一类分式函数的积分公式

1、2 0 0 2 年6 月武汉职业技术学院学报j u n 2 0 0 2 箜! 鲞箜兰塑! q 望! 翌垒! 竺! 里翌b 璺翌! 曼b 坠i 竺皇! 壁i ! 嬖曼y 旦! ：! ! 丛q ：呈 数理园地 一类分式函数的积分公式 汤光宋1万优涛2 ( 1汪汉大学数学及计算机科学学院，湖北武汉4 3 0 0 5 6 ； 2 武汉市第十六中学，湖北武汉4 3 0 0 1 4 ) 摘要 本文提供了一类分式函数可积的条件，并给出积分的具体表达武，使得 三角函数、指数函数、双曲函数等的有理式的积分有统一的积分公式，从而大大简 化这类分式函数积分的计算过程。 【关键词 分式函数；可积条件；积分公式 中图分

2、类号：0 1 7 2 2 文献标识码：a 一、引言 部分分式函数的积分较为复杂，或者根本就不能直接积 分。本文将给出被积函数为三角函数、指数函数、双曲函数 等函数的不定积分的统一积分公式，并举例加以说明。 二、定理 定理设f ( x ) 、g ( x ) c 1 ，a 、6 、a ”b ”口、p 、y 、占为常数， 且满足a 2 口+ 口骑一斑i 口一b 2 7 o ， a l f ( x ) + b t g ( x ) = a j a r ( x ) + b g ( 2 ) + b a f ( x ) + 堙( z ) 7 f ( z ) = 矿( z ) + 詹( z ) ，9 7 ( z

3、 ) = 玎( z ) + 酝( z ) ， 则絮榭如= 恕+ 剐矿( 小培( 圳+ c ( 1 ) 这里a = 筹羞筹群， b ：旦! ! 坐一( 2 )且2 a 2 f l + a b 占- a b a - b 2 7 , 。z c 为任意常数。 证明 令口l f ( x ) + b t g ( z ) = a 吖( z ) + 6 9 ( z ) + b ( z ) + b g ( x ) 7 且厂( z ) = 矿( z ) + 厥( z ) ，9 7 ( z ) = z f ( x ) + 晤( z ) ， 其中a ，b 为待定常数，比较系数可得： 口l = a a + b ( a

4、a + b 7 ) b t = a b + b ( 印+ b 8 ) f口1 口口+ a lb 8 一b l a c t b 1b 7 解得肛7 蕊而鬲 l b2 本i b 历l a i - a 五l b j 巧 故，筹揣出 ：f 丛丛立业呜婴善粤牟丛蒯如o 口，( z ) + 6 9 ( z ) = a 2 + b l n i a f ( z ) + 6 9 ( z ) i + c 证毕。 当定理中口= 0 ，口= 1 ，y = 一i ，艿= 0 即得 推论1 设f ( 2 ) 、g ( z ) c 1 ，口、6 、a l 、b l 为常数，a 2 + b z 0 ，且满足口1 ，( x )

5、 + b l g ( z ) = a ( z ) + 6 9 ( z ) + b ( z ) + 6 9 ( z ) 7 ， 厂( 2 ) = g ( 2 ) ，9 7 ( z ) = 一f ( 2 ) ， 则j 筹苷等导如= 舭砣吲小坛( 圳+ c 这里a = 群，b = 群 c 为任意常数。 在定理中，令f ( z ) = s i n x ，g ( z ) = c o & t c ，口= 0 ，卢= 1 ，y = 一1 ，艿= 0 即得 推论2 设a 2 ：- b 2 0 ，则 f 堕罂譬粤竺= a x + b l 竹 a s i 船+ 妇l + c 这里a = 群，b = 帮 c 为任意

6、常数。 例1 计算j 釜蓑旨静 解：令盘= 2 ，b = 5 ，a l = 一3 ，b 1 = 7 ，依据推论2 知， a = 兰兰j 铲= - ，b = 至兰j 毛舻5 - 故原式= z + l ，z 1 5 c o s 2 + 2 s i n x f + c 收稿日期：2 0 0 2 6 1 2 作者简介：汤光宋( 1 9 4 0 一) ，男，湖南湘潭人，江汉大学数学及计算机科学学院，教授。 7 l 万方数据 注：推论2 即为文 1 第4 0 2 页1 0 2 4 题。例1 为文 2 第 1 8 6 页第7 题，即中南矿冶学院1 9 8 0 年招考研究生的一道试 题；与文 2 一对照便知本

7、文的解法简捷得多 在定理中，令f ( z ) = c o $ x ，g ( z ) = s i n x ，口= 0 ，卢= 1 ，y = 一1 ，艿= 0 即得 推论3 设a 2 + b 2 0 ，则 j 堕喾屿z ：a x + b 1 挖i 删+ 搬船i + c a 1 o t a 船 这里a = 群，b = 等斧 c 为任意常数。 例2 计算j - 羔 解：令口1 = 1 ，b 1 = 0 ，依据推论3 得 4 再瓦d x 忑5 南z + 万舞z nl 口懈+ b s i n x a 2 b 2 2 b l + c 。n + 6 t n 船+山。n + 2 “。“u 。 l v 注：本例为

8、文 1 第4 0 2 页第1 0 1 5 题，这里的解法显然 简捷。 在定理中，令口= 0 ，p = 1 ，y = 1 ，艿= 0 即得， 推论4 设f ( x ) 、g ( x ) c 1 ，a 、b 、a l 、b l 为常数，a 2 b 2 o ，且满足口l f ( x ) + b l g ( x ) = a a f ( z ) + 6 9 ( 。) + b 口，( z ) + 6 譬( z ) 7 厂( z ) = g ( z ) ，9 7 ( x ) = 一f ( z ) 则宅簧骞榭如= 舡+ b l 挖i ( z ) + 6 9 ( z ) i + c 这里a = 群，b = 祥c

9、 为任意常数。 在定理中，令f ( x ) = s b z ，g ( z ) = c h x ，口= 0 ，卢= 1 ，y = 1 ，艿= 0 即得， 推论5 设口2 6 2 0 ，则 则名筹豢= m + b l 咒i 口妇+ b c h z l + c 这里a = 群a ，b = 掣ab一6 。 c 为任意常数。 例3 求口姚s ，_ k 舭d x ( 1 a i = l b 1 ) 解：令a l = 1 ，b l = 0 ，又la | lb ，口2 一b 2 o ，依据推论 5 ， 蕊静2 南z 一南砌l ashx十belli + c 一 三j 五_ f i 铲2 ：研z 一二霜竹 十 十

10、 注：推论5 及例3 分别为文 3 的例2 、例1 ，显然它们都 7 2 是统一积分公式即本文定理的特殊情形，应用这一方法来得 简明快捷 在定理中，令f ( x ) = e 7 ( e 0 ，e 1 ，e ) ，g ( x ) = e z ， 口l e 。+ b l e x = a ( a e 。+ b e 2 ) + b ( a e x + 6 矿) 7 ( 酽) = e x l n e ，( 矿) = e z 则a = l n e ，p = 0 ，y = 0 ，占= 1 ，a 、b 为待定常数，依据定理可得 推论6 设n 、b 、。l 、b 1 、e 为常数，且e o ，e ：e l ，e

11、 ，又 曲( 1 一l n e ) o ，则 j 等差知= a z + b i no e b + 铲l + c 这里a = 糍，b - 端 c 为任意常数。 例4 求羚 ( 口 嘶1 ，e ) 解：令a = 2 ，b = 一3 ，a i = 3 ，b l = 4 ，e = a ，( 4 0 ，口1 ，e ) 则口6 ( 1 一l n a ) = 一b ( 1 一l n a ) 0 依据推论6 ，求得 一9 8 l n a9 + 8 l n a a 2 = 页= 五万2 丽f 瓦巧， ，一9 81 7 6 2 = 玎瓦f 可3 玎瓦i 可 故 ；等= 揣z + 志z ，z 2 n 。一3 e 2

12、i + o 三：；二扩2 石i _ r = 丽z + i i _ 云五而九i z n 一) 8 4i + c 。 参考文献 1 钱吉林等主编高等数学辞典 s 武汉：华中师范 大学出版社，1 9 9 9 ，4 0 0 - - 4 0 4 2 王寿生等编著1 3 0 所高校研究生高等数学入学试 题选解与分析 m j 沈阳：辽宁科学技术出版社，1 9 8 8 ：1 8 6 3 郭文秀、朱永银双曲函数有理式的积分 j ，武汉 职业技术学院学报2 0 0 2 ，( 1 ) ：5 0 一5 2 4 汤光宋某类函数的积分公式及其在解线性微分方 程中的应用 j ，嘉应大学学报( 自然科学版) ，1 9 9 3

13、 ，( 1 ) ： 2 l 一3 1 5 陈方年、李新华、梁幼鸣、汤光宋主编高等数学达 标测试题集【m 武汉：武汉工业大学出版社，1 9 9 2 ：3 5 7 5 ， 1 2 1 1 6 1 责任编辑：肖海军 i n t e g r a lm e t h o do fo n e k i n do ff u n c t i o n t a n g g u a n g s o n g w a ny o u 。t a o ( m a t h sa n dc o m p u t e rs c i e n c ec o l l e g e ，j i a n g h a nu n i v e r s i

14、t y ，w u h a n4 3 0 01 9 ，c h i n a ； w u h a nn o 1 6h i g hs c h o o l ，w u h a n4 3 0 0 1 7 ，c h i n a ) a b s t r a c t ：t h i sp a p e ri l l u s t r a t e st h a tg i v i n gt h ei n t e g r a lc o n d i t i o n sa n de x p r e s s i o no fi n t e g r a l st oo n ek i n do ff u n c t i o nt h

15、ei n t e g r a l so ft r i a n g l ef u n c t i o n ，i n d e xf u n c t i o n ，d o u b l e _ c u r v ef u n c t i o nc a nu s eo n ec o r n n l o ni n t e g r a lm e t h o dt os i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o no fi n t e g r a l so ff u n c t i o n s k e yw o r d s ：f u n c t i o n ；i n t e g

16、 r a lc o n d i t i o n s ；i n t e g r a lm e t h o d 万方数据 一类分式函数的积分公式一类分式函数的积分公式 作者：汤光宋， 万优涛， tang guang-song， wan you-tao 作者单位：汤光宋,tang guang-song(江汉大学,数学及计算机科学学院,湖北,武汉,430056)， 万优涛 ,wan you-tao(武汉市第十六中学,湖北,武汉,430014) 刊名： 武汉职业技术学院学报 英文刊名：journal of wuhan technical college 年，卷(期)：2002，1(2) 被引用次数：0次 参考文献(5条)参考文献(5条