电容电感电压电流关系

1、第七章 电容元件和电感元件,前几章讨论了电阻电路，即由独立电源和电阻、受控源、理想变压器等电阻元件构成的电路。描述这类电路电压电流约束关系的电路方程是代数方程。但在实际电路的分析中，往往还需要采用电容元件和电感元件去建立电路模型。这些元件的电压电流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分，称为动态元件。含动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。本章先介绍两种储能元件电容元件和电感元件。再介绍简单动态电路微分方程的建立。以后两章讨论一阶电路和二阶电路的时域分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。,常用的几种电容器,71 电容元件,一、 电容元件 集总参数电路中与电场有关的物

2、理过程集中在电容元件中进行，电容元件是构成各种电容器的电路模型所必需的一种理想电路元件。 电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。,图7-1,(a) 电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号 (b) 电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线,电容元件的符号和特性曲线如图7-1(a)和(b)所示。,其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。,图7-1,线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的

3、直线，其数学表达式为,式中的系数c为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法拉,用f表示。,图7-1,实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。 在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型，如图7-2所示。,图7-2 电容器的几种电路模型,二、电容元件的电压电流关系 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式,此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电

4、流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。,在已知电容电压u(t)的条件下，用式(6-2)容易求出其电流i(t)。例如已知c=1f电容上的电压为u(t)=10sin(5t)v，其波形如图7-3(a)所示，与电压参考方向关联的电容电流为,图7-3,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,例7-1 已知c=0.5f电容上的电压波形如图7-4(a)所示， 试求电压电流采用关联参考方向时的电流ic(t),并画 出波形图。,图74 例71,2.当1st3s时，u

5、c(t)=4-2t，根据式72可以得到,1.当0t1s 时，uc(t)=2t，根据式72可以得到,解：根据图74(a)波形，按照时间分段来进行计算,图74 例71,3.当3st5s时，uc(t)=-8+2t，根据式72可以得到,4.当5st时，uc(t)=12-2t，根据式72可以得到,图74 例71,根据以上计算结果，画出图74(b)所示的矩形波形。,在已知电容电流ic(t)的条件下，其电压uc(t)为,其中,称为电容电压的初始值,它是从t=-到t=0时间范围内流过电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。,式(73)表示t0某时刻电容电压uc(t)等于电容电压的初始值uc(0)加上t=0到t

6、时刻范围内电容电流在电容上积累电荷所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联 如图75所示。,图75,从上式可以看出电容具有两个基本的性质 (1)电容电压的记忆性。 从式（73）可见，任意时刻t电容电压的数值uc(t)，要由从-到时刻t之间的全部电流ic(t)来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻t 的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。,例72 电路如图76(a)所示，已知电容电流波形如图76(b)所示，试求电容电压uc(t)，并画波形图。,图7-6,解：根

7、据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算 1当t0时，ic(t)=0，根据式7-3可以得到,2当0t1s时，ic(t)=1a，根据式7-3可以得到,图7-6,3当1st3s时，ic(t)=0，根据式73可以得到,4当3st5s时，ic(t)=1a，根据式73可以得到,5当5st时，ic(t)=0，根据式73可以得到,根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。 例如，当1st3s时，电容电流ic(t)=0，但是电容电压并不等于零，电容上的2v电压是0t1s时间内电流作用的结果。,图7-6,图77(a)所示的峰值检

8、波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形如图(b)中实线所示保持输入电压uin(t)波形如图(b)中虚线所示中的峰值。,图77 峰值检波器电路的输入输出波形,(2)电容电压的连续性 从例72的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容电流在闭区间t1,t2有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。 将t=t和t=t+dt代入式(63)中，其中t1tt2和t1t+dtt2得到,当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用下式表示,对于初始

9、时刻t=0来说，上式表示为,利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。,例73 图78所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻 断开瞬间电容电压的初始值uc(0+)。,解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定 值，造成电容电流等于零，即,图78,电容相当于开路。此时电容电压为,当开关断开时，在电阻r2和r3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到,图78,例74 电路如图79所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分别为uc1(0-)=0v,uc2(0-)=6v，试求在开关闭合后一瞬间，电容电压uc1(0),uc2

10、(0) 。,解： 开关闭合后，两个电容并联，按照kvl的约束，两个电容电压必须相等，得到以下方程,图79,再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电荷守恒定律，可以得到以下方程,联立求解以上两个方程，代入数据后得到,两个电容的电压都发生了变化，uc1(t)由0v升高到3v，uc2(t)则由6v降低到3v。从物理上讲，这是因为电容c2上有3c的电荷移动到c1上所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动可以迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压可以发生跃变。,三、电容的储能 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为,由此式可以看出电容是一种储能元件，它在从初始时刻t0

11、到任意时刻t 时间内得到的能量为,当c0时，w(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。 从式(75)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。,若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在电容中的能量为,此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。 电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。,1. 两个线性电容并联单口

12、网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下：,四、电容的串联和并联,图710,列出图710(a) 的kcl方程，代入电容的电压电流关系，得到端口的电压电流关系,其中,2. 两个线性电容串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下：,列出图711(a) 的kvl方程，代入电容的电压电流关系，得到端口的电压电流关系,图711,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,常用的几种电感器,72 电感元件,如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系由i平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号

13、和特性曲线如图712(a)和(b)所示。,(a) 电感元件的符号 (c) 线性时不变电感元件的符号 (b) 电感元件的特性曲线 (d) 线性时不变电感的特性曲线,图7-12,一、 电感元件,其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为,式中的系数l为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨利,用h表示。,图7-12,实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微亨(h ，1h=10-6

14、h) ,低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图713所示。,图913 电感器的几种电路模型,二、电感的电压电流关系 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到,此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u=0)。,在已知电感电流i(t

15、)的条件下，用式(710)容易求出其电压u(t)。 例如l=1mh的电电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)a时，其关联参考方向的电压为,电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量k，变为i(t)=k+10sin5ta时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。,例75 电路如图714(a)所示，已知l=5h电感上的电流 波形如图714(b)所示，求电感电压u(t),并画出波形图。,图714 例75,2.当0t3s时，i(t)=2103t，根据式710可以得到,解：根据图615(b)波形，按照时间分段来进行计算

16、1.当t0时，i(t)=0，根据式710可以得到,图714 例75,3. 当3st4s时， i(t)=24103-6103t，根据式710可以得到,4. 当4st 时，i(t)=0，根据式710可以得到,图714 例75,根据以上计算结果，画出相应的波形，如图714(c)所示。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为矩形波形。,图714,在已知电感电压ul(t)的条件下，其电流il(t)为,其中,称为电感电压的初始值,它是从t=-到t=0时间范围内电感电压作用于电感所产生的电流。,式(711)表示t0的某时刻电感电流il(t)等于电感电流的初始值il(0)加上t=0到t时刻范围内电感电压在电感

17、中所产生电流之和，就端口特性而言，等效为一个直流电流源il(0)和一个初始电流为零的电感的并联，如图715所示。,图715,从式(711)可以看出电感具有两个基本的性质。,(1)电感电流的记忆性。 从式（68）可见，任意时刻t电感电流的数值il(t)，要由从-到时刻t 之间的全部电压来确定。 也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻t的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆元件。,例76电路如图716(a)所示，电感电压波形如图716(b)所示，试求电感电流i(t),并画波形图。,图716,解：根据图(b)波形，按照时间分段来

18、进行积分运算 1.当t0时，u(t)=0，根据式711可以得到,2.当0t1s时，u(t)=1mv，根据式711可以得到,图716,3.当1st2s时，u(t)=-1mv，根据式711可以得到,4.当2st3s时，u(t)=1mv，根据式711可以得到,5.当3st4s时，u(t)=-1mv，根据式711可以得到,根据以上计算结果，可以画出电感电流的波形如图716(c)所示，由此可见任意时刻电感电流的数值与此时刻以前的电感电压均有关系。,图716,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,(2)电感电流的连续性 从电感电压、电流的积分关系式可以看出,电感电压在闭区间t1,t2有界时，电感电流

19、在开区间(t1,t2)内是连续的。,对于初始时刻t=0来说，上式表示为,利用电感电流的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电感电流值。,也就是说，当电感电压有界时，电感电流不能跃变，只能连续变化，即存在以下关系,例77 图717(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断开时电容电压和电感电流的初始值uc(0+)和il(0+)。,图717,解：由于各电压电流均为不随时间变化的恒定值，电感相 当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。 此时,当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。,图717,三、电感的储能 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电感的吸收功率为,当p0时，电感

20、吸收功率；当p0时，电感发出功率。,电感在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为,若电感的初始储能为零，即i(t0)=0,则任意时刻储存在电感中的能量为,此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。 由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为状态变量。 从式(713)也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，这是因为电感电流的跃变要伴随电感储存能量的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和电感电流发生跃变的。,四、电感的串联和并联,1. 两个线性电感串联单口网络，就其端口

21、特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下：,其中,列出图718(a)的kvl方程，代入电感的电压电流关系，得到端口电压电流关系,图718,2. 两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下：,其中,列出图719(a)单口网络的kcl方程，代入电感的电压电流关系，得到端口的电压电流关系,图719,由此求得,二端电阻，二端电容和二端电感是三种最基本的电路元件。它们是用两个电路变量之间的关系来定义的。这些关系从下图可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是,四个基本电路变量之间的关系,亨利是一个美国物理学家，他发明了电感和制造

22、了电动机。 他比法拉第先发现电磁感应现象，电感的单位是用他的名字命名的。,michael faraday (17911867) 法拉第是英国化学家和物理学家，1931年发现的电磁感应定律是工程上的一个主要突破。,法拉第是一个英国化学家和物理学家，他是一个最伟大的实验家。 他在1931年发现的电磁感应是工程上的一个重要突破，电磁感应提供了产生电的一种方法。电磁感应是电动机和发电机的工作原理。电容的单位(farad)用他的名字命名是他的荣誉。,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,73 动态电路的电路方程,含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到kcl、kvl的拓扑约束和元件

23、特性vcr的约束。一般来说，根据kcl、kvl和vcr写出的电路方程是一组微分方程。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。,例78 列出图720所示电路的一阶微分方程。,图7-20,得到,这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。,在上式中代入:,解：对于图(a)所示rc串联电路，可以写出以下方程,图7-20,对于图(b)所示rl并联电路，可以写出以下方程,在上式中代入 ：,得到,这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。,图7-20,例7-9 电路如图721(a)所示，以il为变量列出电路的微分

24、 方程。,图7-21,解一：列出网孔方程,由式(2)求得,代入式(1)得到,整理,解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电 路，其中,图7-21,图721(b)电路与图720(b)电路完全相同，直接引用式718可以得到,此方程与式719相同，这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。,图7-21,例7-10 电路如图7-22(a)所示，以uc(t)为变量列出电路的微 分方程。,解一：列出网孔方程,图7-22,补充方程,得到以i1(t)和uc(t)为变量的方程,将 i1(t)代入式(1)，得到以下方程,这是以电容电压为变量的一阶微分方程。,从式(2)中写出i1(t)的表达式

25、,图7-22,解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路 代替，得到图(b)所示电路，其中,图722(b)电路与图720(a)相同，直接引用式717可以所得到与式720相同的的微分方程。,图7-22,例7-11 电路如图7-23所示，以uc(t)为变量列出电路的微分 方程。,解：以il(t)和ic(t)为网孔电流，列出网孔方程,图7-23,代入电容的vcr方程,得到以il(t)和uc(t)为变量的方程,从式(2)得到,将il(t)代入式(1)中,经过整理得到以下微分方程,这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。,图7-23,l7-11s circuit data 元件 支路

26、开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 v 1 1 0 us l 2 1 2 l r 3 2 3 r1 c 4 2 3 c r 5 3 0 r2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 - r1us u4 (s)= - r1scsl+sl+r1r2sc+r2+r1 r1scus+us i2 (s)= - r1scsl+sl+r1r2sc+r2+r1 * 符 号 网 络 分 析 程 序 ( snap 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。,郁金香,7

27、4 电路应用，电路实验和计算机分析电路实例,首先证明端接电容器的回转器等效为一个电感，再介绍由两个运算放大器构成的回转器可以将一个0.2f电容变为0.2h的电感。然后介绍利用计算机程序来建立动态电路的微分方程。最后介绍用双踪示波器观察电容和电感电压电流波形的实验方法。,例713 证明图725所示单口网络等效为一个电感。,一、回转器的应用,图7-25,在第五章中介绍了回转器的电压电流关系，现在介绍回转器可以将电容变换为电感，这在集成电路设计中十分有用。,联立求解以上方程得到单口网络的电压电流关系,列出电容的电压电流关系,解： 列出回转器的电压电流关系,图7-25,以上计算证明了回转器输出端接一个

28、电容，其输入端的特性等效为一个电感，其电感值为,当回转电导等于1时，电感值与电容值相同。,图7-25,例714 含运算放大器的单口网络如图726所示，假如运算放大器工作于线性区域，证明单口网络的特性等效为一个l=0.2h的电感。,图726,解: 在例58中已经证明了图726中的双口网络可以实现回转器的特性，其回转电导为,将r=1k代入上式得到回转电导为g=-10-3s，将g=-10-3s和c=0.2f代入式(721),计算表明图726的单口网络的确等效为l=0.2h的电感。请观看教材光盘中的“回转器变电容为电感” 实验录像。,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,二、计算机辅助电路分析,

29、动态电路分析的基本方法是建立并求解微分方程，而用笔算方法列出高阶动态电路的微分方程是十分困难的事情。符号网络分析程序snap可以计算动态电路电压电流的频域表达式，由此可以写出电路的微分方程，下面举例说明。,例715 利用snap程序列出图727(a)电路的微分方程。,图727,解: 运行snap程序，读入图727(b)所示电路数据，计算电容电压，电感电流和电感电压，得到以下结果。,l7-15 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 v 1 1 0 us l 2 1 2 l c 3 2 3 c r 4 2 3 r1 r

30、 5 3 0 r2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 - r1us u3 (s)= - r1scsl+r1r2sc+sl+r2+r1 r1scus+us i2 (s)= - r1scsl+r1r2sc+sl+r2+r1 r1scslus+slus u2 (s)= - r1scsl+r1r2sc+sl+r2+r1 * 符 号 网 络 分 析 程 序 ( snap 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,由此可写出微分方程,l7-15 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路

31、 符 号 符 号 v 1 1 0 us l 2 1 2 l c 3 2 3 c r 4 2 3 r1 r 5 3 0 r2 独立结点数目 = 3 支路数目 = 5 - 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 - r1us u3 (s)= - r1scsl+r1r2sc+sl+r2+r1 r1scus+us i2 (s)= - r1scsl+r1r2sc+sl+r2+r1 r1scslus+slus u2 (s)= - r1scsl+r1r2sc+sl+r2+r1 * 符 号 网 络 分 析 程 序 ( snap 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,由此可写出微分方程,计算得到

32、图727电路中电容电压的频域表达式为,将频域表达式中的s作为微分算子进行数学运算可以得到以下微分方程,用相似的方法得到图727电路中电感电流的微分方程为,用不同电压电流作为变量列出的微分方程系数完全相同。,三、电路实验设计,1用双踪示波器观测电容器的电压和电流波形,示波器是一种观测电压波形的仪器，由于线性电阻电压和电流的波形相同，可以用观测电阻电压的方法来间接观测电流的波形。,728,例如为了观测电容器的电压和电流波形，可以用一个阻值很小的电阻器与电容器串联，如图728所示。用双踪示波器观测电路的总电压u1和电阻器电压ur，当电阻器阻值很小时，总电压u1(t)与电容电压uc(t)波形基本相同。请观看教材光盘中的“电容的电压电流波形”实验录像。,在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。,2 用双踪示波器观