茆诗松概率论与数理统计

1、1.3 概率的性质,概率的可加性 概率的单调性 概率的加法公式 概率的连续性,学习目标,1. 理解概率的可加性 2. 理解概率的单调性 3. 掌握概率的加法公式,若 是两两不相容的事件,则,故由可列可加性，有,有限可加性,一、概率的性质,性质1,性质2,证明,证明,因为,所以,若 则,因 互不相容,故由有限可加性有,再由概率非负性得,事件与概率的图示,性质3,证明,一般，对任意A，B有：,概率的单调性，反之不成立.,对于三事件 有,由定义,性质4,性质5,性质6,挖补原理,多事件的加法公式,对于 个事件，有,全加,减二,加三,挖补规律: 加奇减偶,减四,解：因为 P(AB) = P(A)P(A

2、B) ，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),= 0.4+0.30.6=0.1.,所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3.,例1 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB)（P36例1.3.4）.,例2 设A,B,C为事件，P(A)P()P()1/4, P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率和A,B,C都不发生的概率(P36例1.3.5).,解：,由于,A,B,C都不发生的概率为,例3 设A,B是两个事件，A发生的概率是0.6,A与B都发生的概率为0.1,A与B都不

3、发生的概率是0.15，求： (1)A发生但是B不发生的概率； (2)B发生而A不发生的概率； (3)A与B至少有一个发生的概率.,解：,依题意，知,(1)事件“A发生但是B不发生”，即A-B的概率为,=0.6-0.1,=0.5,（2）事件“B发生而A不发生”，即B-A的概率为,=0.4-0.15=0.25,（3）“A与B至少有一个发生”，即AB的概率为,解：记Ak为“取出的m个球的最大号码为k” ，,例4 口袋中有编号为1,2,n的n个球，从中有放回地任取m次，求取出的m个球的最大号码为k的概率.（课本P34例1.3.3）,Bi为“取出的m个球的最大号码小于等于i”, i=1,2,n.,所以,

4、则,由于,例5（配对模型） n 个人、n 顶帽子，任意取，求至少一个人拿对自己帽子的概率（P36例1.3.6）.,记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, , n. 求 P(A1A2An)，不可用对立事件公式. 用加法公式：,习题1.3 14题相同模型,解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为,“第k 次取到白球” .,而“第k 次取到白球” 意味着：,“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,例6 口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率(P40 9题）.,解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：,“取

5、到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,例7 从 1, 2, , 9中重复取n次，求取出的 n个数的乘积能被10整除的概率（P40 8题）.,利用对称性计算概率：,解：记甲正=“甲掷出的正面数”，乙正=“乙掷出的正面数” 甲反=“甲掷出的反面数”，乙反=“乙掷出的反面数”,因为 P甲正乙正= P甲反 乙反,= Pn+1-甲正n-乙正,= P甲正-1乙正,= 1P甲正乙正,所以 2P甲正乙正=1,由此得 P甲正乙正=1/2.,例8 甲掷硬币n+1次，乙掷n次. 求甲掷出的正面数 比乙掷出的正面数多的概率.,(对称

6、性),= P甲正乙正,思考：掷2n+1次硬币，则正面次数比反面次数多的概率为？,所谓的对称性就是对称事件发生的可能性是相同的。对于两个结构一致、完全处于对称平等位置的事件其发生的概率应该相同。,在古典概型中注意到事件的对称性可以简化计算。,二、事件序列的极限,定义3 若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为,定义2 若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为,三、集合函数的连续性,(2) 若对任单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的.,定义4 设P()是一个集合函数， (1) 若对任单调不减集合序列Fn，有 则称P()是下连续的.,四、概率的连续性,性质7 若P()是事件域上的一个概率函数， 则P() 既是下连续的，又是上连续的.,证明自学.,五、可列可加性的充要条件,性质8 若P()是事件域上满足： 非负性、正则性的集合函数， 则P() 有可列可加性的充要条件是