课件 3.2.1 几类不同增长的函数模型

1、3.2函数模型及其应用,3.2.1 几类不同增长的函数模型,通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性,学习目标,互动交流,探求新知,例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,回报的累积值,方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；,方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?,想一想：,方案一：每天回报40元

2、；,我来说,思考,比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量,哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。,想一想：,2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?,我来说,设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数y=40(xN*)进行描述;方案二可以用函数y=10 x(xN*)进行描述;方案三可以用函数 进行描述。,想一想：,3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢?,要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：,我来说,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再

3、通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元； y=40 (xN*),方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10 x (xN*),方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*),0 0 0 0 0 0,0 0 0 0,10 10 10 10 10,10 10 10 10,0.4 0.8 1.6 3.2 6.4,12.8 25.6 51.2 107374182.4,我想问,根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?,我来说,方案

4、一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。,我想问,作出三个方案的图象看看?,图112-1,图112-1,从每天的回报量来看： 第14天，方案一最多： 每58天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；,有人认为投资14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？,画 图,我想问,根据以上分析,你认为该作出何种选择?,从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?,累计回报表,我想问,结论:,投资8天以下（不含8天）,应选择第一种投资方案；投资810天，应选择第

5、二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。,解决实际问题的一般步骤是什么?,例题的启示,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,我想问,本题中涉及了哪几类函数

6、模型?实质是什么?,本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。,我来说,我再问,怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢?,我来说,要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择。,解:借助计算机作出三个函数的图象如下:,对于模型y=0.25x,它在区间10,1000上递增,当x(20,1000)时,y5,因此该模型不符合要求。,对于模型 ,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点 满足 ,由于它在10,1000上递增,因此当 时,y5,因此该模型也不符合要求。,对于模型 ,

7、它在区间10,1000上递增,而且当x=1000时, ,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。,再计算按模型 奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x10,1000时,是否有,成立。,令 ,x10,1000,利用计算机作出函数f(x)的图象,由图可知它是减函数,因此 f(x)f(10)-0.31670 即,所以,当x10,1000时,说明按模型3奖励,奖金不超过利润的25%。 综上所述,模型 确实符合公司的要求。,例3.探究函数 的增长情况并分析差异,1.列表：,几何画板演示,2.作图：,结论1：,一般地，对于指数函数y=ax (a1)和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发现：,在区间(

8、0,+)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.,结论2：,一般地，对于对数函数y=logax (a1)和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发现：,在区间(0,+)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内， logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.,综上所述：,(1)、在区间(0,+)上，y=ax (a1)，y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函数

9、。,(2)、随着x的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。,(3)、随着x的增大， y=logax (a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n0)的增长速度。,总存在一个x0，当xx0时，就有 logaxxnax,探究：你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函数 . 指数函数 . 对数函数 在区间(0,+)上的增长差异?,结论,一般地,对于指数函数 和幂函数,通过探索可以发现,在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内, 会小于 , 但由于 的增长快于 的增长,因此,总存在一个 ,当 时,就会有,同样地,对于对数函数 和幂函数 ,在区间(0,+)上,随着x的增大, 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内, 可能会大于 ,但由于 的增长慢于 的增长,因此,总存在一个 ,当 时,就会有,综上所述,在区间(0,+)上,尽管 , 和 都是增函数,但它们的增长速度