信号与系统 拉普拉斯变换ppt课件

1、.,1,第四章 拉普拉斯变换,u,.,2,优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。,.,3,本章内容及学习方法,本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。,.,4,一从傅里叶变换到拉普拉斯变换,则,1拉普拉斯正变换,.,5,2拉氏逆变换,.,6,3拉氏变

2、换对,.,7,二拉氏变换的收敛,收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；,.,8,u,部分s平面收敛的情况：,.,9,.,10,.,11,例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。,整个s平面收敛的情况：,这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。,整个s平面都不收敛的情况：,.,12,:,.,13,.,14,一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。,.,15,三一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全s域平面收敛,3.单位冲激信号,

3、.,16,4tnu(t),.,17,5.复指数函数,.,18,4.3 拉氏变换的基本性质,u,.,19,.,20,“周期信号”的拉氏变换,第一周期的拉氏变换,时移特性,无穷级数求和,.,21,时移特性例题,【例1】,已知,【例2】,.,22,用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换,.,23,.,24,复频移特性举例,.,25,.,26,例：,两边取拉氏变换：,整理得：,.,27,电感元件的s域模型,电感元件的s模型,应用原函数微分性质,设,.,28,.,29,电容元件的s域模型,电容元件的s模型,.,30,.,31,.,32,.,33,初值定理,.,34,终值存在的条件:,证明：,根据初值定理证

4、明时得到的公式,终值定理,.,35,初值定理举例,即单位阶跃信号的初始值为1。,例2,例1,.,36,4.4 拉普拉斯逆变换,由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况,.,37,F(s)的一般形式,ai,bi为实数，m,n为正整数。,分解,零点,极点,.,38,拉氏逆变换的过程,.,39,部分分式展开法(mn),1.第一种情况：单阶实数极点,2. 第二种情况：极点为共轭复数,3.第三种情况：有重根存在,.,40,第一种情况：单阶实数极点,(1)找极点,(2)展成部分分式,(3)逆变换,求系数,.,41,如何求系数k1, k2, k3？,.,42,第二种情况：极点为共轭复

5、数,共轭极点出现在,.,43,求f(t),.,44,例题,.,45,F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法,求下示函数F(s) 的逆变换f(t)：,解：,求得,另一种方法,.,46,3. 第三种情况：有重根存在,如何求k2 ?,.,47,如何求k2?,设法使部分分式只保留k2，其他分式为0,.,48,逆变换,.,49,一般情况,求k11，方法同第一种情况：,求其他系数，要用下式,.,50,F(s)的两种特殊情况,非真分式 化为真分式多项式,.,51,1.非真分式真分式多项式,作长除法,.,52,2.含e-s的非有理式,.,53,2*. 已知某LTI系统的微分方程为 若输入 ， ， ，求该系

6、统的零状态响应、零状态响应及全响应。,系统频域分析课堂练习：,1. 已知某LTI系统的阶跃响应 ，若输入 ，求该系统的零状态响应。,.,54,4.5 用拉氏变换法分析电路、s域元件模型,主要内容： 用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤 微分方程的拉氏变换 利用元件的s域模型分析求解瞬态电路,.,55,一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤,列s域方程(可以从两方面入手) 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换 直接按电路的s域模型建立代数方程 求解s域方程 ，得到时域解答,.,56,二、微分方程的拉氏变换,若采用 0- 系统，求拉氏变换时减去的是信号在0- 时刻的值； 若采用 0+ 系统，求拉氏变换时减

7、去的是信号在0+ 时刻的值。,.,57,例4-4 电路在t=0时开关闭合，求输出信号Vc(t)。,两边取拉氏变换：,列写微分方程：,解得：,求拉氏反变换：,.,58,.,59,.,60,.,61,.,62,结论：分析电路时，采用 0- 系统求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的 s 域模型。,.,63,三、利用元件的 s 域模型分析瞬态电路,求响应的步骤： 画0- 等效电路，求起始状态； 电路元件的s域模型电路的 s 域等效模型； 采用KVL和KCL，列出 s 域方程(代数方程)； 解 s 域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)； 拉氏反变换求

8、u(t)或i(t)。,.,64,.,65,.,66,以上是电路定理的推广，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。,.,67,【例4-5-1】如图所示，t0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。,R,C,e(t)=-E,e(t)=E,ic(t),i(t),S,2,1,.,68,.,69,.,70,.,71,.,72,例4-5-2,.,73,（4）求反变换,.,74,求,采用0-系统,采用0+系统,两种方法结果一致。 使用0-系统使分析各过程简化。,.,75,(3)对微分方程两边取拉氏变换,采用0-系统,.,76,采用0+系统,(4)原方程取拉氏变换,.,77,4.6 系统

9、函数,.,78,.,79,.,80,.,81,.,82,.,83,.,84,.,85,.,86,系统函数课堂练习：,某级联系统如下图所示，已知 ， ， ，试求 、 、级联系统的系统函数 及单位冲激 响应 。,.,87,4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性,冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。,在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。,主要优点：,1可以预言系统的时域特性 2便于划分系统的各个分量 (自由/强迫，瞬态/稳态) 3可以

10、用来说明系统的正弦稳态特性,.,88,在s平面上，画出H(s)的零极点图： 极点：用表示，零点：用表示,1系统函数的零、极点,H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应,.,89,.,90,.,91,.,92,.,93,极点在左半平面,见教材P223结论,.,94,.,95,瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t 增大，将消失。 稳态响应完全响应瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。,225,.,96,例4-7-2，教材习题2-6(1),给定系统微分方程,试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态

11、响应分量。,解：,方程两端取拉氏变换,.,97,零输入响应零状态响应,则,.,98,稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应,极点位于虚轴,暂态响应,稳态响应,H(s)的极点,E(s)的极点,自由响应,强迫响应,极点位于s左半平面,教材P227,.,99,4.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性,.,100,H(s)和频响特性的关系,频响特性,系统的稳态响应,幅频特性,相频特性（相移特性）,虚轴上的拉氏变换就是傅氏变换,.,101,几种常见的滤波器,.,102,.,103,.,104,.,105,讨论H(s)的几点位于s平面实轴的情况,一阶系统 只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一

12、般形式为 或 。 二阶系统 只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。,重点讨论,.,106,例4-8-1,确定图示系统的频响特性。,.,107,频响特性分析,X,高通滤波器的截止频率点,.,108,例4-8-2,研究右图所示RC低通滤波网络 的频响特性。,写出网络转移函数表达式:,.,109,频响特性,.,110,4.11 线性系统的稳定性,一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关 系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性,.,111,.,112,.,113,.,114,.,115,.,116,.,117,.,118,.,119,.,120,.,121,4.13 拉氏变换和傅氏变换的关系,s的实部,.,122,.,123,.,124,.