矩阵的特征值.ppt

1、1,第四章 矩阵的特征值,本章要点：1.特征值与特征向量及其求法 2.矩阵的相似 3.实对称矩阵的相似,矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究及其他学科中都有广泛的应用。,特征值,特征向量,方阵,对角形(或约当形),相似于,对角形元素,转化矩阵,2,第一节 矩阵的特征值与特征向量,一. 矩阵的特征值与特征向量,则称 为 A 的一个特征值，,定义4.1 设A为n阶方阵,是一个数,若存在非零列向量 x,使得,1. 特征值与特征向量的概念,例. 求方阵,由于,3,2.求法,整理（1）式,得,特征向量,方程组(2)的非零解.,特征值,4,总结求矩阵特征值与特征向量的方法:,5,3. 其它相

2、关的概念,定义4.2 设A为阶方阵,特征方程的根,对应的x,6,3. 问题,(1) 矩阵的特征值是否总存在的?若存在,有多少个?,(2) 若为矩阵A的一个特征值,那么对应于的特征向量有多少个?,命题1: 任一 n 阶方阵都有 n 个复特征根.,4.有关矩阵特征值与特征向量有下面的结论:,7,5.举例,解 (1)先求特征根,矩阵A的特征多项式为,8,即,的一个基础解系为,即,的一个基础解系为,9,解 (1)先求特征根,得A的特征根,(2)再求特征向量,10,即,的一个基础解系为,的一个基础解系为,即,11,解,12,的一个基础解系为,的一个基础解系为,1),2),13,解 (1)先求特征根,得A

3、的特征根,14,所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系,(2)再求特征向量,15,例5. 证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素.,证明: 不妨设,得A的全部特征值,16,第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量,17,二. 特征值与特征向量的基本性质,证明 考察它们的特征多项式,这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.,注: A与AT有没有相同的特征向量呢?,看下面的例子:,设,结论: A与AT特征向量不一定相同的.,18,线 性 代 数 讲 义,第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量,19,20,21,定理4.3： n阶方阵A的互异特征值 所对应的特征向量组成的

4、特征向量组线性无关.,22,第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量,结论：,1） 为 的特征值.,2） 为 的特征值,3） 为 的特征值.,23,证明：为证明（4）与（5），考虑特征多项式,其余的项至多含有(n2)个主对角线上的元素，,24,25,例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求 (1)2A的特征值, (2)A2的特征值, (3)|A|.,例2.试证:n阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征 值为零.,解,定理4.4： 若 是方阵A的 重特征值，则A的属于 的特征向量组的秩,26,三.杂例,解:由,得,又,一方面,另一方面,故,27,即,解得,28,解,又,所以,得,因为

5、,所以,29,4.2 相似矩阵,一 相似矩阵及其性质,1. 定义,定义1. A与B为n阶方阵,若存在一个可逆矩阵 使得,称A相似于B，记作,例如,令,则,从而,30,2. 矩阵相似关系的性质,(1)自反性,3. 矩阵相似的其它性质,31,4. 矩阵相似与特征值的关系,定理1 若n阶方阵与B相似,则A与B有相同的特征值.,注: 逆命题不成立, 即A与B有相同的特征值,但A与B不一定相似,例如,对于任何可逆矩阵P,推论,证明,这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.,32,二 矩阵可对角化的条件,定义: 若A相似于一个对角形矩阵, 则称A可对角化.,定理5.5 n阶方阵A相似于对角形矩阵,的

6、充要条件为A有n个线性无关的特征向量.,33,则有,设,即,设,即,因P可逆,有,是线性无关,并且由P的可逆性知,即A有n个线性无关的特征向量.,证明,34,则有,令,则有,是线性无关,P可逆,因而A相似于对角形矩阵.,35,注: 反之不成立.,36,证明,其重数分别为,又,故A可以对角化。,由定理4.1.4可知，,则A的特征向量组的秩小于n.,即A不能对角化，矛盾。,37,解: 上一节已求出A的特征值,对应的特征向量,由定理5.5可知,A可对角化.,令,则,38,39,(3) 求,40,41,问：a为何值时，矩阵A可对角化？,例5.,解 (1)先求特征根,得A的特征根,(2)要A可对角化，,

7、要使,则：,42,43,第三节 实对称矩阵的对角化,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化,先来看一点补充知识：矩阵的共轭,44,一. 向量的内积,1. 向量的内积定义与性质:,注：,(1) 定义,第三节 实对称矩阵的对角化,例：设向量,则,45,1） (,)=(, ),2） (k,)=k( ,),3） (+,)=( , )+(, ),4） (, ) 0,当且仅当=0时有(, )0,(2)内积性质,2 . 向量的长度与性质,(1) 定义,46,对于n维向量,47,由Cauchy-Schwarz不等式知，当,于是，我们可以定义两个向量之间的夹角：,(3)单位向量,3.正交向量组,48,例1：设向

8、量,则,故,49,(1)正交（或垂直）,任意两个向量都正交，称其两两正交。,定义,50,由单个非零向量所组成的向量组也是正交向量组。,(2) 标准正交向量组,如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称其为单位正交向量组（或称标准正交向量组）.,例,为标准正交向量组.,注：把正交向量组中每个向量单位化就得到标准正交向量组.,51,定理1：正交向量组必是线性无关的向量组.,证明:,正交向量组的性质：,注：线性无关向量组未必是正交的向量组.,例,是线性无关，但不是正交的。,52,施密特（Schmidt）正交化方法化无关组为正交向量组,施密特正交化方法:,定理2,53,例3：,解:,54,解 : 1)

9、先正交化,标准正交化,例4：将向量组,55,2)再单位化,56,4.正交矩阵：,2).正交矩阵的性质：,1). 定义,3). 标准正交向量组与正交矩阵之间的关系,57,定理：设 A 为 n 阶实方阵，A 为正交矩阵的充分必要条件是其行（列）向量组为标准正交向量组。,58,即A是正交矩阵.,所以,59,必要性:,设A为正交矩阵，即,即有,60,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化,二. 实对称矩阵的对角化,定理1 n 阶实对称矩阵A有n个实特征值，且特征向量是实向量.,则有,转置,取共轭,因A为实对称矩阵,从而,即,因,从而,61,线 性 代 数 讲 义,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化

10、,定理3 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征 向量正交.,定理2 n 阶实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量.,即,一方面,另一方面,结合上两式,62,线 性 代 数 讲 义,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化,定理2 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量 正交.,一方面,另一方面,结合上两式,证明:,63,线 性 代 数 讲 义,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化,定理3 n阶实对称矩阵A的每一个,重特征值,注： 任一n阶实对称矩阵A一定相似于对角形矩阵.,三 正交相似,定义 设A,B是两个n 阶方阵,如果存在一个正交矩阵P,使得,则称矩阵A与B正交相似.,(2)若A为对称矩阵,则B也为对称矩阵.,64,线 性 代 数 讲 义,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化,定理4 实对称矩阵A正交相似于对角形矩阵.,证明:,其重数分别为,则,把它们正交化并且单位化，,由定理2知，这n个特征向量两两正交。,其中,65,线 性 代 数 讲 义,第五 章 第 三节 实对称矩阵的对角化,解 (1)先求特征根,得A的特征根,(2)再求特征向量,例1.求正交