞销两种状态，则通过调查、统计，可得销售状

18、态的转移概率矩阵P和转移利润矩阵R.,其中，表示盈利，表示亏本,则根据已知的转移概率矩阵P和转移利润矩阵R.对未来利润进行预测。,已知一步转移概率矩阵P和其对应的一步转移利润矩阵R为,其中，表示盈利，表示亏本,则根据两转移矩阵P和R，对现在所处的状态i经过n步转移之后的利润进行预测。,，,期望利润预测步骤：,记表示产品现在所处的状态i()经过n步转移之后的期望利润。,（1）经过一步转移之后的期望利润为,（3）经过二步转移之后的期望利润为,（3）经过n步转移之后的期望利润递推公式,当n0时，规定：,上述过程的矩阵表示：,【例9-4】某企业产品销路分为畅销、一般销售和滞销三种状态，经过调查知，三种

19、状态的转移概率为表9-6，其对应的状态转换利润如表9-7，如果基期（n0）不管处于那种状态，预测其后1至3月各月总期望利润。,转移概率,转换利润,（1）先写出转移概率矩阵P与转移利润矩阵R,（2）令基期V(0)=000，算出V(1),（3）利用相应地算出各月的期望利润,P=0.50.30.2;0.160.60.24;0.150.30.55;R=1263;642;32-5;V1=sum(P(1,:).*R(1,:);sum(P(2,:).*R(2,:);sum(P(3,:).*R(3,:)%1个月后的利润I=eye(3);V2=(I+P)*V1%2个月之后的利润V3=(I+P+P2)*V1%3个月之后的利润,例：最佳维修策略的选择,研究一化工企业对循环泵进行季度维修的过程。该化工企业对泵进行定期检查，每次检查中，把泵按其外壳及叶轮的腐蚀程度定为五种状态的一种。