专题2 焦长焦比体系

学习数学领悟数学应用数学专题2焦长焦比体系专题2有凤来仪——焦长与焦比体系第一讲椭圆焦长以及焦比问题体：过椭圆的左焦点的弦与右焦点围成的三角形的周长是；焦长公式：是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，是椭圆半焦距，则：（1）；（2）；（3）．图1-1-1证明（1）如图1-1-1所示，；，故；（2）设，，，，由余弦定理得；整理得同理：；整理得得，则过焦点的弦长：焦比定理过椭圆的左焦点的弦，，令，即，代入焦长公式可得．推论根据公式，利用把角度替换掉可以得到注意：1．整个焦长体系只需要记住上面的公式，其他要熟悉推导，涉及到的面积问题记住是焦长当底即可；当直线过右焦点，或者上焦点、下焦点时，要熟悉此时的公式会如何变化，详见后面记忆方法处．2．学习焦长焦比体系要非常熟悉推导过程[定义+余弦定理+abc平方关系]，在处理解答题的时候，若用本模块公式到必须给出必要证明．3．公式和这两个公式属于结论公式，一般用上能很快解题，所以在解小题的时候要优先考虑这两个公式．和角度相关优先想第一个，只和长度相关优先想第二个．4．焦长公式利用极坐标或第二定义都能更快证明，这个问题大家可以自己去掌握，解答题中的证明建议以余弦定理的方式为主；其他证法本文不在阐述，读者可以自己去掌握．[长短记忆法: 画图，看长短来记忆．当焦点在x轴上的时候，焦长为，其中为焦长所在直线的倾斜角或者其补角，为方便判断，一般选用锐角记为．例如上图，如果记为,那么根据草图为长边，则分母小即可得到,不管交于左右都是如此，交于y轴的话需要把换成．焦比公式，如果,为两个焦长之比，可以选也可以,但是公式里面要正负对齐，如果选的是锐角，那么左侧是正的，右侧也要为正的，此时;反之选钝角，右侧最后一个公式一样的，，代入的算出来的就是长边，如果代入的,算出来就是短边][口诀记忆法：椭圆的焦点在x轴的时候，直线过左焦点时，为上减下加；交于右支时，相反，上加下减；同理，焦点在y轴时，直线过上焦点时，为左减右加；过下焦点时，相反，为左加右减．备注：此方法的角度选择均为直线的倾斜角．简短口诀为，“右下焦点对应上加下减，左加右减；反之颠倒．” 此方法角度均选直线的倾斜角．交于y轴的话分母需要把换成例：上图中在左侧，如果直线过右焦点的时候焦长为上加下减，过左焦点的时候是颠倒的，在上方，所以分母为减．] 【例1】（张家口期中）椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．16【例2】（乐山期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则△的内切圆半径为．【例3】（天心月考）已知椭圆的离心率，为椭圆上一点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆（异于椭圆顶点）于、两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【例4】（唐山模拟）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例5】（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（）A． B． C． D．【例6】（浙江模拟）已知、为椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于、两点，若轴，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例7】（南通月考）已知椭圆；的左右顶点为，，点为椭圆上不同于，的一点，且直线，的斜率之积为．（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆的左焦点，直线过点与椭圆交与不同的两点，，且，求直线的斜率．注意在解答题当中不能直接使用焦长公式以及涉及的结论，用到的公式必须要证明过程．在上面的解法二中，可以发现过焦点问题能够使用焦长体系能够轻松破解，但要注意不是所有考题都是焦长体系，要会鉴别，也要了解普通方法如何处理．第二讲双曲线的焦点三角形问题周长问题：双曲线，的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为（如图）图1-2-1图1-2-2图1-2-3设A是双曲线上一点，设为，直线过点．(1)直线和渐近线平行时，此时(2)当交双曲线于一支时，则，，令，即，代入弦长公式可得．当交双曲线于两支时，，（图1-2-3），令，，代入弦长公式可得．[总结：焦点在x轴上的时候，直线和双曲线交于单支的时候，公式形式和椭圆完全一样；直线和双曲线交于双支的时候，公式形式有所变化，具体参考上面书写]因为双曲线的部分考题会涉及渐近线，不过焦点的时候更要注意，注意鉴别．【例8】（全国期中）已知，是双曲线的左、右焦点，过作直线交双曲线左支于点，，若，则的周长为．【例9】（和平期中）已知为双曲线的左焦点，定点为双曲线虚轴的一个端点，过，两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率为．【例10】（浏阳月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率（）A．3 B．2 C． D．【例11】（宁夏模拟）是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则的离心率是（）A． B．2 C． D．【例12】（江油期中）已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．第三讲抛物线焦长公式及性质图1-3-1图1-3-2重要结论1．． 2．．3．． 4．设，则．5．设交准线于点，则；．证明1．，同理．2．．3．设到的距离为，则，故．4．，．5．，，，．关于抛物线的焦长公式及定理（为直线与抛物线右交点，为左交点，为倾斜角）1．；． 2．．3．． 4．设，则；．5．设交准线于点，．[总结：抛物线焦点在x轴的时候的，焦长为，，焦长也，记忆方法参考椭圆模块；当焦点在y轴上的时候cos换成sin]【例13】（天河一模）已知抛物线的焦点为，直线与交于，在轴上方）两点，若，则实数的值为（）A． B．3 C．2 D．【例14】（岳阳模拟）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（）A． B． C． D．2【例15】（赤峰一模）如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（）A． B． C． D．【例16】（2017•新课标Ⅰ）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（）A． B． C． D．【例17】（德州期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，，两点（点在第一象限），则下列结论中正确的是（）A． B． C．若直线的倾斜角为，则 D．若直线的倾斜角为，则第四讲过焦点的面积最值问题体面积：．,分母属于一个对勾函数模型，取得最值得条件在于与的大小比较，或者说离心率范围．当，即时，，当仅当时等号成立，此时．当，即时，，当时等号成立，此时．【例18】（宝安期末）设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积．【例19】（武进期末）已知为椭圆的左焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则四边形的面积最小值为（）A．4 B． C． D．【例20】（南关期末）已知椭圆的离心率为，且过点，．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的最小值．第五讲过焦点的弦与其中垂线的性质1．设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图1-5-1）2．设双曲线焦点弦的中垂线与焦点所在轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图1-5-2）3．设抛物线焦点弦的中垂线与对称轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图1-5-3）图1-5-1图1-5-2图1-5-31．证明根据椭圆焦长公式：，，，，故．2．证明当直线与双曲线交于一支时，证明过程同椭圆一致；当直线与双曲线交于两支时，，，，，其余过程与椭圆一致．3．证明抛物线焦点弦公式：；；．，，故．证明思路要记住是用上焦长公式，用上直角三角形的条件，表示即可．【例21】（河南模拟）已知是椭圆的左焦点，是椭圆过的弦，的垂直平分线交轴于点．若，且为的中点，则