高等数学考研中有关函数极值和最值问题的求解方法

1、2 0 o 9 年 第 4 8 期毒 爹 试 周 刊 高等 数 学 考 研 中有 关 函数 极 值 和 最 值 问题 的 求 解 方 法 梁存 利 ( 西藏民族学院 教育学院， 陕西 成阳7 1 2 0 8 2 ) 摘要： 最近几年考研 高等数学试题 中所 出现的求函数 极 值 和 最值 问题 主要 有 一 元 函数 的 极值 和 最值 、二 元 函数 的 极值和最值 、 条件极值和最值 以及函数 最值 的在 实际 中的应 用。本文以考研 高等数 学试题为例探讨 了函数的极值 和最值 问题 的主 要 的 求解 方 法 关键词：高数考研函数极值最值 函数的极值和最值是 函数 的重要性质 在实际

2、中有着 重 要的应用 ， 许多实 际问题最终都 归结为 函数极值或最值问题 ， 并且研究 生 高等数学考试大纲 也对求 函数 的极值和最值这 部分要求 比较高。所 以从2 0 0 1 年 u 2 0 0 9 年的研究生高等数学 入学考试试卷中几乎都 出现 了这部分的试题 。2 o o 1 年 到2 o 0 9 年考题 中函数最值和极 值的题型 主要有一元 函数 的极 值最 值 、 二元 函数 的极值最值 、 条件极 值问题 ， 以及 函数的极值最 值的应用题。 笔者在此 以考研 函数的极值和最值 问题为例 ， 详 细论述了解决这类问题 的方法 一 、 一 元函数的极值和最值 1 求板 值 方

3、法 定理 1 ( 极值 的第 一充分条件 ) ： 设 函数f ( x ) 在点x n 的某邻 域内连续且可导 ( 导数f ( x n ) 也可不存在) ， ( 1 ) 如 果 f； ； 】【nx o ， 则 x 。是 f( x ) 的 极 大 值 点 ； (2 ) 如 果 ； o ， f ， x 。 ) = 0 ， 则函数f ( x ) 在x 。 点处 ( ) 。 a 取得极大值 b 取得极 小值 c 某邻域 内单调递增 d 某 邻域 内单调减少 分析 ： 从表面看此题是微分方程 的问题 ， 如果从微分方程 人手 ， 那就步入误 区。 从结论 看是极值 问题 。 因为y ” 一 2 y + 4

4、 y = 0 ， 所 vaf ( x 0 ) - 2 f x 0 ) + 4 f ( x o ) = 0， 且 f ( x 0 ) ： o， f ( x o ) 0， 那 么f ， ( x 0 ) = x 。 ) 一 4 f ( x 。 ) 一 4 f ( x 。 ) 0 由极值第二充分条件可知f ( x ) 在x 。 取 得极大值 。选( a) 。 例2 ( 2 0 0 9 年数2 考研 题 ) 函数y = x 一 在 区间( 0 ， 1 上 的最 小 值为 。 解： 先求驻点。 f ， ( x ) ：( x “) ， ： ( e 2 x l n x ) ， ： 2 x 2 x ( 1 n

5、x +1 ) ： 0 ，得驻点 ： _ l j _ ； e 2 1 一一 求驻点和端点处的函数值。f ( _ ll _ ) = e ， f ( 1 ) = l ； e 2 1 一 一 比较上述函数值的大小。 f ( _ l _ ) ： e o ， a 0 ， 则 x 0 ， y o ) 取得极 小lf ( x 0 ， y o ) ； 若 a c b 0 ， a 0 ， 则f 在 x o ， y 0 ) 取得极 大值f ( x 0 ， y 0 ) ； ( 2 ) a c b 0， 且 a 0， 故 ( 0， 一 1 ) 为 f ( x， y ) 的 极 小 值 点 ， 且 极 小 值 为 f (

6、 0， e 穹 ； 试 周 刊2 0 0 9 年 第 4 8 期 _ l_ ) ： 一 。 例4 ( 2 0 0 5 年数4 考研题) 求 ( x ， y ) - x - - y + 2 在椭 圆域d ： ( x ， y ) x +y l 1 上 的最大值和最小值。 4 分 析 ： f ( x ， y ) 在椭圆域上 的最大值和最小值 ， 可能在 区域 的内部达到 也可能在区域的边界上达到。 因此求驻点及其 函数值； 求边界上的极值。 r 解 ： 求 函 数 的 驻 点 。 解 方 程 组 ： ： ； ， 得 驻 点 ( 0， 0 ) ， 且f ( o， 0) = 2 。 求 函数 在边界上

7、的极值 ( 有下 面的三种方法 ) 。 方法l ： 条件极值法 。令拉格朗 日函数为 ： f( x ， y ， ) = f ( x， y ) + ( x + 一1 ) ， 解 ： + 2 k ： 2 ( 1 ： 0 ox f ， = +- y = - 2 y + 1 y = 0 得可能极值点x = 。 ， y = 2 ， = 4 ； ft 、 ：x 2 + y一 1 ：0 4 x = 0， y = 一 2， h = 4； x = 1， y = o， = 一1 ； x = 一 1 ， y = 0 ， = 一 1 。 代 a f ( x， y ) 得f ( 0 ， 2 ) = 一 2 ， f (

8、1 ， o ) = 3 ， 可见z = f ( x ， y ) 在 区域d = ( x ， y ) i x + l 1 内的最大值为3 ， 最小值为一 2 。 方法2 ： 三角换元法 。令x = c o s t ， y = 2 s i n t ， 则 ： f ( x ， y ) = c o s t 一 4 s i n t + 2 = c o s 2 t+ ， 所 当t = k 时 ， 即x = 1 ， y = o 时 ， f ( x ， y ) 在边界上取得极大值f ( 1 ， o) = 3。 当 t ： k 订+ 时 ， 0 x = 0， y = 2时 ， f ( x， y) 在 边 界 上

9、 取 得 极 小 z 值f ( 0 ， 2 ) = 一 2 。 2 可见z = f ( x ， y ) 在区域d = ( x ， y ) + l 内的最大值为3 ， 4 最小值为一 2 。 方法3 ： 代入法 。即y = 4 4 x 4 af ( x ， y ) 中得f ( x ， y ) = 5 x - 2 ， 转化为一元 函数求极值 ( 略) 。 三 、 条 件 极 值 问 题 条件极值问题 ： 在g k ( x 。 ， x ， ， x ) = o ( k = 1 ， 2 ， ， i n m n ) 的条件下 ， 求 函数f ( x ， x ： ， ， x ) 的极值 。 拉格朗 13乘数

10、法是在求多元函数条件极值 中最常用的一 种方法 ， 下面具体地来看看这种方 法。 若f ( x 1 ， x 2 ， ， x n ) 及g k ( x 1 ， x 2 ， ， x n ) = 0 ( k = l ， 2 ， ， n 1 m n ) 有 连 续偏 导 数， 且 j a c o b i 矩 阵 ! ： g 2 ， 。 的 秩 为 m ，则 可 a ( x 1 ， x 2 ， ， x ) 用拉格朗 日乘数法求极值 。 步 骤 ： 构造拉格朗13函数 ： l ( x i ， x ， x n 一 ) = f ( x l x ， x n ) + k ( x l x 2 得驻点p 0 即可。

11、， ， ， 例5 ( 2 0 0 8 年数2 考研 题) 求 函数u = x + y + z 在 约束条件z = 11 n ， 组 榧 簖 2 0 0 9 年 第 4 8 期考 试 周 刊 论 三 维目 标引 领 肖 武 cj 同 职 教学 改 革 ( 随州职业技术学院 ， 湖北 随州4 4 1 3 0 0 ) 摘要 ： 现代课程理论和改革的基本理念是： 能力发展是核 心， 知识、 文化积 累是基础， 情感态度养成是灵魂。 三者相互依存， 相互促进。 高职的教 学改革必须紧紧围绕这三个维度来进行。 关 键 词 ：高职 教 学改 革 三 维 目标 涵 义 要 求 方 法 途径 一 、三维 目标

12、的具体涵义 三维 目标是知识 与能力 、 过程 与方法 、 情感态度价值观三 个维度 的有机统一。 知识与能力 。既是教学的出发点 ， 又是教学的归宿。教与 学都是通过知识 和能力来体现的。 过程与方法 。既是教学的 目标之一 ， 又是教学的操作 系 统。新课程体系改革倡导对学 与教过程的体验、 方法的选 择 ， 即是在知识 与能力 目标基础上对教学 目标的进一步开发。 情感态度价值观。 既是教学的 目标之一 ， 又是教学的动力 系统。新课程体系改革倡导对学与教的情 感体验 、 态度形成 、 价值观的体现 ， 也是在知识与能力 、 过程与方法 目标基础上对 教学深层次的开拓 知识与 能力是教

13、学 目标的核心 ，它通过过程 与方法 ， 情 感 、 态度与价值观 目标的实现过程而最终实现： 过程与方法是 教学目标的组成部分和课堂教学的操作系统 ，它渗透在知识 与能力 目标 的实现中而实现； 情感 、 态度与价值观是教学 目标 的组成部分和教学的动力系统， 它伴随知识 与能力 、 过程与方 法 目标的实现而实现。三维 目标 系统完整 ， 不可分割 。 二、 三维 目标的具体要求 ( 一) 主体参与的有效化。 学生是学习的主体 已成定论。 重要的是怎样弓 l 导学生有 效参与 ， 从 而引导学生 自主学习。 1 教师首先要尊重学生 的人格 。 尊重学生的个性差异 建 立 民主和谐的课堂教学

14、气氛 ， 使学生有情绪上 的安全感 ； 其次 要 建 立 一 个温 暖 的 、学 生 能 彼此 接 纳 的和 相 互 欣 赏 的学 习场 所 ， 让学生有一个安全的心灵港湾。 2 教师要学会赞赏学生 ， 帮助学生树立学习的信心。 3 培养学生选择能力和履行责任 的能力 。学生有能力选 择学习内容和学习方式 ， 能够胜任学 习。 以及合作学 习中 自己 的 任 务 。 4 教学要 与学生 的生 活世界相联 系 激 活学生的生活 经 验 拨动学生的心弦。 ( 二 ) 教 学 目标 的 具体 化 。 三维 目标必须具体 。 才能便于在课堂教学中落实。 把三维 教学 目标具体化 ， 应包 括以下 内容

15、 ： 1 教 学对 象 ； 2 学生行为 ； 3 确定行为的条件 ； 4 程度。 ( 三) 教学 内容的问题化。 问题是思维 的开始。 在教学 中 教师要善于提炼问题给学 生 ， 还要善于引导学生提 出问题 ， 形成 问题 ， 把学习过程变为 提 出问题和解决问题的过程： 善于培养学生的问题意识 ， 既要 引导学生从整体入手 又要引导学生从细节上发现问题 。 ( 四) 教 学过程的实践化。 教学过程是引导学生进行实践的过程 高职培养的是高 素质技能型专门人才 所 以必须把 理论传授与实验 、 实训有机 融合 ， 从而真正实现教学做一体化 。 ( 五) 教学指导的方法化。 教师要有强烈的方法意识

16、 ，根据不 同学习 内容采取不 同 的方法进行指导 即针对 陈述性知识 、 程序性知识和策略性知 识 合理选择最佳 的教学方法 ， 从而实现教学效果的最大化 。 ( 六 ) 情 感 态度 的 个性 化 。 学生是千差万别的学习主体 在具 体的学习内容 、 学习过 程 、 学习场景、 学习范畴中， 在个人的情感体验上 ， 也会各不相 同 教师要充分尊重学生 的这种差异 ， 并注意保护和开发学生 独特 的个人情感体 验让个性化的情感体验在学生的学习过 程中和教师的指导过程中得 到丰富和发展 。 ( 七) 教学评价的 多元化 。 教学 目标的“ 多维” 决 定了教学评价 的“ 多元” ， 即教师既

17、要评价学生的知识与能力 。 又要评价学生学习的过程与方法 ， 还要评价学生 的情感 、 态度、 价值观。 在交流反馈时， 教师既要 关注学生答案的正确性 ， 又要关注学生得 出答案的思考过程 ； 既要关注学生对知识的理解 和技能的运用 又要关注学生所 表现出来 的对知识 的兴趣程度和对学习的专注程度。 三 、 三维 目标 的 方 法途 径 ( 一 ) 如 何 处 理 知识 、 能 力与 过 程 、 方 法 的 关 系。 知识 、 能力与过程 、 方法 的关系实际上就是我们通常所说 的结论与过程 的关 系， 与这一关 系有关 的还有学习与思考 、 接 受与发现 、 掌握与感悟 、 学会与会学等关

18、 系。 从教学角度来讲 所谓教学 的结论 ， 即教学所要达到的目 的或所需获得的结果 ： 所谓教学的过程 ， 即达到教学 目的或获 得所需结论而必须经历 的活动程序 。 毋庸置疑 ， 教学的重要 目 x +y 2 和x + y + z ： 4 下的最大值和最小值 。 解 ： ( 本题求多元函数的条件最值 ，利用拉格朗 习乘数法 求 解 ) 拉格朗 e t 函数为 ： l ( x ， y ， z ， a ， b ) _- x 2 + y 2 + z 2 + a ( x 2 + y 2 - z ) + b ( x + y + z 一 4 ) 。 = 2 x + 2 a x + b = 0 = 2 y + 2 a y + b = o， 联 a口 ： x 2 + y 和x y + z = 4 ，解 之 得 ： =2 z a + b = o 驻点p 。 ( - 2 ， - 2 ， 8 ) ， p 2 ( 1 ， 1 ， 2 ) 。 又 ( x 2 + y 2 + z 2 )( - 2 l一 2 ， 8 1 = 7 2， ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( 1 i l 2 )