第三节 重力模型法

1、第三节 重力模型法（Gravity Model）,主要内容,概述 模型参数标定 无约束模型（简单模型） 单约束模型 双约束模型 模型理论解释 重力模型特点 分布模型选择,一、重力模型理论,GM模型描述： 交通区i、j之间出行量与交通区i的产生量和交通区j的吸引量的乘积成正比，与交通区i、j之间的交通阻抗R（时间、费用、距离等）成反比。 1955年Casey第一次将重力模型用于地域内两个城镇之间购物出行预测。,GM模型原理：该模型模拟物理学中的牛顿的万有引力定律，即：两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，与它们之间距离的平方成反比。,重力模型法（GM）认为交通区i到j的出行分布量不仅与社会经济

2、因素有关（驱动因素），而且还与时间、空间等阻碍因素有关。 重力模型的基本公式为：,其中， Pi，Pj小区i，j的人口数； Oi，Dj小区i，j的产生交通量与吸引交通量； R小区i，j间的阻抗（距离、费用等）； k,模型参数。,Casey模型,f（Cij）称为阻抗函数，它是减函数，表示当出行阻抗Cij （距离、时间、费用等）增加时函数值降低，即出行量减少。常用的阻抗函数形式有：,（1）指数形式,（2）幂形式,（3）综合函数,对于公式：,在现状OD表已知的条件下，Oi, Dj, Cij和tij已知，k,可以用最小二乘法求得。对（6.3.1）式取对数:,已知,多元回归分析式,二、重力模型参数标定,（

3、6.3.1）,现状OD表,小区之间阻抗表,假设,均为1，请标定重力模型的参数k和 。,例题：参数标定,解：,一元线性回归公式,令,则： Y=,采用最小二乘法求解得：b0=-5.627;b1=-0.5224,由此求得：k=0.0036; =0.5224,X=,不考虑未来P、A的约束，直接用公式和标定的参数对未来的Tij进行预测。 例如：将未来的P、A、Cij代入前面公式：,即可得到未来年份的出行分布矩阵。,三、无约束重力模型,无约束模型的计算结果，由于不考虑未来P、A的约束，可能与给定的产生量P、吸引量A差别很大，需要借助于增长系数法迭代后才能使用。见课本P142页例题。 为了避免预测与理论数值

4、差别过大的情况，需对重力模型进行约束。通常有单约束、双约束、三约束等。,只服从其中的一个约束，就称为单约束重力模型。如果两个条件约束都服从，则称为双约束重力模型。,注意,四、单约束重力模型,S.t.,或,推导过程：,1、乌尔希斯模型,S.t.,S.t.,P、A预测年份的产生和吸引量。,P、A预测年份的产生和吸引量。,约束P,约束A,问题分解： （1）用现状OD矩阵和阻抗矩阵标定阻抗参数； （2）用未来的P、A、距离矩阵、参数计算未来的分布矩阵。 （3）此处采用约束P的方法。,解：假设阻抗函数为,小区1总体可达性,假设=1，下面采用乌尔希斯模型来检验其是否合理。,交通区1：,根据,计算小区1到各

5、小区出行量：,8 14 10,可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生量O约束，没有满足现状吸引力D约束。,D,同样计算交通区2，交通区3。,（2）计算未来的交通分布矩阵。 交通区1：A1/C1j=16/2+28/4+40/4=25 T(1,1)=16*8/25=5.12 T(1,2)=16*7/25=4.48 T(1,3)=16*10/25=6.4 交通区2：A2/C2j=16/4+28/1+40/2=52 T(2,1)=28*4/52=2.15 T(2,2)=28*28/52=15.08 T(2,3)=28*20/52=10.77,交通区3：A3/C3j=16/4+28/2+40/2=3

6、8 T(3,1)=40*4/38=4.21 T(3,2)=40*14/38=14.74 T(3,3)=40*20/38=21.05 未来OD矩阵为：,由于为单约束P，此处A约束不满足！,五、双约束重力模型,双约束重力模型公式 参数标定方法 例题,现状阻抗函数,S.t.,1、双约束重力模型公式,S.t.,推导过程：,2、双约束重力模型计算步骤,第一步，给参数取初值。可用最小二乘法标定，若无法标定，则令 =1； 第二步，用迭代法求约束系数。,以幂指数交通阻抗 为例,（1）令m=0，m为计算次数。,（2）令,（3）求出,第三步，将求得参数代入，用现状OD值求现状理论分布表 第四步，计算现状实际OD分

7、布表的平均交通阻抗 ，再计算理论分布表中的平均交通阻抗： ，求两者相对误差。,（4）收敛判定。若下式满足，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第（3）步重复计算。,第五步，如果 满足要求(3%)，则接受的求解，否则：若 ，则理论分布量小于实际， 应减少的值，可令 2；若 ，则理论分布量大于实际，应增大的值，令2 ；返回第一步，重新计算。,现状OD表,小区之间现状阻抗表,假设,均为1，求双约束重力模型的公式 。,3、例题,解：,第一步，给出参数初始值，令=1。,第二步，采用迭代法求约束系数ai，bj。,第一次迭代。令b3=b4=b5=1，则：,用a1，a2的数值求解b3，b4 ，b5 ，则：,第

8、二次迭代。求解新的a1，a2数值，则：,用a1，a2的数值再次求解b3，b4 ，b5 ，为：,b3=0.8957， b4=1.0643 ， b5 =1.2618,第三次迭代。求解新的a1，a2 ，b3，b4 ，b5数值，结果与第二次迭代相同，满足收敛条件（3%)，停止迭代。,第三步，根据求出的参数计算现状分布理论值。,.求出各交通区之间的理论分布值为：,第四步，检验。根据实际OD和理论OD表求得平均交通阻抗：,认为=1可以接受。,六、三维约束重力模型（Tri-proportional Gravity Models）,OD矩阵或阻抗矩阵中的某些单元格满足附加条件。 例如，某个区域中有四类出行，如

9、下表所示：,如果各类出行已知，则可以看作对双约束重力模型又增加一维约束，例如:A=XXX或 B=XX或 C=X或 D=XXXX 不仅重力模型可以有三维约束，增长系数法也可以有三维约束，原理同三维重力模型法。,七、模型理论解释,概率论解释 信息论解释最大熵原理,了解即可，详细见课本P146页。,优点：直观上容易理解；能考虑路网的变化和土地利用对出行的影响；特定区的现有OD交通量为零时，也能预测；能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况。 缺点： 虽考虑路网变化和土地利用对出行的影响，但没有考虑出行者的个体因素影响； 交通区内出行交通量无法求出； 若交通小区之间的距离非常小时，有夸大预测的可能性。,八、重力模型的特点,九、交通分布模型的选用,重力模型法能够考虑路网阻抗的变化，要求数据不苛刻，因此适用范围较广，可用于各种交通规划。 增长系数法可以作为重力模型法的补充，在重力模型法无法满足约束条件时，可以辅助应用（例如课本P142）；也可以用于预测城市外部交通量及公路交通量。,作业：按上次作业给出的现状OD表和将