第二章 麦克斯韦方程

1、主 要 内 容 Maxwell方程组、宏观电磁场的边界条件及坡印廷定理,第二章 麦克斯韦方程,麦克斯韦方程组 本构关系 电磁场的边界条件 复数形式的麦克斯韦方程 坡印廷定理及坡印廷矢量,麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组；时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。,全电流定律,电磁感应定律,磁场的散度定律（磁通连续性原理、不存在磁单极子）,电场的散度定律（电场的通量定理）,2.1 麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组,H：磁场强度，B：磁感应强度；E：电场强度；D：电位移矢量,第一项 全电流安培定律,物理意义： 表示磁场的“漩涡源”是由传导电流 和位移电流 ； 什么是

2、传导电流？ 由电荷的定向运动形成的电流 什么是位移电流？ 电场随时间变化形成的“电流” Maxwell对位移电流的认识,Maxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导 电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：,第二项 推广的法拉第电磁感应定律,Faraday电磁感应定律 Faraday 从1820年开始探索磁场产生电场的可能性，1831年实验发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，闭合导线中有感应电流产生，感应电流方向总是以激发磁通量对抗原磁通量的改变,进一步的实验还证明: 只要闭合曲线内磁通 量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回 路上，同样存在于非导体回路上，并满足：,曲面

3、磁通量改变率,回路的 电动势,Faraday电磁感应实验定律表明： 变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静 电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应 电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场 的性质，变化的磁场是其旋涡源。 （变化）磁场 电场,第三项和第四项,第三项指的是不存在独立的磁荷（磁单极子），磁力线是闭合的（即连续） 第四项指的是存在独立的电荷，无旋电场的电力线是起于正电荷，止于负电荷 电流连续性原理：,旋度的散度恒为零,无源麦克斯韦方程组,思考：麦克斯韦方程的物理意义是什么呢？,麦克斯韦方程组揭示的物理涵义,时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有

4、变化的电场；,电场和磁场互为激发源，相互激发；,电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量；,麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。（他的这一预言在Maxwell去世后（1879年）不到10年的时间内，由德国科学家Hertz通过实验证实。）,说明：静态场只是时变场的一种特殊情况。,电磁波产生电路示意图,2.2 本构关系,什么是本构关系？ 媒质电磁特性相联系的常量之间或源与场量之间的关系，又称本构方程。 包括媒质分子极化、磁化和电子传导机理； 本构关系是对各种媒质的一种描述，包括电介质、磁介质和导电媒质； 实验表明，各向同性的媒质中，

5、本构关系可以描述为：,参考关于介质极化和磁化的分析,麦克斯韦方程组的限定形式,在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：,将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得,麦克斯韦方程组限定形式,注：麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。,2.3 电磁场的边界条件,思考：边界上的电磁场问题 实际电磁场问题都是在一定的空间和时间 范围内发生的，它有起始状态（静态电磁 场例外）和边界状态。即使是无界空间中 的电磁场问题，该无界空间也可能是由多 种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。,所谓边界条件，即电磁场在不同介质的边 界面上服从的条件，也可以理解为界面

6、两 侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条 件。边界条件是完整的表示需要导出界面 两侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。,由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变， 场在界面两侧也发生突变。所以Maxwell方程 组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微 分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不 要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方 程组出发，导出电磁场的边界条件。,本节内容,2.3.1 不同介质分界面上的边界条件 H的切向分量的边界条件 E的切向分量的边界条件 D的法向分量的边界条件 B的法向分量的边界条件 2.3.2 理想导体表面的边界条件,H的切向分量的边界条件,在介质分界面两侧，选取如

7、图所示的积环路，并且宽度趋于0；电流垂直纸面向里。利用全电流的安培环路定理可以得到：,E的切向分量的边界条件,在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，并且宽度趋于0；利用推广的法拉第电磁感应定律可以得到：,D的法向边界条件,把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。让h0，得到：,B的法向边界条件,把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。h0，得到：,介质边界条件一般表达式:,2.3.2 理想导体表面的边界条件,什么是理想导体？ 电导率无穷大的导体称为理想导体。 通常电导率很大的导体都认为是理想导体，如金、银、铜等常见金属。 理想导体的特点：

8、电力线不能进入理想导体内部，故其内部不存在电场； 由于理想导体内部不存在电场，所以也就不存在时变磁场；,一侧为导的边界条件表达式,结论：电力线垂直于金属表面，磁力线平行于金属表面,2.4复数形式的麦克斯韦方程,2.4.1 正弦电磁场的复数表示法 2.4.2 复数形式的Maxwell方程 2.4.3 复数形式和瞬时值形式的转换,2.4.1 正弦电磁场的复数表示法,电路中正弦量有三要素：振幅、频率和相位。,正弦电磁场也有三要素：振幅, 频率和相位。,复数表示,电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示,用复数的实部表示,式中:,称为时谐电场的复振幅,故,式中,称为时谐电场的复矢量

9、,时谐场对时间的导数,二、复数形式的麦氏方程,由麦氏第一方程,将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换,约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式,同理其他三个麦氏方程, 用复数形式研究时谐场称为频域问题。, 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。,1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义,2.实数形式代表真实场，具有明确物理意义；,3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量,采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；,（称为二次式 ），只能用场量的瞬时形式表示。,说明:,2.4.2 复数形式的Maxwe

10、ll方程,2.4.3 复数形式和瞬时值形式的转换,若复数形式为： 则瞬时值形式为：,2.5坡印廷定理及坡印廷矢量,2.5.1 坡印廷定理 坡印廷定理 坡印廷矢量 2.5.2 正弦电磁场的坡印廷定理和坡印廷矢量,电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印廷定理 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。,坡印廷定理(Poynting theorem) 关于电磁场中能量流动的一个定理。1884年由J.H.坡印廷提出。他认为电磁场中的电场强度E与磁场强度H叉乘所得的矢量,即EH，代表场中能流密度，即在单位时间内穿过垂直于此矢量方向的单位表面的能量。,坡印廷定理,在时变场中，能量密度为 体积

11、V内储存的能量为,（1）,（2）,电场能量密度,磁场能量密度,代入式(3)得,式(2)对 t 求导，,则有,矢量恒等式,（3）,MaxWell方程,单位体积内的焦耳热损耗,物理意义：穿入闭合面的电磁功率等于闭合面内电场能量和磁场能量随时间的变化率加上封闭面内的总损耗功率。,坡印廷定理,坡印廷矢量,表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。,W/m2,定义坡印廷矢量,电磁波的传播,2.5.2 正弦电磁场的坡印廷定理和坡印廷矢量,由前一小节定义的坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬时值,对正弦电磁场，需讨论该量在一个周

12、期内的平均值平均坡印廷矢量,正弦变化矢量,式中 为相应的复矢量,于是,故,其平均值,平均坡印廷矢量,与时间无关。,主 要 内 容 Maxwell方程组、宏观电磁场的边界条件及坡印廷定理,第二章 麦克斯韦方程,麦克斯韦方程组 本构关系 电磁场的边界条件 复数形式的麦克斯韦方程 坡印廷定理及坡印廷矢量,补充介质极化、磁化和传导电流分析,介质的基本概念 介质是物质的一种统称，由原子或原子团、分子或分子团组成。介质内部大量带电粒子的不规则的运动，在微观尺度上产生随机变化的电磁场，宏观上相互抵消，没有外部影响和作用的介质呈中性。,当介质在外部宏观电磁场作用之下，介质中带电 粒子产生宏观的规则运动或排列，

13、形成宏观上的 电荷堆集或定向运动，主要表现出三种形态： 介质的极化(Polarization) 介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作 用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩； 或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外 场作用下形成规则排列,没有外加电场,有外加电场,介质的磁化 (Magnetization) 介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微 观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用 下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩,H, 传导电流(Conduction current) 介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用 下，导致带电粒子的定向运动，形成电流,3. 极

14、化强度概念 极化强度矢量P，定义 为单位体积中分子或原 子团的电偶极矩的叠加,极化强度的特点： 极化强度P 是外加电场强度的函数 极化强度P 可以是空间的函数 极化强度P 还可能是时间的函数 一般情况下，P 是电磁场强度、时间和空间 的复杂函数。对于线性均匀介质，P 仅与外 加电场强度成正比。,极化使得分子或原子的正负电荷发生位移，体积 元内一部分电荷因极化而迁移到外部，同时外部 也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部有 可能出现净余的电荷，称为束缚电荷。,2. 束缚电荷,（2）不均匀介质或由多种不同结构物质混合 而成的介质，可出现极化电荷。,（1）线性均匀介质中，极化迁出的电荷与迁入 的电

15、荷相等，不出现极化电荷分布。,（3）在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄 的层内，由于两种物质的极化强度不同， 存在极化面电荷分布。,束缚体电荷密度为：,束缚面电荷密度为：,当外加电磁场随时间变化，极化强度矢量P 和束缚电 荷也随时间变化，并在一定的范围内发生运动（其物 理实质是正负电荷位移的距离量随时间变化），从而 形成极化电流，它们同样满足电荷守恒定律。应用电 荷守恒定律，得到极化电流的表达式为：,4.极化电流,问题：极化电流与传导电流的异同点？,介质的极化过程包括外加电场的作用使介 质极化，产生束缚电荷；极化电荷反过来 激发电场，两者相互制约，达到平衡。介 质中的电场既有外加电场的贡献，

16、同时也 有束缚电荷产生的附加电场。,5. 介质中的电场、电位移矢量,介质中的电场的最终求解必须知道电场 E 和电 位移矢量 D 之间的关系（物质本构关系）。这 种关系有两种途径可以获得： 1) 直接测量出 P 和 E 之间的关系 2) 用理论方法计算 P 和 E 之间的关系,对于线性均匀各向同性介质，极化强度P 和 电场强度 E 有简单的线性关系：,为了描述介质在外 加磁场作用下磁化 程度，引入磁化强 度M，定义为单位 体积中的磁偶极矩 的矢量和：,6. 磁化强度与磁化电流密度,与外加磁感应强度矢量 B 垂直的横截面上，存在数 量巨大的分子电流环。,对于均匀物质，分子电流 大小相等，在相邻电流

17、环 的交界线上因电流的方向 相反，大小相等，不出现 剩余的电流。,对于非均匀物质，在相邻环 的交界线上尽管电流的方向 相反，但大小不等，将出现 剩余的电流，这种因磁化出 现的电流为磁化电流。,在两介质交界面的薄的层内，存在面磁化电流分布,介质2,介质2,介质1,7. 介质中的 Biot-Savart定律 、磁场强度 磁化和极化电流同样也激发磁感应强度，介质 中的磁感应强度应是所有电流源激励的结果：,存在可移动带电粒子的介质称为导电介质。在外 场作用下，导电介质中原子核或晶格在空间形成 固定点阵，核外自由电子除无规则运动外，外场 作用力将使电子产生定向运动，形成传导电流。,问题：分析传导电流与极化和磁化电流异同点,8. 传导电流,运动的电子经常与原子核或晶格点阵发生碰撞。碰 撞过程使电子改变运动方向，并将部分能量转嫁给 原子核或晶格，转变为热效应，使外场作用下的电 子定向运动速度与外加电场强度成正比，即ohm 定 律，其表达式为：,9. 介质中Maxwell方程组,给定电荷和电流分布，真空中 Ma