第九章 电磁场理论的基本概念(电磁感应部分)

1、第九章 电磁场理论的基本概念, 9-1 法拉第电磁感应定律, 9-2 动生电动势和感生电动势, 9-3 自感现象和互感现象, 9-4 磁场的能量,第九章 电磁场理论的基本概念（电磁感应部分）,1. 掌握用法拉第定律和楞次定律计算感生电动势及方向； 2. 理解感生电动势和动生电动势的产生原因； 3. 了解自感与互感，能计算简单回路的L，M； 4. 能计算简单磁场的Wm。,教学要求：,一、电磁感应现象,1、,K闭合和打开瞬间,电流计指针偏转。,2、,ab左右滑动时,电流计指针偏转。, 9-1 法拉第电磁感应定律,v,B,磁场发生变化,切割磁感应线,几个典型实验：,(1),(2),(3),(4),S

2、 N,当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，在导体回路中就会产生感应电流，这种现象称为电磁感应现象。,B变：磁场变化。 ds变：线圈变形、切割磁感应线。 cos变：线圈方位变化。,由磁通量计算式：,不论,都会引起 dm 变化,二、 法拉第电磁感应定律 电流形成的条件： （1）有可以移动的电荷，导体要形成回路。 （2）有迫使电荷作定向运动的电场。或在回路中有电动势。,其中负号表示方向。,国际单位制中比例系数取 1,其数学表达式为：,法拉第电磁感应定律： “无论什么原因使通过回路所包围的面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁感应通量对时间的变化率的负值成正比。”,为确

3、定i 的方向，先选定任一绕行方向为回路的正方向，并由右手螺旋法则确定回路的正法线方向n。 /2 ，则 m 取负。 再规定： 若i 为正，则表示其方向与选定的回路方向一致。 若i 为负，则表示其方向与选定的回路方向相反。,例：如图，m为正，又,i 为负，方向与回路方向相反。,L,如图，磁场B 与n 的夹角 /2 ， m 取负。又：,i 为正，表示其方向与回路方向相同。,还是上面的例子，但重新选择回路绕行方向：,i 的实际方向仍与前面计算的结果相同。,另外，i 的方向也可以用楞次定律来判断。,可由如下图式表述：,楞次定律可另外表述为： “感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。”,三、楞次定律,

4、闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反引起感应电流的磁通量的变化。,用法拉第电磁感应定律求出感应电动势i 后，如果闭合回路的总电阻为R，则感应电流 Ii 为：,感应电流 Ii 的计算：,计算 t1t2时间内通过回路的感生电量：,设1、2分别是t1、t2时刻通过回路所包围面积的磁通量。,通过导线截面的总电量与磁通变化过程无关，只与通量变化总量有关。,若线圈回路有N匝，则通过线圈的磁通量为=N（全磁通，或磁通链）。此时，当磁通变化时产生的感应电动势为：,式中，负号表示方向。,例1、如图。均匀磁场 B=0.1 T ，ad边长为L=10cm，向右

5、滑动的速度为v=1m/s 。求abcda回路中的感应电动势。,i 的方向如图。,感应电动势为,解：通过abcda的磁通量为 =BS=BLx,= -0.01,（1）因为磁场集中于环内，所以 通过线圈A的磁通也是通过螺绕环截面S的磁通。即=BS=0nIS 线圈A中的感应电动势为,例2：空心螺绕环n=5000匝/米，截面积S=210-3m2。在环上再绕上一线圈A，A的匝数N=5，电阻R=2。螺绕环中电流每秒降低20A，求： （1）线圈A中产生的感应电动势i及感生电流Ii 。 （2）求2秒内通过线圈A的感生电量qi 。,解：螺绕环内磁场B=0nI,=1.2610-3（V）,（2）通过线圈A 的感生电量

6、qi,= 6.310-4 2= 1.2610-3 （C）,t = t2 t1 = 2 s,例、在通有电流 I= I0 cost 的长直导线旁有一金属线框，求线框中的感应电动势。,解：先计算通过线框的磁通：,分析磁场分布特性，取如图的面积元ds，计算相应的 dm ：,线框中的感应电动势为：,92 动生电动势和感生电动势,电动势是反映电源性能的物理量。定义为“把单位正电荷通过电源内部绕行闭合路径一周时非静电力所作的功”。,+ + + + + +,- - - - - - - - -,+,I,设单位正电荷所受到的非静电力为,则电源的电动势为：,对如图的情况为：,一、电动势的概念,-,当导体ab以速度v

7、 运动时，导体内自由电子也以 v 运动，电子将受到洛仑兹力：,二、 动生电动势：由洛仑兹力引起。,现在非静电力就是洛仑兹力，非静电性场强为：,因此ab段相当于电源 动 生电动势：,若ab不与导体框接触，在洛仑兹力作用下，电子下移，b端将有电子堆积而带负电（电势低），a端将失去电子而带正电（电势高）。,当ab和导体框接触时，就有感应电流流过。ab段相当于电源，a为正极，b为负极。,正极可以由 所指的方向确定，即由 的方向确定。,1、当 时（如图）有,讨论：,一般情况下，动生电动势可写为：,以上三种特例，导线ab不切割磁力线，不会产生动生电动势。,当1=0 或 ，或2=/2时 都有i=0。如：,2

8、、设 的夹角为1 ， 的夹角为2 ，,特例：,例1、长为L的铜棒OA在均匀磁场中以O为转轴旋转，角速度为。求棒中的感应电动势。,i 的方向由OA 。A点电势高。,解：方法一、用动生电动势公式求,方法二、用法拉第电磁感应定律求。 任意时刻棒扫过的面积的磁通为：,方法三、用切割磁力线数求,单位时间棒扫过的面积为,单位时间切割磁力线数为,例2、通电长直导线旁有一金属棒长l ，平行于导线以速度v运动。一端距导线 a，求棒中感应电动势。,解：方法一：用动生电动势求,i 的方向由BA A 端电势高。,动生电动势,任取一段dx ，该处磁感应强度为,方法二：用切割磁力线数求 dx单位时间扫过的面积为 ds=v

9、dx 切割的磁力线数为 Bds=Bvdx 整个棒单位时间切割的磁力线数，就是棒中感应电动势 ：,方向由B A,感应电动势,通过S=yl 的磁通量为,方法三：用法拉第电磁感应定律求 设某时刻棒移动了y 的距离，则通过ds=ydx 的磁通量为,y,i=ab-dc=0,ad bc,如果在长直导线周围不是棒而是线框，结果又如何？,整个回路的感应电动势为,i=ad-bc 0,a,b,r1,r2,l,t,2D,在变化磁场的周围存在着感应电场，它起着提供非静电力产生感应电动势的作用。而且，此感应电场的电力线是闭合的，称涡旋电场。,二、 感生电动势、涡旋电场,由电动势的定义和法拉第电磁感应定律可知：,（负号表

10、示方向）,其中，E为涡旋电场。当环路不变时可将微积分次序颠倒即：,在自然界中存在着两种以不同方式激发的电场，所激发电场的性质也截然不同。,1. 静电荷激发的电场,静止电荷所激发的电场是保守力场（无旋场），电场强度沿任一闭合回路的线积分恒等于零。,2. 变化磁场激发的电场,说明电场和磁场是相互联系的。变化磁场激发的感生电场沿任一闭合回路的线积分一般不等于零。,总之： 1）涡旋电场是变化的磁场激发的； 2）感生电场不是保守力场，其电场线既无起点也无终点，永远是闭合的，象旋涡一样。因此，通常把感生电场称为涡旋(有旋)电场。,涡旋电场与静电场的区别： 1、产生的原因不同（分别由电荷和变化的磁场激发）。

11、 2、电场线不同（一个不闭合，另一个闭合）。 3、环流不同（一个等于0，另一个不等于0 ）,在变化磁场的周围必定有感应电场存在 ，不论是在真空中、介质中，还是在导体中。 一般情况下，要求出感应电场是困难的。但是，在有些对称性的场的情况下，也可求出。,例、半径为R的一无限长螺线管内各点dB/dt是常数。当B增加时，求管内外的感应电场。,解：由于对称性，变化磁场所激发的涡旋电场的电力线是一组同心圆，在半径相同的圆周上，感应电场的大小相等。,选半径为r 的圆为环路，由于B在增加所以E的方向如图。 1、当r R时, E1/r,而,2、 当 r R 时，此时仍有, Er,又,用曲线表示：,圆外（ r R

12、）,圆内（ r R）,磁场局限于圆内变化，产生的感应电场分布为：,方法一：用涡旋电场求感生电动势,i 的方向由A B B点电势高,已知 圆内 （rR）,i =,cos=h/r 而, i =, 0,例1、均匀磁场局限于圆内，按 dB/dt 匀变率增加。在垂直于磁场方向上放一长为 l 的金属棒。求棒两端的感生电动势。,解：,i 为负表示其方向与B的方向相反。 即i 的方向由ABOA,方法二、由法拉第电磁感应定律求解,连接OA 、OB与AB构成一闭合回路。则有：,方向由AB,因为OA、OB 均垂直于E、所以 OA=OB= 0,例2、磁场局限于半径为 R 的圆内。扇形线框 abcd 一部分在圆内。已知

13、 dB/dt=4/（T/s）匀变率增加，线框电阻为 4。求线框中的感应电动势及电流的大小和方向。,解：方法一：用感应电场求解,b点电位高。,方向由d c b a d 感应电流 Ii=i/ R=2.5 10-3（A） 方向和i 相同。,c点电势高。,整个回路i =dc-ab=（4/3-1/3） 10-2 = 10-2 （V） 方向由d c b a d,方法二：用法拉第电磁感应定律求,（V）,（2）用单位时间切割磁力线数求。i 就等于棒单位时间 切割磁力线数。 （3）用法拉第电磁感应定律求。先求任意时刻棒扫过面积的磁通量,小结： 求动生电动势的方法有三种： （1）由动生电动势的公式求。,再由 求得

14、。,求感生电动势的方法有两种： （1） 用感应电场（涡旋电场）求。,（2） 用法拉第电磁感应定律求。 其中 S 是以回路 L 为边界所包围的面积。,圆外 （rR） E1/r,E r,对变化磁场局限于圆内时有： 感应电场 圆内 （rR）, 9-3 自感现象和互感现象,一、自感应现象 当线圈中的电流变化时，使线圈自身产生感应电动势的现象称自感应现象。所产生的感应电动势称为自感电动势。,1、通路自感,2、断路自感,I( t ),比例系数 为常数，称为自感系数。,即,当 I = 1A 时，有,自感的单位均为亨利（H）、毫亨（mH）。,定义1：自感系数L在数值上等于线圈中电流为1个单位时，通过线圈自身的

15、磁感应通量。 L 的数值仅由线圈的大小、几何形状、匝数及磁介质的性质决定。,当 时,由法拉第电磁感应定律，自感电动势为,定义2：自感系数L 数值上等于线圈中电流变化率为一个单位时，在该线圈中产生的感应电动势的值。注意：自感电动势是反抗回路中电流的改变，并不反抗电流本身。 线圈若有N 匝，则用磁通匝链数表示。即,若将螺线管内充满相对磁导率为 的均匀磁介质，则B增大了 倍。这时有,例1、求半径为R 、长为 l 、总匝数为N的空心细长螺线管的自感 L 。,可见L与 I 无关，只由它本身的结构和磁导率决定。这和电容相似。（由于边缘效应，实测 L 值要小一些。）,同样可以求总匝数为N 的细螺绕环的自感。

16、（其中充满磁导率为 的介质。） 在细螺绕环内,其中 V 为螺线管内体积。,其自感为,例2、二圆筒间充满磁导率为 的磁介质的同轴电缆，半径分别是R1和 R2，电流大小相等，方向相反。求单位长度的自感。,解：在内筒内和外筒外均无磁场，磁 场只局限于二圆筒柱面之间。且有,单位长度上的自感为,长为 l 整个截面的磁通量为,通过长为 l 的小面元ds = ldr的磁通为,l 长度上的自感为,二、互感现象,当线圈（组）1中电流变化时，通过线圈（组） 2的磁通要发生变化，从而在线圈（组） 2中产生感应电动势。反之亦然。,这种在两个载流回路中相互地激起感应电动势的现象称为互感现象。,设 为线圈 1 产生的磁场

17、穿过线圈 2 的磁通量匝链数。设 为线圈 2 产生的磁场穿过线圈 1 的磁通量匝链数。,比例系数 M21、M12 称为互感系数。,则有：,定义1：互感系数M在数值上等于一线圈中单位电流产生的磁场穿过另一线圈所包围面积的磁通量。,实验和理论都证明： M21=M12=M,当 I1 = I2 时有：,若 I1 = I2 =1A有：,于是,当,时,设 为线圈 1 中电流变化时，在线圈 2 中产生的感应电动势， 为线圈 2 中电流变化时，在线圈 1 中产生的感应电动势，由法拉第电磁感应定律：,定义2：互感系数M在数值上等于其中一个线圈中电流变化率为 1 个单位时，在另一个线圈中产生的感应电动势。,互感系

18、数的数值决定于各线圈的几何形状、大小、匝数、相对位置以及周围的磁介质。,互感的单位与自感相同，均为亨利（H）、毫亨（mH）。,例：原副线圈共绕的长直螺线管，长为l、截面积为S 。原线圈有N1 匝，副线圈有N2 匝，管内充满磁导率为 的介质。 求：（1）两共轴螺线管的互感系数。 （2）两螺线管的自感系数和互感系数的关系。,解：C1 产生的磁场为：,穿过C2单匝线圈的磁通为：,穿过线圈C1自身的磁通匝链数：,通过 C2 的磁通匝链数为：,由互感定义有：,由自感定义有：,C1 I1 S C2 I2,一般情况下，考虑到漏磁 ：,则,（2）当C2 通有电流 I2 时，穿过自身的磁通匝链数为,此结果只有在

19、无漏磁时才成立。,k 称为耦合系数。,一、磁能公式,当K 闭合时，电流由 0 I，设任意时刻的电流为 i ，则线圈产生的自感电动势为,在dt 时间内电源反抗自感电动势所作的功为, 9-4 磁场的能量,实验表明：磁场具有能量。如图，当电源切断后，灯泡不立刻熄灭，而是维持一段时间才熄灭，这时灯泡所发出的光和热显然是从磁场能量转变而来。,因自感 ，代入上式得,以螺线管为例：当有磁介质的螺线管中通有电流 I 时，,在 0 t 时间内 ，电流由 0 I ，电源反抗自感电动势所做的总功为,此功转化为磁场能量存储起来。即磁场能量,该公式虽然是从螺线管中均匀磁场这个特例导出的，但是普遍适用的。它说明哪里有磁场，那里就有磁能。 对非均匀磁场，可先将空间分成很多小份，求出小体元dV内的磁能，再求整个磁场内的磁能。即,二、磁能密度,整个磁场体积内的磁能为,得单位体积中的磁场能量，即磁能密度为,1. 电场的能量密度,2. 磁场的能量密度,3.自感为L，回路电流I0，储存的磁场能,例：真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕，匝数相同，直径比d