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文档简介

1、5.3 留数在定积分 计算中的应用,一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,一、形如 的积分,思想方法 :,封闭路线的积分（围道积分法） .,把定积分化为一个复变函数沿某条,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,从而积分化为沿正向单位圆周的积分：,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,例1,解,故积分有意义.,因此,例2 计算,解,令,极点为 :,(在单位圆内),(在单位圆外),二、形如 的积分,若有理函数 r(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可

2、先讨论,最后令,即可 .,2. 积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使r(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , r(z)=r(x),可取 f(z)=r(z) .,这里可补线,(以原点为中心 , r为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取r适当大, 使r(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,根据留数定理得 :,-r,r,x,zn,y,cr,即,从而,例3 计算积分,解,例4 计算积分,解,在上半平面有两个单极点：,三、形如 的积分,积分存在要求: r(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次, 并且r(x)在实轴上,无孤立奇点.,zn,同前一类型: 补线,由留数定理:,就可以求出积分,则,约当引理：,证,得,由约当不等式（如右图）,从而,根据约当引理,及以上的讨论得：,将实虚部分开，可得积分,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,例6 计算积分,解,因函数,在实轴上有一级极点,若被积函数中的r(z)在实轴上有孤立奇点，则,小结与思考,本课应用“围道积分法”计算了三类实积分, 熟练 掌握应用留数计算

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