2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件理

1、理数课标版,第二节命题及其关系、充分条件与必要条件,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.解三角形在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:,上表中,若A为锐角,当absinA时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S.(1)S=ah(h为边a上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.,1.在ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=()A.B.C.D.1答案B根据=,有=,得sinB=.故选B.,2.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2

2、,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3,答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,cosA=,3b2-8b-3=0,b=3.故选D.,3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.3B.C.D.3,答案Cc2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6.由C=及余弦定理得c2=a2+b2-ab,由和得ab=6,SABC=absinC=6=,故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC=,B=,则AB=,ABC的面积是.答案3;,解析由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos,AB=3(负值舍去),SAB

3、C=ABBCsin=.,5.已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=1,b=,A=30,则c=.答案1或2,解析a=1,b=,A=30,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得1=3+c2-3c,即c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.,考点一利用正弦、余弦定理解三角形,考点突破,典例1(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a

4、=3.由正弦定理得sinB=,由题设知0B,所以cosB=.在ABD中,由正弦定理得AD=.,规律总结(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.,1-1设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解析(1)已

5、知bsinA=acosB,由正弦定理得sinBsinA=sinAcosB.在ABC中,sinA0,即得tanB=,B=.(2)sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,结合b2=a2+c2-2accosB,及b=3,B=,得9=a2+4a2-2a2acos,解得a=(负值舍去),c=2a=2.,考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状典例2设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=

6、sin2A,又sin(B+C)=sinA,sinA=1,A=.故选B.,方法技巧判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角,则(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理、因式分解、配方等得出边的关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”这个结论.,变式2-1若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“2sinAcosB=sinC”,试判断ABC的形状.解析解法一:2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即,sin(A-B

7、)=0,因为-A-B,所以A=B,故ABC为等腰三角形.解法二:由条件及正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得2a=ca2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“acosA=bcosB”,试判断ABC的形状.解析由条件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B,又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,考点三与三角形面积有关的问题典例3(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2co

8、sC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absinC=.,又C=,所以ab=6.(8分),由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分),规律总结(1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般根据已知角具体选择.(2)解决与面积有关的问题,一般要利用正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.3-1(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.,解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.在ABC中,由正弦定理可得=