振动信号的处理和分析

1、第六章振动信号的处理和分析（基本理论）,6-1 信号的分类 6-2 傅里叶变换 6-3 离散傅里叶变换（DFT） 6-4 快速傅里叶变换（FFT） 6-5 选带傅氏分析（ZOOM-FFT） 6-6 功率谱与功率谱密度分析 6-7 线性系统的输入与输出关系 6-8 拉普拉斯变换与Z变换,本章内容,振动信号的测量 振动信号传感器 位移传感器 速度传感器 加速度传感器 电涡流传感器 光纤传感器 机械振动的运动量和动特性参数的常用测量方法 频率的测量 相位差的测量 衰减系数及相对阻尼系数的测量 振动信号的处理和分析,信号的分类,稳态信号：统计特性不随时间而变化的信号，可以是确定性的，也可以是随机性的。

2、 稳态确定性信号：完全由具有离散频率成分的正弦信号组成的信号。 对于任意稳定的时刻，其信号值是可以预知的。 稳态随机信号：平均特性不随时间变化的随机信号。 对于任意稳定的时刻，只能确知其统计特性（平均值、方差）。,非稳态信号：任何统计特性都随时间变化的信号。 连续性非稳态信号 瞬态信号,傅里叶变换,傅里叶变换（Fourier Transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换是一种能够将信号从时域到频域、从频域到时域来回变换的传统方法，也是信号处理的一种主要方法。,周期信号： 周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(

3、Dirichlet)条件时可分解为如下三角级数 称为x(t)的傅里叶级数 基频（第一阶圆频率）：,傅里叶级数,傅里叶系数,将上式同频率项合并，可写为： 其中：,傅里叶级数,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(21t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Akcos(kt+k)称为n次谐波。,欧拉公式： 可将三角级数形式的傅立叶级数转换为如下形式： 傅里叶级数两种形式的关系：,傅里叶级数的复数表达法,周期信号的特征参数,峰值(Peak) ： xp 平均绝对值

4、： xav 均值(Mean)： 均方值： 均方根值(RMS, Root Mean Square)： xrms,正弦信号： xrms=0.707 xp xav=0.637xp,信号的某种特征量随信号频率变换的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系 幅度频谱（幅度谱）： 幅值Ak随频率 变化的图形（单边谱） 幅值|ck|随频率 变化的图形（双边谱） 幅度谱中每条线代表某一频率分量的幅度谱线 相位频谱（相位谱）： 相位k随频率变化的图形,周期信号频谱,周期信号频谱举例1,举例：周期信号 试求该周期信号的基波周期T，基波角频

5、率，画出它的单边频谱图,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,周期信号频谱举例1,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,周期信号频谱举例2,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）,周期信号频谱举例2,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 的整数倍 一般具有收敛性。总趋势减小,周期信号频谱特点,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 当周期T趋近于无穷大时，

6、谱线间隔 趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。,傅里叶积分变换（非周期信号）,考虑到T，无穷小，记为d；k （由离散量变为连续量），而,非周期信号的傅里叶变换,同时， ,X()称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 x(t)称为X()的傅里叶逆变换或原函数。,根据傅里叶级数复指数形式：,可记为： 正变换(FT)： 分解过程（时域频域） 逆变换(IFT)： 信号重构过程（频域时域）,傅里叶变换对,令 正变换： 逆变换：,幅度频谱（幅度谱）： 随频率 变化的图形 幅度谱中每条线代表某一频率分量的幅度谱线 相位频谱（相位谱）： 随频率 变化的图形 ：频率谱密度函数，或简称为频谱函数

7、 非周期信号频谱为 的连续函数,非周期信号频谱,设 Fx(t)=X(f), Fy(t)=Y(f) 线性叠加： 证明：,傅里叶变换（FT）的重要性质,对称性 证明： 将t与f互换,傅里叶变换（FT）的重要性质,尺度改变： 证明： 令 ，则 ，代入上式得,傅里叶变换（FT）的重要性质,傅里叶变换（FT）的重要性质,(1) 0k1 时域扩展，频带压缩。,脉冲持续时间增加k倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩k倍。高频分量减少，幅度上升k倍。,持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降k倍。,（2）k1 时域压缩，频域扩展k倍。,傅里叶变换（FT）的重要性质,时移： 证明：

8、令 ，则 ，代入上式得,傅里叶变换（FT）的重要性质,频移： 时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 单位，在时域就对应于其时间信号 乘以,傅里叶变换（FT）的重要性质,时域微分： 证明：,傅里叶变换（FT）的重要性质,交换微、积分运算次序,频域微分： 证明：,傅里叶变换（FT）的重要性质,交换微、积分次序,积分： 证明：根据时域微分性质,傅里叶变换（FT）的重要性质,卷积： 时域卷积： 时域卷积定理说明，两个时间函数卷积的傅里叶变换等于各时间函数的频谱密度函数的乘积。,傅里叶变换（FT）的重要性质,证

9、明：,傅里叶变换（FT）的重要性质,频域卷积： 频域卷积定理表明，两个时间函数乘积的傅里叶变换等于它们各自频谱函数的卷积。,傅里叶变换（FT）的重要性质,证明：,傅里叶变换（FT）的重要性质,单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 单位脉冲信号（函数）,几种常用信号的傅里叶变换,单边指数信号： 傅里叶变换为：,单边指数信号的傅里叶变换,幅度频谱： 相位频谱：,单边指数信号的傅里叶变换,双边指数信号： 傅里叶变换为：,双边指数信号的傅里叶变换,双边指数信号幅度和相位：,双边指数信号的傅里叶变换,矩形信号： E脉高：即矩形脉冲的高度 脉宽：即矩形脉冲的宽度(非零区间的宽度) 傅里叶变换为：,矩形

10、信号的傅里叶变换,矩形信号幅度和相位：,矩形信号的傅里叶变换,幅度频谱,相位频谱,单位冲激信号，亦称冲激函数，函数，或称狄拉克（Dirac）函数 实质：可视为宽度为，幅值为1/的矩形脉冲在0的极限情况。 延时函数：,单位冲激信号的傅里叶变换,抽样特性 连续时间信号x(t)与冲激信号(t)相乘，并在整个时间范围内积分，可以得到信号x(t)在冲激发生时刻的函数值。 偶函数性质,函数的重要性质(1),卷积： 卷积性质 移位性质 连续时间信号x(t)与冲激信号(t)进行卷积，等价于把该连续信号x(t)平移到冲激信号(t)的冲激发生时刻（冲激点所在位置）,函数的重要性质(2),函数的傅里叶变换,和 的傅里叶变换,函数性质应用,正、余弦的傅里叶变换 由欧拉公式 已知 由频移性质 得,周期信号的傅里叶变换,Review,傅里叶级数(FS)周期信号,傅里叶系数,Review,傅里叶级数复指数表达形式： 傅里叶级数频谱特点：离散的谱线,Review,傅里叶变换(FT)非周期信号 傅里叶变换频谱特点：连续函数,单位冲激信号函数 延时函数：,Review,Review,函数的性质 抽样特性 卷积、移位特性,周期单位冲激序列： 复指数形式FS：,周期单位冲激序列的傅里叶变换,积