第1章 行列式 1.ppt

1、线性代数,2015-2016（2） 梅冬芳 , ,线性代数简介,实际中的问题都是研究多个变量之间的关系，这些问题在多数情况下又可以线性化，而线性化了的问题就可以利用计算机计算出来，线性代数正是分析解决这种问题的有力工具。,线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系,课程内容,行列式 矩阵 线性方程组 向量空间与线性变换 特征值和特征向量 矩阵的对角化 二次型,课程要求,看书 完成课后作业 理论联系实际 考试：闭卷，平时成绩（点名+作业）占30%，期末考试占70%,孙子算经：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”,鸡 与 兔,鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个

2、头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？,答：有23只鸡和12只兔,如何得来？,有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？,有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？,没读过书也知道答案!,你知道他是怎么做的吗？,他的做法是：把每只兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，每只兔子就只有2只脚。,这样就从下面数共有70只脚：,94-70=24，是捆起来的兔子的脚的只数 所以兔子的数量为12只，于是鸡的数量为23只,第1章,行列式,1. 行列

3、式,回忆二元及三元方程组的求解.,a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2,(1),(2),若a110.,(3),代入(1)得,(4),a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2,观察二元方程组和解,a11,a12,a21,a22,b1,b2,a12,a22,a11,a21,b1,b2,x1,x2,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,二阶行列式,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,例如,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例,解:,定义,记,算式称为由上述3

4、行3列数表所确定的三阶行列式.,三阶行列式,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三 元素的乘积为负号,三阶行列式,2.,三阶行列式展开包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.,说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,小结,思考：二阶和三阶行列式是由 ？项的代数和？每一项 是由几个元素相乘？每一项的正负号如何确定？,求解三元线性方程组,a11x1+a12x2+a13x3=b1,a21x1+a22x2+a23x3=b2,a31x1+a32x2+

5、a33x3=b3,其解为,例. 计算三阶行列式,解：,D = 105 + (-432) + 234 - (-202) - (-341) - (-435) = 72,沙路法,三阶行列式的计算,或者，,(8),余子式，M11,由(8)知，三阶行列式可用其二阶余子式的线性组合表示.,三阶行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按原来次序组成的二阶行列式记为 Mij ，称为第i行第j列元素的余子式.,Aij =(1)i+j Mij 称为 D 的代数余子式,如a11的余子式：,Aij =(1)i+j Mij,如果定义一阶行列式 | a | = a, 则,二阶行列式可表示为,上述表明二阶，三阶行列式均可由

6、其余子式的组合表示，也即高阶可由低阶行列式线性表示。,对于一元线性方程 ax=b （a0 ）. 其解,三阶行列式可表示为,行列式是什么样的？ 四阶行列式 四阶以上的呢？,思考,定义1. 1.1,称为一个 n 阶行列式.,它可由 n 个 n1 阶行列式线性表示，如：,其中Aij=(1)i+jMij,aij的代数余子式,n阶行列式的展开式,n阶行列式,主对角线,副对角线,主对角元,元素 aij 的余子式 Mij,Mij定义为：,n阶行列式的展开式,二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式,例1. 计算三阶行列式,解二：,D=,解一：,D=1*0*5+（-4*3*2）+2*3*4-（-2*0*2） -（-

7、3*4*1）-（-4*3*5）=72,还可看出,+ 0,= 84,12,=72,=D,+36,= 24,+60,=72,=D,行列式为某一行元素乘以对应代数余子式之和,+ 84,= 12, 24,=72,=D .,以及,行列式也为某一列元素乘以对应代数余子式之和,例2证明主对角行列式,用数学归纳法证明,课堂练习,计算下三角行列式、副对角行列式。,1.1.2 性质 ：,性质1： D=D,转置，值不变,D为 D 的转置行列式,性质2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,例3计算行列式,行列式基本计算公式,行列式定义,性质3. （i）,数 乘,性质3. （ii）,加法,性质3之推论1,= 0,某行为0，值为0,例4. 证明：,性质4. 行列式中两行