3.3.2利用导数研究函数的极值

1、3.3.2利用导数研究函数的极值,学习目标1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤,学习重点1.极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.学习难点函数极值的逆用,f(x)0,f(x)0,1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内存在导数,如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.,一、知识点回顾:,如果在某个区间内恒有,则为常函数.,2.函

2、数单调性求解步骤,求函数的定义域;,求函数的导数f/（x）;,解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.,定义域为R时可省,二、新课讲解,1.观察右下图为函数y=x3-3x2+5的图象,从图象我们可以看出下面的结论:,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，这时我们说f(0)是函数的一个极大值；0是函数的一个极大值点。函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值，2是函数的一个极小值点。,y,0,如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f（x）

3、在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？,2探索发现：,从而我们得出结论:若x0满足f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,三、例题:,解:,令,解得x1=-2,

4、x2=2.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=.,例1:求y=-4x+4的极值.,四.思考:,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.,因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,利用导数求函数的极值的方法(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)求方程f(x)=0的全部解(4)检

5、查f(x)在f(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值,五.方法总结:,练习1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.,练习2、求函数的极值.,练习3、求函数的极值.,练习1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.,解：=3x2-12=3(x-2)(x+2),令=0,得x=2,或x=-2,下面分两种情况讨论：,(1)当0即x2,或x-2时;,(2)当0即-2x2时;,当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；,因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28,当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=

6、-4,图象如右,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,练习2求函数的极值.,解:函数的定义域为,令,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,练习3:求函数的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.,例2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得或,当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时,此时x=1是极值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,练习4、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间。,解：(1)=3ax2+2bx-2,因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，所以,解得,=3ax2+2bx-2,即,f(x)=ax3+bx2-2x,(2)=x2+