矩阵理论-第八讲

1、矩阵理论第8讲-1,矩阵理论-第八讲,兰州大学信息科学与工程学院2004年,矩阵理论第8讲-2,上节内容回顾,Hermite矩阵正定性方阵的范数三角不等式绝对齐性正定性相容性各种矩阵范数1F21、2与矩阵范数相容的向量范数的存在性从属于向量范数的矩阵范数矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用,矩阵理论第8讲-3,矩阵的条件数,定义矩阵条件数的工程背景许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值，或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响？怎样度量这种影响？怎样给出这种误差上界,矩阵理论第8讲-

2、4,矩阵的条件数,当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，称之为病态（坏条件的）方程组，反之，称之为良态（好条件的）方程组。通常用方程组系数矩阵A的条件数来刻画方程组的这种性态helpcondCONDConditionnumberwithrespecttoinversion.COND(X)returnsthe2-normconditionnumber(theratioofthelargestsingularvalueofXtothesmallest).Largeconditionnumbersindicateanearlysingularmatrix.COND(X,P)returns

3、theconditionnumberofXinP-norm:NORM(X,P)*NORM(INV(X),P).whereP=1,2,inf,orfro,Question:whatisthesingularvalueofamatrix?,矩阵理论第8讲-5,矩阵的奇异值,定义设，的特征值为则称为A的奇异值,矩阵理论第8讲-6,矩阵的条件数,用MATLAB验证的条件数与下面的方程组进行比较：用来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）,矩阵理论第8讲-7,矩阵的条件数,精度分析检验Ax=b解的精度的一般方法，或者用迭代法进行数值求解时，使迭代终止条件，是将x代回原方程组计算残差向量对良态方程组

4、，如果很小，一般可认为解是好的，或迭代可以中止，但对病态方正组，这一结论不成立。例如，以作为解，则但上解与其准确解相差甚远,矩阵理论第8讲-8,矩阵的条件数,先分析方程组Ax=b中只有b有扰动的情况。设由引起的解x的扰动为，则（设）由相容性条件：,矩阵理论第8讲-9,矩阵的条件数,再分析方程组Ax=b中只有A有扰动的情况。设由引起的解x的扰动为，则（设）当时,矩阵理论第8讲-10,矩阵的条件数,当A与b二者均有扰动时，由于Ax=b的线性特性，其扰动结果为二者扰动之和注意到当时,矩阵理论第8讲-11,矩阵的条件数,当时给出引起的的绝对误差给出引起的的相对误差,矩阵理论第8讲-12,矩阵序列,定义

5、由中的矩阵构成的与自然数集N等势的集合一一映射矩阵序列的收敛若则称矩阵序列收敛于，或称A为矩阵序列的极限，记为或不收敛的矩阵称为发散矩阵序列收敛的充分必要条件其中是上的任一矩阵范数,矩阵理论第8讲-13,矩阵序列,证明：先取上矩阵的G范数证明上述充要条件所以由范数的等价性，对上的任一矩阵范数，使得其中是上的任一矩阵范数,矩阵理论第8讲-14,矩阵序列,推论：设逆命题不成立不收敛,矩阵理论第8讲-15,矩阵序列,推论：设由此推论可得：若,矩阵理论第8讲-16,矩阵序列,上述命题可根据充要条件来证明：由可证,矩阵理论第8讲-17,矩阵序列,若则若A存在，但不可逆时，上述定理不成立,矩阵理论第8讲-

6、18,矩阵序列,由方阵的幂构成的序列、收敛矩阵定义设，若，则称A为收敛矩阵为收敛矩阵的充要条件必要性充分性取,矩阵理论第8讲-19,矩阵序列,推论设，若对，有，则A为收敛矩阵，即,矩阵理论第8讲-20,矩阵序列,举例判断下列矩阵是否为收敛矩阵(1)利用充要条件A是收敛矩阵(2)利用充分条件A是收敛矩阵,矩阵理论第8讲-21,矩阵级数,矩阵级数的定义由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数，记为，称为矩阵级数的部分和。矩阵级数的收敛和发散若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列收敛，且有极限S则称矩阵级数收敛，且有和S，记为不收敛的矩阵级数称之为发散的,矩阵理论第8讲-22,矩阵级数,中的矩阵级数收敛相

7、当于C上的个级数都收敛举例已知矩阵序列的通项为判断矩阵级数的敛散性考察上述矩阵级数的部分和,矩阵理论第8讲-23,矩阵级数,矩阵级数收敛，且其和为,矩阵理论第8讲-24,矩阵级数,矩阵级数的绝对收敛定义：设，如果个数值级数即级数都收敛，则称矩阵级数绝对收敛矩阵级数的绝对收敛的充要条件设矩阵级数绝对收敛正项级数收敛证明：,矩阵理论第8讲-25,矩阵级数,先在矩阵范数下证明此命题必要性：矩阵级数绝对收敛都收敛此个级数均为正项级数，其相加所构成的级数收敛。由于由正项级数的比较判别法，可知级数收敛。充分性：,矩阵理论第8讲-26,矩阵级数,若正项级数收敛，由可知由正项级数的比较判别法，可知个数值级数收敛，从而矩阵级数绝对收敛。同时应用上矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，可知上述命题对均成立,矩阵理论第8讲-27,矩阵级数,定理设，其中则，绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变若矩阵级数收敛（或绝对收敛），则矩阵级数也收敛（或绝对收敛），并且有若与均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数也绝对收敛，且其和为AB,矩阵理论第8讲-28,矩阵级数,证明：只证4.及5.4.因，记，则在此基础上考察级数的部分和的极限可见收敛，且若绝对收敛收敛，由于由正项级数的比较判别法可知绝