2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答

1、年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答北京丰台二中甘志国（特级教师）选择题共小题在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得分，选错扣分，不选得分直线与曲线相切，则的值为（）前三个答案都不对已知三角形的三边长分别为，则下面四个结论中正确的个数为（）（）以，为边长的三角形一定存在（）以，为边长的三角形一定存在（）以，为边长的三角形一定存在（）以，为边长的三角形一定存在前三个答案都不对设，是的两条垂直直径，弦交于点，则等于（）前三个答案都不对函数（），若为有理数，与互素，若为无理数，则满足（，）且（）的的个数为（）前三个答案都不对若方程的根也是方程的根，则的值

2、为（）前三个答案都不对已知，则等比数列，的公比为（）前三个答案都不对的值为（）前三个答案都不对设，为实数，方程的两个虚数根为，满足为实数，则等于（）前三个答案都不对将个不同物体分成堆，每堆个，则不同的分法种类为（）前三个答案都不对设是以为直径的圆上的一点，是线段上的点，是延长线上的点，已知，则的长为（）前三个答案都不对两个圆内切于，大圆的弦与小圆切于，已知，则的长为（）前三个答案都不对（）是定义在实数集上的函数，满足（）（），则（）等于（）前三个答案都不对从一个正边形的个顶点中选个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是（）前三个答案都不对已知正整数，满足，则有可能等于（）前三个答案都不对三

3、个不同的实数，满足，则等于（）前三个答案都不对中学数学杂志年第期万方数据已知，则的最大值与最小值的乘积属于区间（），），），）前三个答案都不对在圆内接四边形中，则四边形的面积等于（）前三个答案都不对！除以所得的余数为（）前三个答案都不对方程组，的实数解组数为（）前三个答案都不对方程的所有实根的平方和等于（）前三个答案都不对参考答案由切点在切线上，可设切点坐标为（，）又切点（，）在曲线上，可得再由，得，可得曲线在切点（，）处切线的斜率为又切线的斜率为，所以进而可得，可不妨设，得结论（）正确：因为可得，（）（），结论（）错误：，是一个三角形的三边长，但，不会是某个三角形的三边长结论（）正确：因为可

4、得，结论（）正确：因为，所以，（）（）（）（）解法如图所示，设的半径为，由相交弦定理和勾股定理，可得（）（），把它们相加后，可求得图图解法如图所示，连结，可得，所以，由（，）知，在（）的解析式中可不妨设，（，）由（），可得，（）；，进而可得，所以满足题设的的个数为解法因为（）（）（），所以由题意，得方程的两个根，均是方程（）的根，所以得（）（）解法由题设，可得（）（）又注意到不含项，所以（）（），（）（）得，所以由题设，得()()()所以所求的公比为中学数学杂志年第期万方数据解法设，可得（），所以()解法()()因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数，所以可设（），（）（）（）得（）

5、，因为为实数，所以（），再得()()（）（），所以这是均匀分组问题，不同的分法种类为！如图所示，由，得又因为，所以得，（）（），图图如图所示，设与小圆交于点，连结，设为两圆在公共点处的公切线由弦切角定理，得又因为，所以再由三角形角平分线性质，可得，可求得在题设所给的等式中分别令，得（）（），（）（），（）（），可解得（）（）（）再在题设所给的等式中令，得（）（），所以（）图在图所示的正边形中，以为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有个（，），其中有且仅有是正三角形所以所求答案是考虑，（，），得中学数学杂志年第期万方数据（）（），所以只要选是合数即可而，都是质数，且（）（），所以取，得，所以本题选可设

6、，得，是关于的一元三次方程的三个实数根由韦达定理，得解法设（），得（），（）（），图说明函数（）是上凸函数可作出函数（）的图象如图所示再作出函数（）的图象在处的切线()，以及该图象过两点，()，()的割线于是可得()，当且仅当或时，以上不等式的左边取等号；当且仅当时，以上不等式的右边取等号由此，可得当且仅当时，（）当且仅当，中有两个取另一个取时，（）所以的最大值与最小值的乘积，）解法可得（）（）（）（）（）（）（）（）（），进而可得：当且仅当，中有两个取即，中有两个取另一个取时，（）设（），得（），（）（），说明函数（）是上凸函数由琴生不等式，可得当且仅当时，（）所以的最大值与最小值的乘积，）如图所示，连结图由题意，得，所以由余弦定理可得再由托勒密定理，可得，（），所以四边形（）因为当且时，！，所以！（）得选顺次记所给的三个方程依次是，后，可得（），即或，或，当时，得（，）（，），或（，）当，时，得（，）（，），或（，）当，时，得（，）（，），或，或，综上所述，可得原方程组解