北京专用2020届高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件.pptx

1、6.3等比数列,高考数学 (北京专用),A组自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为() A.fB.fC.fD.f,答案D本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为an,则a8=a1 q7,即a8=f,故选D.,易错

2、警示本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:读不懂题意,不能正确转化为数学问题.对要用到的公式记忆错误.在求解过程中计算错误.,2.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.,答案1,解析本题考查等差数列、等比数列的基础知识,考查运算求解能力. 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. a1=b1=-1,a4=b4=8, a2=2,b2=2.=1.,3.(2013北京,10,5分)若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.,答案2;2n+1-2,解析由等比数列的性质得a

3、3+a5=(a2+a4)q, 解得q=2, a2+a4=a1(q+q3)=20, a1=2, Sn=2n+1-2.,4.(2011北京,11,5分)在等比数列an中,若a1=,a4=-4,则公比q=;|a1|+|a2|+|an|= .,答案-2;2n-1-,解析q3=-8,q=-2, 则an=(-2)n-1, |a1|+|a2|+|an|=+1+2+2n-2=2n-1-.,5.(2017北京文,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.,解析(1)设等差数列an的公差为

4、d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=.,6.(2014北京文,15,13分)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)求数列bn的前n项和.,解析(1)设等差数列an的公差为d,由题意得 d=3. 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,

5、2,). 设等比数列bn-an的公比为q,由题意得 q3=8,解得q=2. 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而bn=3n+2n-1(n=1,2,). (2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,). 数列3n的前n项和为n(n+1),数列2n-1的前n项和为1=2n-1. 所以数列bn的前n项和为n(n+1)+2n-1.,思路分析(1)由已知先求an的通项公式,再由bn-an是等比数列求出其通项公式,即可求出bn的通项公式. (2)分组求和即可.,评析本题主要考查等差数列与等比数列通项公式及前n项和公式,考查数列综合应用.属基础题.,B组统一命题省(区、市)卷题组,

6、考点一等比数列的概念及运算,1.(2019课标全国理,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=() A.16B.8C.4D.2,答案C本题主要考查等比数列的性质;以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心素养. 设等比数列an的公比为q.由题意知,an0,q0.由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,q=2.由S4=15,解得a1=1.a3=a1q2=4,故选C.,易错警示对通项公式an=a1qn-1和Sn=(q1)未能熟练掌握,从而导致失分.,2.(2017课标,3,5分)我国古代数学名

7、著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A.1盏B.3盏 C.5盏D.9盏,答案B本题主要考查等比数列基本量的计算. 由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等比数列,S7=381,a 1=3.故选B.,3.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=() A.21B.42C.63D.84,答案B设an的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q

8、4=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.,思路分析用a1,q表示a3,a5,代入已知等式求出q2值,进而利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2得结果.,4.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=.,答案,解析本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. 设公比为q(q0), 则S3=a1+a2+a3=1+q+q2=, 解得q=-, a4=a1q3=-, S4=S3+a4=-=.,5.(2019课标全国理,14,5

9、分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=,=a6,则S5=.,答案,解析本题主要考查等比数列基本量的计算;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. 设an的公比为q,由=a6,得=a4q2,a4=q2. 又a4=a1q3,a1q3=q2,又a1=,q=3. 由等比数列求和公式可知S5=.,解题关键由an=a1qn-1=amqn-m求出公比q是关键.,6.(2017课标全国,14,5分)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 =.,答案-8,解析本题考查等比数列的通项. 设等比数列an的公比为q, 由题意得 解得 a4=a1q3=-8.,7.(2017江苏,9

10、,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= .,答案32,解析本题考查等比数列及等比数列的前n项和. 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得 解得 a8=a1q7=27=32.,8.(2016课标全国,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.,答案64,解析设an的公比为q,于是a1(1+q2)=10, a1(q+q3)=5, 联立得a1=8,q=, an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)=26=64.a1a2an的最大值

11、为64.,评析本题考查等比数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,以及二次函数的最值.属综合性问题.,9.(2018课标全国文,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,解析(1)由条件可得an+1=an. 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得=,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以bn是首项为

12、1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n2n-1.,10.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析本题考查等比数列的概念及其运算. (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6

13、. 综上,m=6.,解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出. (2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解. (3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解. (4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.,11.(2018浙江,20,15分)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列bn的通项公式.,解析本题主要考查

14、等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力. (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8. 由a3+a5=20得8=20,解得q=2或q=, 因为q1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn的前n项和为Sn. 由cn=解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1), 故bn-bn-1=(4n-5),n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1),=(4n-5)+(4n-9)+7+3

15、. 设Tn=3+7+11+(4n-5),n2, Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5),所以Tn=3+4+4+4-(4n- 5), 因此Tn=14-(4n+3),n2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3).,易错警示利用错位相减法求和时,要注意以下几点: (1)错位相减法求和,只适合于数列anbn,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)在等式两边所乘的数是等比数列bn的公比. (3)两式相减时,一定要错开一位. (4)特别要注意相减后等比数列的次数. (5)进行检验.,12.(2017课标,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通

16、项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解析本题考查等差、等比数列. (1)设an的公比为q,由题设可得 解得q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=-+(-1)n. 由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n =2=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,方法总结等差、等比数列的常用公式: (1)等差数列: 递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明. 通项公式:an=a1+(n-1)d. 前n项和公式:Sn=na1+d. (2)等比数列: 递推关系式:=q(q0),常用于等比数列的证明. 通项公式

17、:an=a1qn-1. 前n项和公式:Sn= (3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:=b或等比中项:ac=b2来证明.,13.(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3.,解析本题考查了等差、等比数列. 设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5得2d+q2=6. 联立和解得(舍去),或 因此bn的通项公式为bn=2

18、n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,考点二等比数列的性质及应用,1.(2015课标,9,5分)已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=() A.2B.1C.D.,答案C设an的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5=,=4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2, 则q3=8,得q=2, 则a2=a1q=2=,故选C.,2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=.,答案1,解析a

19、,b,c成等比数列,b2=ac=(5+2)(5-2)=1,又b0,b=1.,3.(2019课标全国文,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.,解析本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体现了数学运算的核心素养. (1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n

20、项和为1+3+2n-1=n2.,C组教师专用题组,考点一等比数列的概念及运算,1.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列,答案D不妨设公比为q,则=q4,a1a9=q8,a2a6=q6,当q1时,A、B均不正确;又= q6,a2a8=q8,同理,C不正确;由=q10,a3a9=q10,知D正确.,2.(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.,答案6,解析由已知得an

21、为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得=126,解得2n+1=128,n =6.,评析本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准确哦!,3.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.,答案4,解析由a8=a6+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0(q2-2)(q2+1)=0,q2=2. a2=1,a6=a2q4=122=4.,4.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.,答案1,解析设an的公差为d,

22、则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5), (a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a1+1)+4(d+1), (a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),d=-1,a3+3=a1+1,公比q=1.,5.(2014天津,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.,答案-,解析S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.,6.(2015

23、山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3. (1)求an的通项公式; (2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.,解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 当n1时,2Sn-1=3n-1+3, 此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1, 所以an= (2)因为anbn=log3an,所以b1=, 当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n. 所以T1=b1=; 当n1时, Tn=b1+b2+b3+bn=+13-1+23-2+(n-1)31-n, 所以3Tn=1+13

24、0+23-1+(n-1)32-n, 两式相减,得 2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n,=+-(n-1)31-n =-, 所以Tn=-. 经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn=-.,评析本题考查数列的前n项和Sn与通项an间的关系以及错位相减法.考向清楚明确,但运算量较大.,考点二等比数列的性质及应用 (2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于() A.6B.5C.4D.3,答案C由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8=lg(a1a

25、2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选C.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019北京海淀期末,3)已知等差数列an满足a1=2,公差d0,且a1,a2,a5成等比数列,则d=() A.1B.2C.3D.4,答案D因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a1a5, 即(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,因为d0,所以d=4.,小题巧解根据选择题的特点,本题也可采用代值验证法,即把d的值赋为1,2,3,4,便可得到正 确选项.,2.(2019北京海淀零模,5)设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=1”

26、是“S4=2S2”的 () A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件,答案C充分性易判定,下面判断必要性, 等比数列an的前n项和为Sn,S4=2S2, a1+a2+a3+a4=2(a1+a2), a3+a4=a1+a2,即(a1+a2)q2=a1+a2, |q|=1,必要性也成立.故选C.,3.(2019北京海淀一模文, 7)设an是公比为q的等比数列,且a11,则“an1对任意nN*成立”是“q1”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案C若a11,且an1对任意nN*成立,则由an=a1qn-1

27、,可得q1,故充分性成立;若a11,且q1,同样由an=a1qn-1,可得an1,所以必要性成立.故选C.,4.(2019北京西城一模,9)在等比数列an中,a2=1,a5=8,则数列an的前n项和Sn=.,答案2n-1-,解析等比数列an中,a2=1,a5=8, q3=8,q=2, a1=, Sn=2n-1-.,5.(2018北京东城二模,10)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则=.,答案,解析由题意得S4=15a1, 且a2=2a1, =.,6.(2017北京朝阳二模,11)等比数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,a4=-2,则an的通项公式为an=,S9=.,答案2(-1

28、)n-1;2,解析设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,即-2=2q3,q=-1,故an=a1qn-1=2(-1)n-1, S9=2.,7.(2017北京海淀一模,9)若等比数列an满足a2a4=a5,a4=8,则公比q=;前n项和Sn=.,答案2;2n-1,解析因为a2a4=a5,a4=8, 所以 解得a1=1,q=2,所以Sn=2n-1.,8.(2019北京门头沟一模,11)等比数列an中,S3=21,2a2=a3,则an=.,答案an=32n-1,解析设等比数列an的公比为q,由2a2=a3得2a1q=a1q2,又a1q0,所以q=2,因为S3=21, 所以a1=3,所以an=32

29、n-1.,解后反思先用等比数列的通项公式与求和公式将题目中的两个等式用基本量a1,q表示,通 过解方程得a1,q的值,从而得通项公式an.,9.(2019北京西城一模文,16)已知数列an的前n项和Sn=n(n+1)+2,其中nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)若a2,ak+2,a3k+2(kN*)为等比数列bn的前三项,求数列bn的通项公式.,解析(1)当n=1时,S1=a1=4,(2分) 当n2时,由题意,得Sn=n(n+1)+2,Sn-1=(n-1)n+2, 所以an=Sn-Sn-1=2n,n2.(5分) 所以数列an的通项公式为an=(7分) (2)由题意,得=a2a3k+2

30、.(9分) 即2(k+2)2=42(3k+2). 解得k=0(舍)或k=2.(10分) 所以公比q=2.(11分) 所以bn=b1qn-1=a2qn-1=2n+1.(13分),10.(2019北京房山一模文, 15)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=2,S5=40. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b3=a3,b4=a1+a5,问:b7与数列an的第几项相等?,解析(1)由题意得S5=5a1+=40,(2分) 又a1=2,d=3,(4分) an=3n-1.(6分) (2)b3=a3=33-1=8,b4=a1+a5=2+35-1=16, q=2,(8分) 又b3=b1q

31、2,即8=b122,得b1=2,(9分) bn=b1qn-1=22n-1=2n, b7=27=128,(11分) 由b7=an=3n-1,即128=3n-1,得n=43, b7与数列an的第43项相等.(13分),思路分析(1)用等差数列的求和公式Sn=na1+,求出公差d,然后由等差数列的通项公 式求an,(2)列出关于首项b1与公比q的方程,计算出b7,令an=3n-1与b7相等解出正整数n即可.,11.(2019北京海淀二模文,16)已知数列an为等比数列,且an+1-an=23n. (1)求公比q和a3的值; (2)若an的前n项和为Sn,求证:-3,Sn,an+1成等差数列.,解析(

32、1)由题设得 因为an为等比数列, 所以 所以q=3. 又因为a2-a1=a1q-a1=6, 所以a1=3. 所以an=3n. 经检验,此时an+1-an=3n+1-3n=23n成立,且an为等比数列,所以a3=33=27.,(2)证明:因为an=a1qn-1=3n, 所以an+1=a1qn=3n+1, Sn=. 因为Sn-(-3)=+3=,an+1-Sn=3n+1-=, 所以Sn-(-3)=an+1-Sn, 所以-3,Sn,an+1成等差数列.,B组20172019年高考模拟专题综合题组 时间:70分钟分值:100分 一、选择题(每小题5分,共20分),1.(2017北京海淀二模,5)已知a

33、n为无穷等比数列,且公比q1,记Sn为an的前n项和,则下面结论正确的是() A.a3a2B.a1+a20 C.是递增数列D.Sn存在最小值,答案CA选项,由a3a2得a1q2a1q,当a10得a1+a1q0,当a10时,B项不正确; C选项,=(a1qn-1)2=(q2)n-1,从而为单调递增数列; D选项,若a10,则Sn单调递减,无最小值,故D项不正确. 故选C.,2.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列an的首项为a1,公差d0.则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,答案C由a1,a3,

34、a9成等比数列,得=a1a9,从而(a1+2d)2=a1(a1+8d),d0,所以a1=d;若a1=d,则a3= 3a1,a9=9a1,从而有=a1a9,所以a1,a3,a9成等比数列,综上“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的充 要条件,故选C.,3.(2019北京首师大附中一模,2)在各项均为正数的等比数列an中,a6=3,则a4+a8() A.有最小值6B.有最大值6 C.有最大值9D.有最小值3,答案A设等比数列an的公比为q(q0), a6=3,a4=,a8=a6q2=3q2, a4+a8=+3q22=6,当且仅当q=1时等号成立.故选A.,思路分析由题意设出等比数列的公比q

35、(q0),把a4、a8用a6和公比q表示,然后利用基本不等式求解.,4.(2019北京海淀新高考调研卷,6)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数远视力表各行为正方形“”形视标,且从视力5.2的视标所在行 开始往上,每一行“”的边长都是下一行“”边长的倍,若视力4.1的视标边长为a,则视 力4.9的视标边长为() A.1aB.1a C.1aD.1a,答案C由题意可知每一行的视标边长组成一个等比数列,设视力4.9的视标边长为x,则a=()8x.故x=1a,故选C.,二、填空题(共5分) 5.(2019北京海淀一模,9)已知a,4,c成等比数列,且a0,则l

36、og2a+log2c=.,答案4,解析a,4,c成等比数列,且a0, 42=16=ac,c0, log2a+log2c=log2ac=log216=4.,三、解答题(共75分) 6.(2017北京朝阳一模,16)已知数列an满足a1=1,an+1=an,设bn=,nN*. (1)证明bn是等比数列; (2)求数列log2bn的前n项和Tn.,解析(1)证明:由an+1=an,得=2. 因为bn=, 所以bn+1=2bn,即=2. 又因为b1=1, 所以数列bn是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)可知bn=12n-1=2n-1, 所以log2bn=log22n-1=n-1. 则数列

37、log2bn的前n项和Tn=0+1+2+3+(n-1)=.,思路分析(1)由an+1=an,得=2,由等比数列的定义证得结论. (2)由(1)求出bn的通项公式,利用对数性质化简log2bn,再由等差数列的求和公式求Tn.,7.(2018北京丰台一模,16)在数列an和bn中,a1=1,an+1=an+2,b1=3,b2=7,等比数列cn满足cn=bn-an. (1)求数列an和cn的通项公式; (2)若b6=am,求m的值.,解析(1)因为an+1-an=2,且a1=1, 所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列. 所以an=1+(n-1)2=2n-1. 因为b1=3,b2=7,且a1=1

38、,a2=3, 所以c1=b1-a1=2,c2=b2-a2=4. 因为数列cn是等比数列, 所以数列cn的公比q=2, 所以cn=c1qn-1=22n-1=2n. (2)因为cn=bn-an=2n,an=2n-1, 所以bn=2n+2n-1. 所以b6=26+26-1=75. 因为b6=am, 所以2m-1=75,解得m=38.,方法点睛(1)根据等差和等比数列通项公式的求法得到an=2n-1,cn=2n.(2)bn-an=2n,an=2n-1,可得到bn=2n+2n-1,求出b6的值,进而求出参数的值.,8.(2019北京丰台二模文,15)已知数列an满足a1=1,an+1=ean(e是自然对

39、数的底数,nN*). (1)求an的通项公式; (2)设数列ln an的前n项和为Tn,求证:当n2时,+2.,解析(1)因为a1=1,an+1=ean(nN*), 所以数列an是以1为首项,e为公比的等比数列, 所以an=en-1.(4分) (2)证明:由(1)知,ln an=ln en-1=n-1,(5分) 所以Tn=0+1+2+(n-1)=,(7分),所以+ =+ =2 =2.(11分) 因为0,所以1-1,所以22, 即+2.(13分),思路分析(1)根据等比数列的定义即可求解.(2)先根据等差数列的求和公式得Tn,然后运用裂项相消法求解.,9.(2018北京海淀一模,15)已知等比数

40、列an满足:a1=1,a5=a2. (1)求数列an的通项公式; (2)试判断是否存在正整数n,使得an的前n项和Sn为.若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.,解析(1)设an的公比为q, 因为a5=a2,且a5=a2q3, 所以q3=,解得q=. 所以an=a1qn-1=(n=1,2,).(6分) (2)不存在正整数n, 使得an的前n项和Sn为. 因为a1=1,q=, 所以Sn=2.(10分) 解法一:令Sn=,则2=, 得2n=-4,该方程无解. 所以不存在正整数n,使得an的前n项和Sn为.(13分) 解法二:因为对任意的nN*,有1-1, 所以Sn=22, 所以不存在正整数n,

41、使得an的前n项和Sn为.(13分),10.(2019北京朝阳一模文,16)在等比数列an中,a1=,a4=4,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=an+n-6,数列bn的前n项和为Sn,若Sn0,求n的最小值.,解析(1)由数列an为等比数列,且a1=,a4=4,得a4=a1q3=4,解得q=2. 所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n-2.(5分) (2)因为bn=an+n-6=n-6+2n-2, 所以Sn=(-5-4+n-6)+(2-1+20+2n-2) =+. 当n5时,-15,所以Sn0; 当n=4时,S4=0; 当n=3时,S3=0; 当n=2时,S2=

42、0; 当n=1时,S1=0. 所以n的最小值为5.(13分),11.(2019北京西城二模文,16)已知等比数列an的前n项和Sn=p-23-n,其中nN*. (1)求p的值及数列an的通项公式; (2)判断数列和nan是不是等比数列,证明你的结论.,解析(1)由Sn=p-23-n,得S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1, 所以a1=p-4,a2=2,a3=1.(3分) 因为数列an为等比数列, 所以公比q=,且=q, 故p=8,a1=4.(5分) 所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=23-n.(7分),(2)结论:数列是等比数列,数列nan不是等比数列.(9分) 证明如下: 由(1),得=(23-n)2=43-n, 所以=, 所以数列是首项为16,公比为的等比数列.(11分) 由(1),得nan=n23-n, 所以数列nan的前三项分别为4,4,3,它们构不成等比数列,所以数列nan不是等比数列.(13分),思路分析(1)根据Sn=a1+a2+an及题意,求出a1,a2,a3,然后由等比数