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文档简介
1、理数课标版,第二节命题及其关系、充分条件与必要条件,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.解三角形在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:,上表中,若A为锐角,当absinA时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S.(1)S=ah(h为边a上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.,1.在ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=()A.B.C.D.1答案B根据=,有=,得sinB=.故选B.,2.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2
2、,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3,答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,cosA=,3b2-8b-3=0,b=3.故选D.,3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.3B.C.D.3,答案Cc2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6.由C=及余弦定理得c2=a2+b2-ab,由和得ab=6,SABC=absinC=6=,故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC=,B=,则AB=,ABC的面积是.答案3;,解析由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos,AB=3(负值舍去),SAB
3、C=ABBCsin=.,5.已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=1,b=,A=30,则c=.答案1或2,解析a=1,b=,A=30,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得1=3+c2-3c,即c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.,考点一利用正弦、余弦定理解三角形,考点突破,典例1(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a
4、=3.由正弦定理得sinB=,由题设知0B,所以cosB=.在ABD中,由正弦定理得AD=.,规律总结(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.,1-1设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解析(1)已
5、知bsinA=acosB,由正弦定理得sinBsinA=sinAcosB.在ABC中,sinA0,即得tanB=,B=.(2)sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,结合b2=a2+c2-2accosB,及b=3,B=,得9=a2+4a2-2a2acos,解得a=(负值舍去),c=2a=2.,考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状典例2设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=
6、sin2A,又sin(B+C)=sinA,sinA=1,A=.故选B.,方法技巧判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角,则(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理、因式分解、配方等得出边的关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”这个结论.,变式2-1若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“2sinAcosB=sinC”,试判断ABC的形状.解析解法一:2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即,sin(A-B
7、)=0,因为-A-B,所以A=B,故ABC为等腰三角形.解法二:由条件及正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得2a=ca2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“acosA=bcosB”,试判断ABC的形状.解析由条件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B,又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,考点三与三角形面积有关的问题典例3(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2co
8、sC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absinC=.,又C=,所以ab=6.(8分),由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分),规律总结(1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般根据已知角具体选择.(2)解决与面积有关的问题,一般要利用正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.3-1(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.,解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.在ABC中,由正弦定理可得=
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