复变函数与积分变换第三章习题解答

1、习题三解答 i沿下列路线计算积分i勹证。 。 (1)自原点到3+i的直线段 (2)自原点沿实轴至3,再由3沿垂直向上至3+i; (3)自原点沿虚轴至），再由1沿水平方向右至3+i0 解cl) t =3t, y = f, 千是 oti, 故z = 31 + i i, i。: +i z 2 由=jj3r+it)3+i肋 = (3 + i)3 i t2d, 0幻sl.dz=(3+i炉 (2) i: 打/dz=l。(. 2止+f c, z油+f c2/dz y c3 。 i 1 i =.:.(3+i)3t31 =-(3+i)1=6+ 26. i 3 0 3 3 (z) 3+i c2 c1 x= 3t,

2、 c, 之参数方程为(ost釭）； y = t, c2之参数方程为 故 x=3, (os, s 1) y =t, z2心=f9t1 -3dt+ f3+ i t)2. j dt = 6+i o 26. 0 3 (3) l。 +i 心z=lzid,+r i 心z = f c3 z油+f c4 zidz c3 : z = i t(0t1) ; c: z =3t+i osrsl), 故 i 。“ 百z = f-t 2 -idt+ f(3t+i) 2 3dt =6+竺 3 2. 分别沿y =x与y=x 2 算出、积分r i 2+iytz的值。 角召 (i) 并y=x。止七时z=t+it(o幻s1)。dz

3、 = (1 + i 11 , 千是 r i k + i y tz = i。:2+irx1 +itt = (1 + i)jj2 + i ttt = (1+ i+) = -+i o (2)沿y=x 2 此时z= (+记(os1s1)。dz= (1 + i 21炉，故 i。: +; (x 2 + i yz = fj2 + i t2 xi + i 2t炒=(1 +i)jt2(1 + i2t肋=(l+i)jj2+i2t3切 =(l+i代叶-i+i 0 3. 设氏）在单连域d内解析，c为d内任何一条正向简单闭曲线，问 f crej(z)iz = f c lmj(z)iz = 0 是否成立，如果成立，给出证

4、明；如果不成立，举例说明。 解未必成立。令八z)= z, c :lzl =l则氏）在全平面上解析，但是 - i - f c ref、(z)lz= s:t re产/0= jos0(-sin0+icos010=冗 i-:t:o f clmj(z)lz = s:r lmei(jeil) = foin 0(-sin0+icos010 =- 冗 -:t:o 1 4. 利用 单位圆上z=-的性质，及柯西积分公式说明刮z= 2tri, 其中c为正向单位圆周巨l=l。 t l 解f砬 =p-dz=2兀i(利用柯西积分公式） z c c 5. 计算积分fc 三dz的值， 其中 c为正向圆周：(i) lzl=2;

5、 (2)乞=4 lzl 11 4 解(j)因在iz 1=2上有iz i= 2 , zz =i叶=4从而有乞， 故有 f上dz=f主dz=f勾z=4冗1 ci z i 呾22 i扣2 乞 16 (2)因在c上有iz i= 4, zz =i z i2 = 16 , 从而有乞, 故有 f上dz=f 艾衣=f. 吐=8冗1 c i z i 1:1=4 4 :i=z 6. 利用观察法得出下列积分 的值。 解利用柯西 古萨基本定理和柯西积分公式 。 7. 沿指定曲线 的正向计算下列各积分。 e (i) fdz., c:lz-21=1 cz-2 (3) f edz , c :i z -2i i= 3/ 2

6、c z 2 十l (5) f dz , c :i z i= r 立=2兀i z 5) 当ial l时，l/(z-c矿在iz il上解析， 对_!t_ 宁iz =o; c亿 -a) 当lakl时，f心兰icez)l,=a= triea c位-a)2! io. 证明：当c为任何不通过原点 的简单闭曲线时， 沪次=0。 c z- 证明 当原点在曲线c内部时，忙dz=2冗i(l)i i,=()= 0; c z 当原点在曲线c外部时， 1/ z2在c内 解析，故pdz=o。 11. 下列两个积分 的值是否相等？积分2) 的值能否利用闭路变形原理 从 i) 的值得到？为什么？ l) f王心； 1:.1=2

7、 z 解 乞 21t f -dz = f 2ie一iod0=0; lzl=2 z。 2) f五 lzl=4 z f 了 五 dz= f 4ie一j(jd0=0, 故 两个积分 的值相等。但不能利用闭路 旧=4z。 z 变形原理从 i) 的值得到，因不是 一个解析函数。 z 12. 设区域d为右半平面，z为d内圆周iz i= i上 的任惹一点，用在d内 的任惹一条曲线c连结原 点与z证明 ref。: 1 + (2 d( = 证明 函数了在右半平面解析，故 在计算从0到z沿任惹一条曲线c的积分时 与积分路径无 l+( 关。 则j z 1 1 i 心 =f 2 心 0 ie o 1+(2 o l+x

8、 fo l+ e砌 11/ dr; =芒寸0 2icos77 d7j. (分子分母同乘以j+e- 21), 4 0 2 + 2 cos 2r; -4 - 故 re店炉归 13. 设cl与c2为相交干m、n两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为b,与b2。bi与b2的公 共部分为b。 如果f伈）在b1-b与b2-b内解析，在cl、c2上也解析，证明:八z)dz=f伈）dz 证明在b1-b上八z)为解析函数，则由柯西基本定理 f(z)dz =o; 同理 f(z)dz = 0 mengm mnnlm 则f氏）dz+ f伈）心=f f (z)心+f兀）心，即f沁）dz=扣伈）dz。 ngm men m

9、hn nfm c:1 c2 14. 设c为不经过a与-a的正向简单闭曲线，a为不等干零的 c1 任何复数，试就a与-a同c的各种不同位置，计算积分fd z。 cz 2 -a 解ci)当a在c的内部而-a在c的外部时 z f z f z+a z c z2 2 dz= 衣 =2冗i冗i。 -a cz-a z+a z=o （应 当-a在c的内部而a在c的外部时， c2 h f z dz=f z-a衣=2丘l 二冗1 cz 2 -a 2 cz+a z-a t=-a (iii)当a与-a在c的内部时，设c1,c2分别为以a,-a为心半径充分小的圆周使cpc2均在c的内 部且互不相交也互不包含，则由复合闭

10、路定理 及cauchy积分公式得 z z f z心=f l.ff. 改+f 二红 气2 2 z=m+m=2m -a c, z -a c2 z + a (iv)当a与-a都在c的外部时，由cauchy-gourssat定理得 f z idz =o。 c z 2 -a 15. 设c,与c2为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 山zdz +fsinzdz- z), 当z在c , 内时， 2冗i c, z -z, c, z -z。 ,inz 。 , 。 在c,内时 1 z-d z 2 证明利用cauchy积分公式，当z。在c,内时， - =z l =zi, 而 - 1 smzd z 2冗

11、ifz-z。z飞2trit z-z。 =0; 当z在c内时， i z dz 2 f =0, 而上f sin zdz = sin z i = sin z。故结论成立。 2冗ii z-z。2冗jc2 z-z。 : 女 16. 设函数氏）在01 zkl内解析，且沿任何圆周c: i z i= r, 0 r i的积分为零，问八z)是否需在 z=o处解析？试举例说明 之。 i 解 不一定。如令八 z)= ,则 其在 0 巨kl内解析，且沿任何圆周c:i z i= r , 0 r =u yyv+2uvy+uv 故(uv)xx+(uv=0,即一对 共辄调和函数的乘积仍是调和函数。 27. 如果j位）=u+iv

12、是 一解析函数 ，试证： 1) if位）也是解析函数；2) -u是v的 共扼调和函数； 证明 02 if (z) 1 2 02 if (z) 12 3) ? + = 4(吐+v;) = 41 f(z) 1 2 . 成矿 , l)寸(z)=v-iu ,而八z)=u +iv是 一解析函数 ，故u,v满足cr方程，进而v入.= (-u)y vy= -(-u)x o故if(z)也是解析函数。 2)由j亿）=u +iv是 一解析函数 ，if(z) = v-iu。故-u是v的 共辄调和函数。 护if位）1 2 扩if(z) 12扩护 3) + = (+了）(uz + v 2) ox2矿8x 2 彻 =2u

13、人;+2讨+2式+2讨+2u(uxx +u) + 2v(v xx十） ,) =4(吟式）=41f(z)l 2 28. 证明： 2 u = x -y 2和 v= y 都是调和函数，但是u+iv不是解析函数。 2 x + y 证明 ux =2x , uy = - 2y , -2xy v = x (x2 + y 2)2 2 2 x -y v = .v (x2 + y2)2 , 8x 2 y 2y v = - 江勹勹3 1 ? , (x-+y) (x-+yt 8y 3 6y v = - (x 2 + y守(x2+y2)2 ，则 uxx +uy = 2+(-2) = q , 8x2 8y3 8y v +

14、v = y 灯yy (x 2 + y2)3 (x 2 + y2)3 (x2 + y2) 2 =0。 -7 - 29. 求具有下列形式的所有调和函数u:i) u = f(ax+by),a与b为常数；2) u= j(f)。 解i )由u人可,u_u=a汀,un=b汀,而u,rx + u yy = 0 , 则f= o ,即f= c1 (ax+ by) + c2 o y 2 y y 1 1 2) 由u人=-f心=2 f+-f ,u. =-f,u.1、:r=-:; 寸 ， 而ux入+u.n=0, 则 x 2 x 3 x 4 x x- (1+5)r +2 if-o, 即if-c, arctan 2. +

15、c, x 30. 由下列各已知调和函数求解析函数f(z)= u +iv : i ) u = (x- y)(x2 +4xy+ y勹； y 2) v= f(2 )=0 ; 2 2 x +y 3) u = 2(x- l)y,f( 2 ) = -i ; y 4) v = arc tan - , x 0 。 解1) u入.= 3x2 + 6xy - 3 y 2, u = 3x 2 -6 xy - 3 y 2 , 则 x f衣）=ux一iu.r=3x2 + 6xy-3y2 一i(3x 2-6x y- 3y 2 ) = 3(一i)z2, 故 f(z)=(l- i)兮+ic,ce屈； 2 2 x y - 2x

16、y x2 -y2-2ixy了21 2) f(z) = vy +ivx = +i = = 一 (x2 + y2)2 (x 2 + y2)2 (x2 + y 2)2 (z了）2 z2 l i i f(z)=-+c, 又f( 2 )= o, 则f(z)=- 一 ； 2 z 3) f(z)=ux-iu =2y-2i(x-1)=-2i(x- l+iy)=-2i(z-1) , 古女 f(z) = -心-l)2+c, 又f( 2)= - i, 则t、(z)=-i(z-1)2; ，故 4) f(z) = v +iv_, = 2 +i x -y x- ty z j = - , 故f(z)= ln z +c,c

17、e脱 。 x2 + y x 2 + y x 2 + y2 元 z 31. 设 v=e 四 siny , 求p的值使v为调和函数，井求出解析函数f(z)=u+iv。 解 vt +vyy=epxsin y(p2-1)=0 , 知p=士l。当p=1时，f(z)=ez+c,ce脱 ； 当p=-1时， f(z) = -e-z +c,c e脱。 32. 如果u(x,y )是区域d内的调和函数，c为d内以z。 为 中心的任何一个正向圆周：i z-z。l = r , 它的内部完全含千d。试证： 1) u(x, y)在(x。,y。) 的值等千u(x,y)在圆周c上的平均值， 即 u(xr, 故 j亿） 证明因z

18、为c内 一点 ，i引=ir-/引=r2 i i zl = -在c 及 其内 部解析。 由 i zl (- z cauchy基本定理知：f八s)d 可cs) d(=o 。 c (-乞 s = c 豆- r 2 34. 根据柯西积分公式 与习题33的 结 果，证明 氏）上升 l 十 乞 尽）d( =上f (r2- 亏 ）尽） d(, 2 rci c (- z r2- (z 2 rci c (- z)(r2- s可） 其中c为lzl=ri 证明由柯西积分公式有： j 、(z)1 f(s)可cs) =f 心 ； 而由33题 结 果知f 心 =0 , 故 2冗i c s- z c乒- r2 将这两式 相

19、减即 得。 35如果 令t;= re;0,z = re; lf), 验证 心 = d t; i t; = id0 (t; - z)(r2 -t; 了）(s -z)(-乞）r 2 -2 rrcos(0- p) + r2 井 由34题 的 结 果，证明 f伈）f i 21r (r2_,.2汀(re吓 . 2兀 0 r2-2 rrcos(0- 吩+r db. 取其实部，得 i 2:r (r 2 -r2)u(rcos0,rsin 0) u(x, y) = u(rcos p, rsin rp) =f ? db 2冗 0 r -2 rrcos(0-p)+r 这个积分称为泊松(poisson)积分。 通过这个公式， 一个调和函数 在一个圆内得值可用 它 在 圆周上 的 值来表示。 证明 ， r r ds dsls dsls =r=re一j(j=f故 s s (s- z)(r2 - s万） 又 (s -z)( 了） r2 (s - z)(f气） s 心ir e;0