自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法

1、第四章 线性系统的根轨迹法,问题的引入（为什么要画根轨迹？） 从第三章的学习我们知道： 系统的动态特性和稳定性主要取决于系统闭环特征方程的根的分布。但是，求解高阶系统的特征根非常困难（除了用matlab)。,1948年，伊文思(wREvans) ，在“控制系统的图解分析”一文中， 提出了根轨迹法,根轨迹法由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图，从而避免了直接求解系统闭环特征根的困难。 根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用非常简便，特别在进行多回路系统分析时，应用起来比其他方法更为方便，在工程实践中广泛应用。 (举例：嫦娥发射，吴宏鑫院士的报告),（P控制时）,本章内容结构,基

2、本概念,根轨迹图的绘制,根轨迹图分析(考试、考研）,根轨迹绘制(考试重点） 根轨迹的绘制(考研会考） 参量根轨迹的绘制(考研会考）,本章目录,4-1 根轨迹的基本概念 4-2 180度根轨迹的绘制 4-3 0度根轨迹的绘制 4-4 参量（数）根轨迹的绘制 4-5 利用根轨迹分析系统性能 4-6 控制系统复域设计,4-1 根轨迹法的基本概念,1. 根轨迹的定义,例,定义：当开环系统的某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根在s平面上形成的轨迹，叫做根轨迹。,2. 根轨迹与系统性能(为何要绘制根轨迹，根轨迹的用途） 有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。,1)稳定性： 当参数变化时，若根轨迹是否进

3、入S平面的右半平面？参数为何值时进入？ 当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。,2) 稳态性能： 回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。 由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。,3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地确定动态性能随着参数的变化情况。,3. 根轨迹法的基本任务,如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点

4、可由开环传递函数直接求得。 在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法求出。 简而言之，就是由根轨迹图求系统的闭环极点。,4. 根轨迹方程,（首一式）,（首一式）,与静态误差系数法所用的标准形式不同,注意： 首一式和尾一式的转换关系,尾一式,首一式,根轨迹增益与开环增益的转换关系,5. 绘制根轨迹的两个基本条件,也就是说，绘制根轨迹时， 只需要使用相角条件即可。,纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。,4-2 180度根轨迹（常规根轨迹）的绘制,（无穷零点） （无穷极点）,（续

5、）,且均为实数开环零、极点。,（续）,（续）,由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。,小结论：,（续）,另外，如果开环系统只有无限零点，则在重根点方程中取,（续）,实际上是条件极值问题。闭环系统特征方程具有实数等根或者复数等根时， 为某一极值。(参考文献）,（续）,例4-3P155,（续）,考试要求做成如上形式的图形。,根与系数的关系可证此结论，P158,规则9对于判断根轨迹的走向很有用

6、。,熟记P157表4-1，考试、考研必考根轨迹的绘图与定性、定量讨论。,(考试时，标准根轨迹概略图如何画？）,请牢记三句话： 绘制根轨迹依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。,注意：规则9的体现，左右平衡,（草图）,应当指出，由于matlaba软件包功能十分强大，运行相应的matlab文本，可以方便的获得系统准确的根轨迹图。,今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平

7、面上绘出根轨迹,补充：用matlab绘制精确的根轨迹图,用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说明用法。,例 考虑负反馈系统,设其中,用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根轨迹的专用函数rlocus就行了。,num= 1 2 4; den=1 11.6 39 43.6 24 0; rlocus(num,den),在Matlab的命令窗（Command Window）中执行这个程序，运行后就自动绘出根轨迹如图，从根轨迹图可以看出：当0K14或64K195时闭环系统稳定。用光标敲击根轨迹上的某一点会

8、出一个文字框，标出该点的座标、K值、阻尼系数、超调量、频率等。,对于本例，最简单的程序就是：,在MATLAB窗中，进入FileExport，可将绘出的根轨迹图存为需要的图形文件，比如命名为kka.jpg，这个图形文件可以插入Word文挡。,与绘制根轨迹有关的函数还有： pzmap绘制根轨迹的开环零、极点 rlocfind计算给定点的K值 sgrid在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格 zgrid在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格,例如，在上列程序之后增加语句：,k,p=rlocfind(num,den),执行后用光标（十字）左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根轨迹上出现

9、红十字标出n个闭环极点的位置，命令窗中出现这n个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。,Matlab文本： G=tf(1,1 3 2 0); pzmap(G); rlocus(G);,例 考虑负反馈系统,其中,如果按基本规则，图6（a）和6（b）两种形状都有可能性，实际上用Matlab绘出是图6（a），当a增加时根轨迹的中间部分在变化，当a=12 Matlab绘出根轨迹如图6（b）。,(b),(a),图4-6 两种根轨迹,4-3 0度根轨迹的绘制,一般来说，零度根轨迹的来源有两个：一种是非最小相位系统中包含S最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈的内回路。前者是被控对象本身特性所

10、产生的，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，是的复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。（P165）,注：非最小相位系统概念 指在S右半平面具有开环零极点的控制系统。,0度根轨迹的规制规则,熟记 P166，表4-3,4.8,4-4 参量根轨迹的绘制,为,4-5 利用根轨迹分析系统的性能,1. 闭环极点的确定,4.4,1）,比较简单的做法是：先绘制根轨迹图，然后用试探法确定实数闭环极点的数值，最后用综合除法得到其余的闭环极点。,2）,Matlab求解会很简单,（降幂长除法）,模值条件,2. 附加开环零点对系统性能的影响,在控制系统设计时，我们常用附加位置适当

11、的开环零点的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变换时的根轨迹变化，有很大的意义。,规则9的体现,3. 闭环系统零、极点位置对系统时间响应的影响（结合根轨迹图）,若具有靠近原点的偶极子，则这种偶极子不能省去。,(实际3-6倍即可。),P81,P168,欠阻尼二阶系统的超调量,考试、考研题型：给定超调量，利用主导极点的概念求出满足超调量要求的增益。,闭环极点分布与暂态分量的运动形式（模态的概念）,j,的共轭,4. 性能分析举例,4.6,4.7,（两种情况）,第四章 考试、考研题型 题型一 1.给定系统的开环传递函数，绘制系统的根轨迹 2.根据稳定性或者稳态误差的要求，确定更轨迹增益的取值或取值

12、范围。进而确定响应的闭环极点。 3.讨论改善系统性能的举措（添加零极点等） 题型二 1.给定系统的开环传递函数，绘制根轨迹图。 2.进一步给定系统的动态性能要求（比如阻尼比），利用主导极点的概念确定系统的闭环极点，和所对应的根轨迹增益。 题型三 参数根轨迹绘制 注：以上题型不会单独出，往往会结合第二章和第三章的题一起出。,4-6 控制系统的复域设计,控制系统根轨迹设计法的基本思路： 首先，利用已知的系统开环零、极点分布绘制系统的根轨迹图，根轨迹图应当是准确的(可以利用matlab绘制）。 第一种情况：由系统的稳定性及稳态误差等要求确定下根轨迹增益，利用根轨迹图通过图解法找出闭环极点(试探法、综

13、合除法等）。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点利用开环传递函数很容易直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法求出。 第二种情况：由系统的性能指标（超调量，振荡与否等），先确定系统的闭环极点，进而利用模值条件确定根轨迹增益。(通常这种设计方法与闭环主导极点、二阶系统的阻尼比联系比较密切） 第三种情况：复杂校正装置的设计，如附加开环零点等。,例4-9 自动平衡称系统 要求完成以下工作： 1）建立系统的模型及信号流图 2）在根轨迹图上确定根轨迹增益的取值 3）确定系统的主导极点 并使设计后的系统达到以下性能指标要求： 1）阶跃输入作用下

14、无稳态误差。 2）欠阻尼响应: 3）调节时间： 解题思路：建模后，绘出参数根轨迹，利用主导极点的概念和希望的阻尼比确定出期望的主导极点，最后算出根轨迹增益。（本质上此题很简单，只是建模复杂。）,解： 1）首先弄清工作原理后，建立系统数学模型。,建立各个环节的数学模型，画出系统的信号流图，利用梅森公式求出系统的数学模型。 系统的闭环传递函数为：,系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节，因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。,2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 变化时系统的根轨迹，可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价

15、根轨迹增益方程为：,绘制系统的根轨迹为： G=zpk(-6.93+6.93i -6.93-6.93i,0 0 -13.86,1); z=0.5; figure(1);rlocus(G); sgrid(z,new);axis(-40 5 -10 10),在根轨迹图上，做希望的阻尼比线 ， 得闭环极点,根据模值条件，不难求得与上述闭环极点对应的 。,3）在上述设计中，显然， 为系统的主导极点； 为非主导极点，其对动态响应的影响甚微，可略去不计。因而本设计完成的自动平衡称系统必为 的欠阻尼响应。,系统的调节时间为： 满足设计指标要求。,系统的单位阶跃响应时间曲线如图： figure(2);rlocu

16、s(G);hold on; K=25.5;rlocus(G,K) sys=tf(3.0596,0.05 1.9688 17.6946 122.3838); figure(3);step(sys),例4-10 自动焊接头控制 自动焊接头需要进行精确定位控制，其控制系统结构图如图所示，图中， 为放大器增益， 为测速反馈系数。 设计要求：用根轨迹法选择参数 与 ，使系统满足如下性能要求： 1) 系统对斜坡输入相应的稳态误差 斜坡幅值的35%； 2）系统主导极点的阻尼比 ； 3）系统阶跃响应的调节时间 。,解：1）系统开环传递函数为,显然，该系统为1型系统，在斜坡输入作用下，存在稳态误差。 系统的误差

17、信号为：,令 ，则稳态误差,根据系统对稳态误差的性能的要求， 与 的选取应满足如下要求：,上式表明，为了获得较小的稳态误差，应该选择小的 值。,2）根据系统对主导极点阻尼比的要求，系统的闭环极点应位于S平面上 的 斜线之间；再由对系统的调节时间的指标要求可知，主导极点实部的绝对值应满足,因此有 。 于是，满足设计指标要求的闭环极点应全部位于图所示的扇形区域内。,设待定参数 ，则闭环特征方程为,首先考虑参数 的选择。令 ，则 变化时的根轨迹方程为,画出 的根轨迹为下图。利用模值条件，试取，其对应的闭环极点为，于是参数,Ga=zpk(,0 -2,1); figure;rlocus(Ga);alpha=20; hold on; rlocus(Ga,alpha),其次，考虑参数 的选择。在闭环特征方程 中，代入 ，则 变化时的根轨迹方程为,即,画出 的根轨迹图为下图。分离点坐标 。当取模值条件 ，即 时，就得到了满足阻尼比 的闭环主导极点 ，其实部绝对值 ，由其决定的调节时间,相应的稳态误差值,因而， 的设计值，满足全部设计指标要求。,