解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线的分类

1、第三章 坐标变换与二次曲线的分类,本章要解决的两个问题：,一、给定图形，如何选择坐标系使其方程最简单？,二、在不同坐标系中，图形的方程之间有什么关系？,2,引入,在三维空间中，任意三个不共面的向量都可取作空间的一组坐标向量。空间中任一向量在某一组坐标向量下的坐标是唯一确定的，但是在不同坐标系中的坐标一般是不同的。因此在处理一些问题时，如何选择适当的坐标系使得所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题。,1 仿射坐标变换的一般理论,为此我们首先要知道同一向量在不同坐标系中的坐标之间有什么关系，即随着坐标系的改变，向量的坐标是如何变化的。,3,1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式,则借用矩阵记

2、号和形式上的矩阵乘法将上式写为：,一、代数准备：向量的形式写法,4,则利用形式写法可记为：,2、推广:设 和 为两组向量，若,5,1),注：在形式写法下有下列运算规律:,6,2) 矩阵 ，则,3) 矩阵 ，则,7,即,二、基变换,则称 或 为从 到 的基变换公式。,8,称矩阵,为从坐标系到坐标系的过渡矩阵。,注：过渡矩阵是以 在 中的坐标 为各个列向量的三阶方阵。,从而基变换公式可简写为:,9,三、向量和点的坐标变换公式,设向量 在 和 中的坐标分别为 和 ，则,10,对比,这就是向量的坐标变换公式。,可知,下面讨论点的坐标变换公式：,设点 在 和 中的坐标分别为 和 ，并设点 在 中的 坐标

3、为 .,11,两个标架之间的关系:,12,对比,可知,这就是点的坐标变换公式。,13,两个坐标变换公式的异同点,不同点：向量的坐标变换公式是齐次的， 点的坐标变换公式是非齐次的。,相同点：都是用 中的坐标去求 中的坐标； 都是一次线性关系式。,思考：点的坐标变换公式什么时候表现为齐次的？,14,1.2 图形的坐标变换公式,设曲面 在坐标系 中的一般方程为 , 则它在坐标系 中的一般方程为:,对于曲线,将其视为两张曲面的交线,从而曲线的坐标变换公式可以将两张曲面的坐标变换公式联立得到.,例3.1,15,1.3 过渡矩阵的性质,不共面,命题3.1 设有三个仿射坐标系 ,若从 的 过渡矩阵为C,从

4、的过渡矩阵为D,则从 的 过渡矩阵为CD.,推论 若从 的过渡矩阵为 ,则从 的过渡矩阵为 .,注：以上所有的概念、定义和结论对于平面上的坐标变换都有类似的结果，而且更加简单。,例3.2、3.3,16,1.4 代数曲面和代数曲线,一个结论：若空间中的一张二次曲面和一张平面相交， 则交集为二次曲线，或者直线，或者一个点。,注1：次数的概念不是纯几何的，它与方程有关。,如果 是一个关于 的多项式，则称方程 的图像为代数曲面，并把多项式的次数称为这个代数曲面的次数。,注2：代数曲面及其次数与坐标系的选取无关。,在平面上，相应地有代数曲线及其次数的概念。,17,1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵

5、,设 和 是空间中的两个直角坐标系， 到 的过渡矩阵为,则简单计算表明:,命题3.2 直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.,命题 正交矩阵的行列式为+1或-1.,命题 正交矩阵将直角坐标系变为直角坐标系.,命题 行列式为正的正交矩阵保持定向; 行列式为负的正交矩阵改变定向.,18,正交矩阵的一些性质,矩阵 是正交矩阵,19,二阶正交矩阵的特殊形式,二阶正交矩阵只有以下两种形式:,移轴变换,转轴变换,20,2 二次曲线的类型,目标：寻找一个新的右手直角坐标系，使得 在其中 的方程成为标准方程，从而看出其几何形状。,方法：转轴（消去交叉项）+ 移轴（进一步化简）,注：若 ,用移轴的方法就可化为标准

6、方程,因此 处理 是关键所在.下面讨论 的情况。,21,1、首先,我们希望新的坐标系还是直角坐标系, 而且最好还是右手系。 因此这个变换必定是正交变换,而且行列式为+1.,问题:怎么想到是转轴而不是别的变换?,2、其次,平面上的正交矩阵只有两种类型,其中行列 式为正的就是转轴变换.,22,用它的二次项系数构造对称矩阵:,于是,设所要找的转轴变换为:,2.1 用转轴消去交叉项,记 ,23,则二次项部分的变换如下:,因此,要使新坐标系中的方程没有交叉项,只要取 满足,即,24,作移轴变换,2.2 用移轴进一步简化方程,设二次曲线 在某个右手直角坐标系中的方程为:,其中 和 不全为0.,1) 若 和

7、 都不为0,则配方得:,则方程化为:,25,进一步可化简为以下5种形式之一:,椭圆,空集,一点,双曲线,一对相交直线,26,2) 若 和 中有一个为0,不妨设 为0, 不为0.,则方程可化为:,若 ,作移轴变换:,进一步化为:,抛物线,方程化为:,27,若 ,作移轴变换:,进一步化为:,d0: 一对平行直线,方程化为:,d=0: 一条直线,d0: 空集,28,小结,1) 由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以仿射 坐标系下的二次曲线在直角坐标系下仍然还是二次 曲线。,2) 所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）： 椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、 一对平行直线、一条直线、一个点。,29,3

8、 用方程的系数判别二次曲线的类型，不变量,上一节引入的方法的局限性：,问题：如何判别在仿射坐标系下给出的二次方程 所表示的二次曲线的类型?,1) 转轴和移轴只适用于直角坐标系;,2) 计算量比较大.,新的方法：不变量法,用方程的系数去构造不依赖于坐标系的不变量，进而直接判别二次曲线的类型。,注：这些不变量的构造仰仗于代数语言的引入,因为 它们本质上是对称矩阵在合同变换下的不变量.,30,记 ,用它的系数构造两个对称矩阵:,3.1 二元二次多项式的矩阵,可见 和 是互相决定的.,则,31,可见 和 是互相决定的.,即,记 是 的二次项部分,分别把 和 称为 和 的矩阵.,32,设平面二次曲线的方

9、程为 ,作坐标变换：,其中 是过渡矩阵(可逆).上面的变换称为可逆线性变量替换.,记,则,33,设曲线在新坐标系中的方程为: .,则,它的二次项部分为:,注意到 和 都是对称矩阵,根据前面的定义,所以它们分别是 和 的矩阵.,设常数 ,则 和它的二次项部分 的矩阵分别为 和 .,34,设二元二次多项式 的矩阵为:,它们依次被称为二元二次多项式 的第一、第二、第三不变量.,3.2 二元二次多项式的不变量,构造 的不变量如下:,35,命题3.3 设 经过可逆线性变量替换变为 , 以 记 的不变量,则,(1) 和 同号, 和 同号;,(2) 如果 是正交矩阵,则,推论 在直角坐标变换下 保持不变,这

10、就是它们 被称为不变量的原因. 但是在仿射坐标变换下,它们并不是不变的.,命题3.4 设二元二次多项式 的 ,则 , 并且作可逆线性变量替换后所得的 的 与 同号.,命题 如果用一个非零常数 乘以 ,则 当 时,三个不变量都不改变符号. 当 时, 不变号, 变号,但 不变号.,36,3.3 用不变量判别二次曲线的类型,1.标准方程的不变量的正负性,37,2.用不变量判别二次曲线的类型,设二次曲线 在某个坐标系中的方程为 , 记 的三个不变量为 .,例3.4,38,4 圆锥曲线的仿射特征,设二元二次多项式 的矩阵为:,记,则,以下总假定在某个仿射坐标系中二次曲线 的方程为 .,39,4.1 直线

11、与二次曲线的相交情况,设直线 的参数方程为,则 和 的交点对应的参数 满足,展开得到一个关于 的方程:,据此可判别交点的情形及个数(见教材).,40,4.2 中心,定义3.1 如果点 满足,则称 为曲线 的中心.,中心的坐标是方程组 的解.,非中心型曲线,41,4.3 渐近方向,定义3.2 一个非零向量 如果使得 , 则称 所代表的直线方向是 的渐近方向.,命题3.6 椭圆型曲线没有渐近方向, 双曲型曲线有两个渐近方向, 抛物型曲线有一个渐近方向.,几何意义,双曲线的渐近方向是两条渐近线的方向; 一对相交直线的渐近方向是它们自身的方向; 抛物线的渐近方向是它的对称轴的方向; 一对平行直线或一条

12、直线的渐近方向就是自身的方向.,42,4.4 抛物线的开口朝向,结论 如果 ,则抛物线的开口朝向是 ,否则就是 .,命题3.7 若 ,则 是抛物线的开口朝向的 充要条件为:,命题3.7 若 ,则 是抛物线的开口朝向的 充要条件为:,抛物线,结论 如果 ,则抛物线的开口朝向是 ,否则就是 .,43,注2：如果 代表双曲型曲线的渐近方向,则 是渐近线.,4.5 直径与共轭,注1：条件意味着 不代表抛物型曲线的渐近方向.,注3：如果 有中心,则中心一定在每一条直径上.,命题3.7 如果 不代表 的渐近方向,则,(1) 平行于 的每条弦的中点在 上;,(2) 如果平行于 的直线和 只有一个交点, 则这

13、个交点在 上.,1.直径,44,4.5 直径与共轭,2.方向关于 的共轭,定义3.3 如果两个非零向量 和 满足:,即,注：可以证明 .,则称 所代表的方向关于 互相共轭.,设 是两个非零向量,并且都有共轭直径 （即 都不代表抛物型曲线的渐近方向）,如果 所代表的方向共轭,则称 是一对互相共轭的共轭直径.,45,4.6 圆锥曲线的切线,和圆锥曲线只有一个交点,并且不平行于渐近方向的直线称为它的切线,交点称为切点.,设直线 经过点 ,平行于向量 , 则 是 的切线的充要条件是:,46, 若给定切线方向 ,则可通过下面方程求出切 点坐标,从而确定切线.,切线的计算方法,(可见切点是 的共轭直径与

14、的交点.), 若 ,可通过求出切线方向或切点来确定切线., 若 ,且切点就是 ,则经过 的切线为:, 切线方向 满足:, 切点 满足:,47,5 圆锥曲线的度量特征,设圆锥曲线 在某个右手直角坐标系 中的方程为 ,其中,5.1 抛物线的对称轴,抛物线的对称轴就是渐近方向的垂直方向的共轭直径.,1). 当 不全为0时,对称轴方程可写为:,2). 当 全为0时,对称轴方程可写为:,48,抛物线的作图,第二步:求出对称轴和抛物线 的交点 ,这就是顶点.,第一步:求出抛物线 的对称轴.,第四步:以 为原点,以 的开口朝向为 轴的正向, 作右手直角坐标系 .,第五步: 在 中的方程形如: .,第六步:确

15、定 和 的值.,的开口朝向为 轴的正向,直角坐标变换保持不变量的值,例3.5,第三步:确定 的开口朝向.,49,5.2 椭圆和双曲线的对称轴,椭圆和双曲线都有两条对称轴,它们互相共轭,互相垂直.,定义3.4 对于中心型曲线 ,如果一个方向与它的 共轭方向垂直,则称该方向是 的主方向.,所以,椭圆和双曲线的对称轴的方向是主方向.,问题：中心型曲线的主方向是否一定是对称轴的方向?,50,主方向的求法,设两个非零向量 和 代表一对共轭方向,代表主方向,由此可求出 的值,再由 解出 ,其比值即为主方向.此方法称为特征值法.,51,特征方程的判别式为,称为 的特征方程,它的解称为特征值.,1). 当 ,且 时, .,此时只有一个特征值 ,并且 ,从而任何方向都是主方向.,从几何上看,此时 是一个圆,所以过中心的任何直线都是对称轴.主方向也就是对称轴的方向.,2). 当 或 时, .,此时有两个特征值 , 将它们分别代入 能求得两个主方向.,从几何上看,此时 是椭圆(不是圆)或者