角平分线的性质与判定

1、角平分线的性质,已知:AOB,求作：AOB的平分线,（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。,（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C。,（3）作射线OC。射线OC即为所求。,A,0,B,M,N,C,做法：,A,O,仔细观察步骤,将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2：,议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？

2、,同学甲、乙谁画的是角平线上的点到两边的距离?,角平分线的性质定理：,定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP 是 的平分线,PD = PE,（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,练习：, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等, 如图， DCAC，

3、DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,P51 2T,证明：DEAB ,DFAC AD是角平分线 DE=DF (角平分线的性质） DEAB ,DFAC BED=DFC=90 在RTBDE和RTCDF中 BD=CD (已知） DE=DF （已证） RTBDE RTCDF （HL) BE=CF (对应边相等）,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,思考,证明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）

4、在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QD=QE RtQDORtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,P51 3T,证明：CDAB,BEAC, BDO=CEO=90,在BDO和CEO中,BDO=CEO (已证),BOD=COE (对顶角相等）,OB=OC (已知）,BDOCEO （AAS), OD=OE (对应边相等）,又 CDAB,BEAC AO平分DAE （角平分线的判定) 即 1=2,，,B,如图所示O

5、C是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,利用结论，解决问题,练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为D、E、F,BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角