《等差数列的前n项和》教学课件

1、等差数列的前n项和,数列an前n项和的定义:,叫做数列 的前n项和。,Sn= a1+ a2 + a3 + +an-2+an-1+an,等差数列： 公 差 ： 通项公式： 等差中项：,复习,高斯，(17771855） 德国著名数学家。,引入,1+2+3+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？,我们先看下面的问题。,an+1-an=d（常数）,d,an=a1+(n-1)d,2A=a+b,怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？,一,二,4+10=14,三,5+9=14,6+8=14,四,7+7=14,五,8+6=14,六,9+5=14,七,10+4=14,(1)先算出各

2、层的根数，,每层都是14根；,(2)再算出钢管的层数，共7层,所以钢管总根数是：,问题？,下面再来看1+2+3+98+99+100的高斯算法。,设S100=1 + 2 + 3 +98+99+100,反序S100=100+99+98+ 3+ 2+ 1,多少个101 ?,100个101,所以S100=,(1+100)100,？,？,首项,尾项,？,总 和,？,项数,这就是等差数列前n项和的公式！,=5050,2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ +(a1+an),多少个(a1+an) ?,共有 n 个(a1+an),把+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a

3、n+a1) ,由等差数列的性质：当m+n=p+q时， am+an=ap+aq 知：,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1，所以式可化为：,= n(a1+an),这种求和的方法叫倒序相加法！,因此，,以下证明 an是等差数列，Sn是前n项和，则,证：Sn= a1+ a2 + a3 + +an-2+an-1+an,即Sn=,a1,an,+ a2 +,+an-1+,a3,an-2,+,等差数列的前n项和公式的其它形式,等差数列的前n项和例题,想一想,在等差数列 an 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?,结论：知 三

4、 求 二,解题思路一般是:建立方程(组)求解,等差数列的前n项和例题,1. 根据下列条件，求相应的等差数列 的,练习1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：,(1)a1=5, an=95,n=20;,(2)a1=100, d=2,n=50;,S10=1000,S50=2550,(3)在等差数列中S10=120，求 a3+a8的值。,由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24,练习2 等差数列10，6，2，2，前多少项的和是54？,解: 设题中的等差数列为an，前n项和是Sn，则a1-10，d-6（-10）4令Sn54，根据等差数列前项和公式，得：,=54,解得： n1=9,

5、n2=3,整理得：,答： 等差数列10，6，2，2，前9项的和是54。,（舍去）,例4 在等差数列an中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。,思考：在例4中，我们发现S10，S20 S10， S30 S20也成等差数列，你能得到更一般的结论吗？,例5 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度无0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？（精确到1m）,例6 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生。假设零存整取3年期储蓄的月利率为2.1 （1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元? （2）零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时3年后本息合计约为多少元?（精确到1元）,.,练习3 ： 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔？,解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，,且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为,答：V形架上共放着7260支铅