微分方程模型

1、微分方程模型,常微分方程,常微分方程是最简单的微分方程之一，也是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方程； 微分方程的解就是满足这个式子的函数y=f(x,C)；,Mathematica解常微分方程,DSolve常微分方程,yx,x 功能：求常微分方程的通解y=f(x,C). DSolve常微分方程,初始条件,yx,x 功能：求常微分方程满足初始条件的特解. 例求 满足,Mathematica求极限,Limitfx,xx0,Direction1 功能：求函数fx在x0处的左,右极限. 例求,微分方程模型简介,微分方程模型是一种动态模型，用于描述对象某些随时间（或空间）而演

2、变的变化规律； 微分方程模型主要通来导数和微分来描述对象的变化规律； 导数和微分反映的是对象的变化率问题；,鱼雷追击模型,一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里处我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度位0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？,问题分析,鱼雷向敌舰追击的轨迹不是直线，但鱼雷的行驶方向(速度方向)始终指向敌舰； 行驶过程根据敌舰方位改变行驶方向(速度方向) ； 问题求解敌舰行驶多远能击中敌舰，而速度又是路程对时间的导数；,建立模型：变量假设,敌舰为动点 Q初始点为Q0(1,0)处, 鱼雷为动点P初始点为P0(0,0)

3、处,如图所示: 敌舰的速度为v0,鱼雷的追击曲线为y=y(x) ；,在时刻t，鱼雷在点P(x,y)处，此时敌舰在点Q(1,v0t)处,建立模型：建立函数关系,由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰，而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y=y(x)的切线方向，得到鱼雷总体运动方向方程： 鱼雷行驶的速度大小为2v0，而且可分为水平方向运动和垂直方向上的运动：,（1）,（2）,建立模型：函数关系化简,对(1)式两边同时对x求导得： (2)式化为： 代入得： 另有初始条件：,模型求解,求解过程见“鱼雷追击”文件； 其中%表示运用上次记算的结果，此处表示求得的y=yx鱼雷运动轨迹方程； /.x1表示用1代替/.前边式

4、子中的x； 求解结果表明，敌舰在行驶2/3mile后被击中，即一分钟后被击中；,人口增长模型1,人口增长的逻辑模型方程 是由生物学家Pierre Verhulst 在19世纪中叶提出的,这里的常数b相对于a是很小的,从而当人口总数很小时,关于p的二次项可以被忽略,人口总数近似于正比例增长,然而当人口总数很多时,二次项就会起作用以减慢人口增长速度.,人口增长模型评价,表示人口随时间的增长率； a0表示人口增长的基本倍数，如我国普遍实行计划生育，可以认为a=1； b0表示约束人口增长的条件，如资源，医疗等；人口少的时候，资源充足，二次项基本不起作用；当人口基数很大的时候，资源紧张，二次项就起减慢人

5、口增长的作用了。,人口增长模型例子,试求a=2，b=0.005，初始人口为p0=1(千)时人口的变化情况；,传染病模型,传染病传播模型是用来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来的模型 人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的，所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型。,SIS模型问题描述,有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。,SIS模型变量假设,传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均人数百分比，当病人与健康者接触，一部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总数的百分比；,SIS模型函数关系,每天新增病人数为： 每天被治愈的病人数为： 病人变化量为： 所以有：,模型求解,定义变量：,模型评价,当 表示传染病的日接触率日治愈率, i(t)0,反映传染病在蔓延,感染人数不断上升; 如SARS这类高传染性的传染病,日接触率远大于日治愈率, i(t)1,反映传染病迅速爆发; 当 表示传染病的日接触率日治愈率, i(t)=0,反映传