《函数的概念及表示(习题课)》

1、函数的概念及表示法（习题课）,【评析】函数的图象是函数的直观描述，结合学过的基本初等函数，可作出一般的函数图象.,【分析】函数图象表示的是表示 函数关系的两个变量之间的关系， 故可由函数定义判定.,1.函数f(x)=x+ 的图象是（ ）,【解析】f(x)=x+ = ，结合图象知选C.,C,考点一 图象法,作出下列函数的图象. (1)y=1-x(xZ); (2)y=2x2-4x-3(0 x3).,(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上(xZ,从而yZ),这些点称为整点(如图甲). (2)0 x3,这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0 x3之间的一段曲线(如图乙)

2、.,考点二 求函数解析式,（1）如果 ，则f(x)= ; （2）如果 ,则f(x+1)= ; （3）如果ff(x)=2x-1，则一次函数f(x)= ; （4）如果函数f(x)满足方程af(x)+ =ax,xR,且x0,a为常数，且a1,则f(x)= .,【分析】求f(x)的关键就在于弄清相对于“x”而言， “f”是一种怎样的对应关系.,【解析】（1） . （2） f(x)=x2+4, f(x+1)=(x+1)2+4. （3）f(x)为一次函数，设f(x)=kx+b(k0), ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=2x-1. 比较系数得 或 .,（4） ,用 替换上式

3、中的x得 由 可得,【评析】求f(x)解析式的方法比较多，如上述例子中就分别用了换元法、配方法、待定系数法、解方程组的方法，其他方法请试用. 换元法求f(x)是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取值范围，否则就不能正确确定f(x)的定义域. （4）题的解法基于这样一种认识：函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式.在已知条件下，x满 足已知的式子，那么 在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于f(x)与 的方程，因而能解出f(x).,（1）已知f( )=x+2 ,求f(x)； （2）已知 求f(x); （3）已知函数f(x)满足 ，求f(x)的表达式.,（

4、1）解法一： 解法二：令t= +1,则x=(t-1)2(t1)，代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, f(x)=x2-1(x1).,考点三 由函数图象求函数解析式,已知函数f(x)在-1,2上的图象如图所示，求f(x)的解析式.,【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.,【评析】熟练掌握学过的函数图象，有利于这类问题的解决.,【解析】当-1x0时，设y=ax+b, 过点(-1,0)和(0,1), 同样，当0x2时，有 ,函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=(x-a)2(b-x) B.f(x)=

5、(x-a)2(x+b) C.f(x)=-(x-a)2(x+b) D.f(x)=(x-a)2(x-b),（由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C；又当xb时,f(x)0.故排除D. 故应选A.）,A,考点四 函数的应用问题,用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架, 若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数 关系式,并写出其定义域.,【分析】要表示y,需先用x表示出矩形的另一边长.,【解析】AB=2x,弧长CD =x,AD= . y= 函数关系式为 ,其定义域为 .,【评析】由实际问题求函数解析式,先进行分析,找出 所需的中间量,如本题中的AD.同时要十分重视函数的定

6、义域.,考点五 分段函数的求值问题,【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值.,已知 求fff(3),【评析】解决此类问题应自内向外依次求值.,【解析】32,+), f(3)=32-43=-3. -3(-,-2, ff(3)=f(-3)= (-3)= . (-2,2), fff(3)=f( )=.,已知函数 （1）求 （2）若f(a)=3,求a的值； （3）求f(x)的定义域与值域.,（1） （2）f(a)=3, 当a-1时,a+2=3,a=1-1（舍去）， 当-1a2时，2a=3,a= (-1,2),当a2时， a2

7、=3,a= 2, 综上知,当f(a)=3时，a= 或a= . （3）f(x)的定义域为(-,-1(-1,2)2,+)=R. 当x-1时,f(x)(-,1; 当-1x2时,f(x)(-2,4); 当x2时，f(x)2,+). (-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域为R.,考点六 分段函数的解析式求解,如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,BAD=45,直线MNAD交AD于M,交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.,【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意,此题应对N分别在AB，BC

8、，CD三段上分三种情况写出函数的解析式.,【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集,值 域也是y在各部分值的取值范围的并集,因此,函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.,所求函数的关系式为 函数的定义域为0,2,值域为0, ,考点七 求具体函数的定义域,【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组.,求函数的定义域：,【评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程 来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使 函数式有意义的集合. （1）若f(x)为整式，则定义域为R. （2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合.

9、 （3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合.,考点八 求抽象函数的定义域,【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域 是x的取值范围.,（1）已知函数f(x)的定义域是0,4，求函数f(x2)的定义域； （2）已知函数f(2x+1)的定义域是-1,3，求函数f(x)的定义域; （3）已知函数f(x2-2)的定义域是1,+)，求函数 的定义域.,【评析】（1）已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域，一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求； （2）已知fg(x)的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域.,

10、【解析】（1）f(x)的定义域为0,4, 0 x24, x-2,00,2. f(x2)的定义域为-2,2. （2）f(2x+1)的定义域为-1,3, -1x3，-12x+17. f(x)的定义域为-1,7. （3）f(x2-2)的定义域为1,+), x1,x2-2-1. x2-1,即x-2. 的定义域为-2,+).,(1)f(x)的定义域为1,4， 使f(x+2)有意义的条件是1x+24，即-1x2. 故f(x+2)的定义域为-1，2. (2) 的定义域为0,3, 1x+14, 1 2. f(x)的定义域为1,2.,(1)若函数f(x)的定义域为1,4，求f(x+2)的定义域; (2)若f 的

11、定义域为0,3，求f(x)的定义域.,考点九 求函数的值域,【分析】根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法.,求下列函数的值域: (1)y=x2-4x+6,x1,5); (2)y= ; (3)y= ; (4)y= ; (5)y= .,【解析】(1)配方得y=(x-2)2+2. x1,5),由图可知函数的值域为y|2y11.,(2)借助反比例函数的特征求解. 函数的值域为 (3) 又当x=1时,原式 . 函数的值域为,(5)函数关系式中有根式,去掉根号的常用方法就是换元法. 令x-1=t,则t0,x=t2+1. y=2(t2+1)-t=2t2-t+2= . t0,y 函数y=2x-x-1的值

12、域是 ,+).,(4)该函数的分子、分母分别是关于x的二次式,因而可考虑转化为关于x的二次方程,然后利用判别式法求值域. 已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7. 即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0, 当y2时,将上式视为关于x的一元二次方程. xR,0, 即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0，解得 y2. 当y=2时,32+70, y2,函数的值域为 .,【评析】求函数的值域是一个比较复杂的问题,要通过不断练习及时总结,根据不同的题目类型选择不同的方法. (1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域); (2)形如y=ax+b 的形式,可用换元法.

13、即设t= ,转化成二次函数，再求值域(注意t0); (3)形如y= 型的函数可借助反比例函数,求其值域,这种函数的值域为 ; (4)形如y= (a,m中至少有一个不为零)的函数 求值域,可用判别式法求值域,但要注意以下三个问题:一是检验当二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或使函数无意义,都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在;三是分子分母必须无公因式.,求下列函数的值域: (1)y=x2-2x,x0,3; (2)y=x+ ; (3)y=|x+1|+|x-2|.,(1)y=x2-2x=(x-1)2-1,如图所示, 函数的值域为-1,3.,(3)解法一:运用绝对值

14、的几何意义. |x+1|+|x-2|的几何意义表示数轴上的动点x与-1以及2的距离的和,结合数轴,易得|x+1|+|x-2|3, 函数的值域为3,+).,(2)换元法. 令 =t,t0,则x= ,函数化为 t0,y ,函数y=x+ 的值域为 ,+).,解法二:转化为函数图象,运用数形结合法. 在函数y=|x+1|+|x-2|中，由|x+1|=0，|x-2|=0得x=-1，2. 把定义域分成三个区间：(-,-1,(-1,2,(2,+). 该函数图象如图所示.由图象 知函数的值域为3,+).,考点十 函数定义域、值域的综合应用,【分析】利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+80在R上恒成立建立不等式或不等式组求m.,【评析】二次函数定义域为R，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解.,函数y= 的定义域是R,求实数m的取值范围.,【解析】(1)当m=0时，y= ,定义域为R. (2)当m0时,由已知得 0m1. 综上所述,m的取值范围为0,1