第二章-晶体点阵.ppt

1、第二章 晶体点阵,晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排列构成的固体物质。晶体内部周期性排列的结构，使晶体具有以下共性： 1.均匀性：晶体内部各个部分的宏观性质相同。注意：玻璃体内各个部分的宏观性质也是相同的，与晶体有什么不同？ 2.各向异性：晶体中不同方向具有不同的物性。光电磁等。 3.自发地形成规则多面体：晶体生长过程中自发地形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱相交形成顶点。晶体在理想状态下应生长成凸多面体。,凸多面体的晶面数F，晶棱数E和顶点数V之间的关系符合公式： F + V =E + 2 4.有明确的熔点 5.对称性最重要 6.对X射线衍射测量的基础,X-射线已经揭示了晶体内部的结

2、构基元（motif）总是按照一定的周期排列，并形成固定的三维空间图案。对晶体结构基元周期性排列的描述是将每个结构基元看成抽象的几何点，这样把晶体结构抽象成一组无线多个周期性排列的点-点阵。 定义：点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可得一向量，将各个点按此向量平移能使它复原。,满足此条件的一组点称为点阵（Lattice）。 点阵中的每个几何点叫阵点。阵点的选择是任意的，只要代表结构基元就可以。阵点所代表的具体内容称为晶体的结构基元（structural motif）。,2.1 图案与点阵,2.1.1 一维图案与直线点阵,一维对称图案的结构基元周期性地排列在一个方向上。,将一维对称图案中每个结构

3、基元等同位置抽象成一个几何点，形成一个直线点阵。,直线点阵中，任取一阵点为原点O，相邻阵点为A，则矢量a = OA,称为初基矢量-基矢。直线点阵中任意两阵点的平移矢量称为矢径，可表示为：,矢径Tp完全说明了一维对称图案结构基元的排列的周期性。,2.1.2 二维图案与平面点阵,二维对称图案,把二维对称图案中每个结构基元的等同位置抽象成一个几何点，就把二维对称图案抽象成平面点阵。,非初基 单胞,平面点阵可以分解为一系列平行的点阵直线，每组平行的点阵直线间距(di)是等同的。也可以划分为无限多个连接的平行四边形，,阵点周围的几何环境都是相同的。,任选一个阵点作为原点O，连接相邻两个阵点做向量对，有两

4、种情况：由初基矢量对围成的平行四边形叫初基单胞，否则为非初基单胞。 初基单胞性质：,1.初基单胞以每个阵点为原点，做周期性重复时，完全覆盖所有点阵面积； 2.不管所选的基矢如何，初基单胞的面积相等； 3.初基单胞只包含一个阵点，非初基单胞包含两个或以上阵点。,平面点阵任何阵点的矢径可表示为：,平面点阵只有5种排列方式：,|a|b| 90,|a|b| = 90,|a|=|b| 90,|a|=|b| = 90,|a|=|b| 90,NaCl晶体一个截面原子的排列，结构基元如虚线画出的正方形单位，包括一个Na+和一个Cl-离子。等径最密堆积一个原子为一个结构基元。石墨烯，结构基元为2个C原子。,2.

5、1.3 晶体结构与空间点阵,晶体结构是一个三维对称图案，空间点阵就是从晶体结构中抽象出来的无限大几何图像。 晶体的结构基元由一种原子组成，原子与阵点重合，这种点阵叫晶格，这种格子叫布喇菲格子。 晶体结构基元由2种或2种以上原子组成，每个基元中相同位置的同种原子可以构成相应的点阵。 晶体是有具体物质内容的空间点阵结构。每种晶体都具有特有的结构，但是，不同的晶体可以有相同的空间点阵。比如碱金属的氯化物：LiCl，NaCl，KCl是不同的晶体，但是有相同的空间点阵。此类晶体每个阳离子周围有6个等距离的阴离子，同样每个阴离子周围有6个等距离的阳离子。,5.628,NaCl晶体中，同类原子最小重复距离为

6、5.628。换一个重复距离标度就可以表示LiCl或KCl晶体结构，但是空间点阵形式完全一致。,5.628,O,A,B,C,a,b,c,与前面一样，选择4个相邻的阵点O,A,B,C，得到3个方向的基矢,用这3个基矢可以画出一个体积最小的平行六面体。每个顶点为一个阵点，这个阵点为八个相同的平行六面体所共有。因此对每个这样的平行六面体而言，只包含一个阵点。这种平行六面体叫初基单胞。在三个方向上做周期性重复，就得到整个空间点阵。 任选一个阵点做原点，其他任何阵点的矢径可表示为,空间点阵可以画出无限多个阵点直线族，每个阵点直线族的阵点直线均互相平行，重复周期相同。阵点直线在晶体结构中为晶列，在外形上表现

7、为晶棱。 空间点阵也可以画出无限多阵点平面族，每个平面均平行。阵点平面在晶格结构中成为网面，在外形上表现为晶面。有两个重要特征： （1）空间方向。阵点平面的法线方向代表该阵点平面族的方向； （2）阵点平面族中的平面间距相等。,2.2方向指数,2.2.1平面点阵的阵点直线方向指数,图中平面点阵中，A方向的终点不在阵点上，OA不是平面点阵的平移矢量。延长止于阵点R，这时OR变为真的平移矢量（径）。即T = a + 3b。T平移矢量,方向指数为【13】.如果分向相反，平移矢量为，这时T = -a - 3b，T的方向指数为【13】。对平面点阵阵点直线可以表示为 Tpq = pa + qb,方向指数定义

8、为p：q =【pq】,注意三点： （1）方向指数中p：q和【pq】限于两个互质整数比。 （2） （3）任何平行的阵点直线方向指数均为【pq】。 【pq】求法： （1）通过坐标原点引直线T，写出T上任一阵点坐标，将坐标约化为两个互质的数之比即得； （2）写出阵点直线上任意两个阵点的坐标，【（x1y1）】和【（x2y2 ）】将(x1-x2):(y1-y2)约化为两个互质的整数比即得。,平面点阵中，阵点直线等效方向的数目与点阵的对称性有关。对称性越高，等效方向的数目越多。,a.一般平行四边形点阵 所有阵点都是对称中心。A方向与B方向是等效的，即A方向的【11】=B方向的【1 1】,一般情况下可以写成

9、【p q】=【p q】 b.矩形点阵 有一组互相正交的对称面1和2。A方向【1 2】,通过一组对称面或一中心反伸与一对称面的反映，可以得到图中4个方向的等效方向.,在一般情况下，矩形点阵的阵点直线的等效方向指数可表示为,C.正方形点阵 存在两组互为正交的对称面（12）（12）及四次对称轴。,图中阵点直线（12）通过对称面反映或对称面反映和四次轴旋转操作，可产生8个等效方向。,一般情况下，正方形点阵的阵点直线等效方向指数可以写为,d. 六方形点阵 存在一个六次旋转轴和六个对称面。图中的阵点直线方向A（13），通过六次旋转轴和六个对称面的反映，可以得到等效方向。,2.2.2 空间点阵的阵点直线方向

10、指数,空间阵点的矢径可以表示为 Tpqr = pa + qb + rc a,b,c代表空间点阵的基矢。p,q,r 为阵点【(p,q,r)】在a,b,c三坐标轴上的分量，为有理数。使p:q:r = u:v:w,且u,v,w为互质的整数，那么【uvw】就是阵点直线的方向指数。 阵点直线方向指数的求法： （1）把直线平移至通过坐标原点，任取直线上一个阵点的坐标p,q,r，再将其互质化为u,v,w，即求得阵点直线的方向指数【uvw】。 （2）在阵点直线上任取两点的坐标【 p1q1r1 】 和【 p2q2r2 】，使(p1 - p2):( q1 - q2):(r1 - r2)化为互质,的三个数，即得方向

11、指数。 对于【uvw】应该注意如下两点： (1) (2) 在晶体结构及其对称图形中，一组相互平行的阵点直线的方向指数相同，都可以用【uvw】,空间点阵等效阵点直线的数目与其点阵的对称性有关。对称性越高其等效阵点直线的数目越多。 a.单斜空间点阵 若平行四边形点阵均匀的堆积过程是上一层点阵直接的在下一层阵点之上，这样的堆积可形成单斜空间点阵，保有二次轴。 在平行四边形点阵中每个阵点都是对称中心，因此有【u v 】= 【u v 】，但是垂直于平行四边形,的是平面矩形点阵。因此有,故有,并以单斜代表着四个等效方向。,a b c a = b = 90 g 90,b.正方空间点阵 正方形平面点阵的阵点对

12、阵点堆砌而成，保有4次轴，但是层间距不等于正方形边长。初基正方空间点阵单胞如图：,a = b c a = b = g = 90,对正方形平面点阵，有,即在此指数中正、负号都是可变的。但是，在保证垂直于正方形平面点阵的平面点阵为矩形的情况下，只有v(或u)和w正、负号是可变。,有,和,对正方空间点阵的方向指数，在三个指数的正负号和位置的变换中，只限制w必须出现在最后。因而有,和w重复；,和w重复。,最后得到16个等效方向。用正方表示。对于方向指数中有两个为0时，减少为4个等效方向。,即,对于正方类型，只有8个等效方向。,对于六方和三方空间点阵，可以选择4轴坐标系，四个指数为uviw，一次对应轴a

13、、b、d、c.轴a、b、d在同一平面内，c垂直于此面。 u:v:i:w比值为,x1,x2,x3和z分别为点R的坐标。同时，还规定了x1+x2+x3=0。,这样就可以得到通过坐标原点的任一阵点直线方向指数。,同样可以证明任意 uviw前3个指数之和为0， 即u+v+i=0,确定图中空间点阵的点阵直线OA,OB和OC方向指数。B点平分基矢径a。,a/3,2a/3,写出图中OA,OB,OC, OD, OE,OF的矢径和这些阵点直线的方向指数。,证明六方和三方空间点阵,的四个指数uviw前3个之和为0， 即u+v+i=0,2.3有理指数定律和阵点平面指数,O,A1,A2,B1,B2,C1,C2,Q1,

14、Q2,X,Y,Z,结晶多面体上的两个晶面Q1，Q2在X，Y，Z三个坐标轴上的截距分别为OA1和OA2，OB1和OB2，OC1和,OC2，其对应二者的比值连比可以简化为三个互质的整数连比：,这个定律是法国科学家HAY在无限劈裂方解石成a=10155角的多面体启示下发现的。当时还不能证明此定律。所以叫有理指数定律经验的总结。,后来随着晶体学的点阵结构理论所证明。证明方法：,1,3,1,3,1,3,把相较于一点的三个晶棱作为坐标轴，以初基单胞的棱长为坐标的标度。把一个晶面放到此坐标系，这个晶面在坐标轴上的截距倒数之比可以简化为一互质的整数连比。,2.3.2 阵点平面指数 阵点平面指数(hkl)首先由

15、米勒引用，以后称为米勒指数。 有了有理指数定律，当晶体选取适当的坐标轴后，就可以标定阵点平面或晶面指数。,步骤为： (1)选择不同阵点平面的三个坐标轴X,Y,Z，相应的轴单位分别为a,b,c，使欲求指数的阵点平面与三个坐标轴相交。 (2)测量阵点平面与坐标轴的交点到原点距离，即求的pa,qb,rc，p,q,r称为轴系数。 (3)取阵点平面在三个坐标轴的轴系数的倒数，并乘以适当因子，使其换算到三个互质证书连比。即可求得该阵点平面指数(hkl),X,Y,Z,O,p,q,r,求出pa,qb和rc,然后求,立方初基单胞的一些重要阵点平面,阵点平面指数(hkl) 注意四点： (1) (2)当阵点平面与坐标轴X轴平行时，在X轴上有a，这时 当然还可以得到,(3)属于同一阵点平面簇平面指数相同(hkl).,(4)晶体外形的晶面的平面指数称为晶面指数或米勒指数。对于原点异侧的平行晶面用不同的晶面指数表示。规定,2.3.3 三方及六方晶体的四轴坐标系平面指数 与前面的阵点直线指数一样。将3次轴或6次轴选作选c轴，a,b,d轴在同一平面，且垂直于c轴。 这样，阵点平面指数为(hkil)，指数h,k,i,l依次指a,b,d,c轴。它们的比值等于：,p,q,s.r为该阵点平面(晶面)的标轴系数，依次指a, b, d, c轴的矢径。 由于a,b,d在同一个平面，利用初等几何学方法可