数系的扩充61137.ppt

1、,第六章,数 系,为什么要进行数系的扩充？,从社会生活的角度来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展。 从数学的内部来看，是为了满足计算的需要，数集是在按照某种“规则”不断扩充的。,自然数-N,自然数是最简单的、因而也是最早发现并使用的“数”。自然数是一切其他数系逐步扩充并得以实现的基础。用公理方法建立自然数理论，应当归功与皮亚诺。,数系扩充的原则,原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新的性质。 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是

2、获得对减法封闭的特性。,数系扩充的原则,原则二:用旧数系为材料构成一个对象，称之为新数，定义并验证这些新数符合扩张的要求，或者具有新数应具备的性质。 例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的要求是满足减法运算的需要，所以整数系是具备这样的性质的。,数系扩充的原则,原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律，及构成一种“嵌入”。 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。,自然数系N 整数系Z,数环定义:设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S，则称S是一个数环。例如整数集

3、Z就是一个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。 数域定义: 设F是一个数环，如果对任意的a,bF而且a0, 则b/aF；则称F是一个数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。,整数系Z 有理数系Q,在整数系中，方程 不总是能求解的。为此，有必要引入新数-有理数，引入新数后，整数系扩充到了有理数系，根据数系扩充的原则，有理数是以整数作为材料，且获得了对除法封闭的新性质。,有理数系Q 实数系R,我们虽然经过从Z到Q ，大大地扩充了数系但是这决不是就意味着能足以建立各种不同的计算，例如，一元二次方程 在Q中没有解，而事实上， 是存在的，它表示的正是单位正方形的对角线的长度。 为

4、了满足自然数开方运算的需要，引入了无理数，构成了实数系。,实数系R 复数系C,观察方程 ，它在R中没有解，为此，我们希望再次扩大数系，使得方程有解。 于是我们引入了新的符号 ，并定义： 为了让符号 能像普通的实数那样进行加、乘，我们造出形如 这样的符号，这里的 是任意两个实数， 称为复数， 称为虚数单位。 引入复数后，我们的数系由实数系扩充到了复数系。,四元数与八元数,复数 是以 和 作为基向量的，哈密顿想到，扩充复数时，必须把 的形式仍然保留下来，而在实数 的后面加上一个三维空间向量 形成了新数 ，这便是四元数。 哈密顿使四元数和四维空间的以原点为起点的向量一一对应，不再区分四元数与向量，如

5、果把四维空间的一个基取成 那么任意四元数可以表示为：,八元数的集合是实数上的八维向量空间，即把它的基向量记为： 任一个八元数可以写成： 要指出的是，尽管四元数和八元数都是数系的扩张，在现代数学中，我们总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别的情况经特别指出，才用到四元数。至于八元数的使用就更罕见了。,数系向无限的扩充,迄今为止，数总是有限的数，数系的进一步扩充是向“无限进军。这项工作已有两项重要成就。 康托尔的超限数 超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。 罗宾逊的非标准实数系 是罗宾逊推出的超实数 ，即非标准实数系，他的基本思想是将“无限小”和“无限大” 作为 以外的超实数。,总结中学中涉及到的数系的扩充,自然数中减法产生了（ ） （ ） 整 数中除法产生了（