《几何应用》PPT课件

1、3 几何应用,一、平面曲线的切线与法线,二、空间曲线的切线与法平面,三、曲面的切平面与法线,3 几何应用,平面光滑曲线,切线方程,法线方程,在点,的,一、平面曲线的切线与法线,若平面光滑曲线由隐函数方程给出：,故在点,切线方程,法线方程,有,因,二、空间曲线的切线与法平面,1. 曲线方程为参数方程的情况,设光滑曲线的参数方程为,曲线在点 P0 处的切线为此点处割线的极限位置.,切线方程,在切线方程中：,要求,即,不全为零.,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,切线的方向向量:,称为曲线在点 P0 ( x0, y0, z0)的切向量 .,过点 P0 与切线垂直的平面称为,就是法平面的法向量，所

2、以法平面的方程为：,由于切线的方向向量,曲线在该点的法平面,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,故切线方程为,法平面方程,即,即,解: 由于,对应的切向量为,在,解：,在( 1, 1, 1 ) 点对应参数为 t = 1,切线方程：,练习 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。,所以切向量为：,2. 曲线为一般形式的情况,设光滑曲线,且有,则方程组在点 P0 附近能确定唯一的隐函数组,若它在点,的某邻域满足隐函数组定理,的条件，这里不妨设,由于在点 P0 附近方程组,表示同一空间曲线，因此以 z 为参数，可得曲线,L 的参数方程为：,从而曲线在点 P0 处的切线方程为,即,与

3、隐函数组,曲线在点 P0 处的法平面方程为：,例2 求曲线,在点,P0 ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,法平面方程,即,解法2. 方程组两边对 z 求导, 得,曲线在点 P0 (1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,切向量,三、曲面的切平面与法线,它在点,的某邻域满足隐函数定理条件,这里不妨设,则方程在点 P0 附近能确定唯一连续可微的隐函数,使得,且,显函数曲面方程的切平面方程回顾,设曲面方程,由于在点 P0 附近方程,与 隐函数,表示同一曲面，从而该曲面,在点 P0 处的切平面方程为,即,法线方程为,即,例

4、3 求椭球面,在点(1 , 2 , 3),处的切平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2) 一般式情况.,2. 曲面的切平面与法线,曲面 在点,法线方程,的法向量,切平面方程,1) 隐式情况 .,空间光滑曲面,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,法向量,例4. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切,

5、故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,2. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,故结论成立 .,练习题,(定向量),2. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,3 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导