数列求和常用方法

1、掌握一些简单数列的求和方法,数列求和,常用的公式有： (1)等差数列an的前n项和 Sn= = . (2)等比数列an的前n项和 Sn= = (q1) (3)12+22+32+n2= . (4)13+23+33+n3= .,na1+ d,n(n+1)(2n+1),n2(n+1)2,1公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和,常用求和方法,课堂互动讲练,公式法,如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解,(2010年高考陕西卷)已知an是公差不为零的等差数列，a

2、11，且a1，a3，a9成等比数列 (1)求数列an的通项； (2)求数列2an的前n项和Sn. 【思路点拨】利用a1，a3，a9成等比数列，可求公差d，从而得出an.,分组法,有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.,倒序相加法,是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .,例3,裂项相消法,这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项

3、分解（裂项）如：,已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn；,【思路点拨】由a3，a5a7的值可求a1，d，利用公式可得an，Sn.对于bn，利用裂项变换，便可求得Tn.,错位相减法,对于形如anbn的数列的前n项和Sn的求法(其中an是等差数列，bn是等比数列)，可采用错位相减法具体解法是：Sn乘以某一个合适的常数(一般情况下乘以数列bn的公比q)后，与Sn错位相减，使其转化为等比数列问题来解,(2010年高考课标全国卷改编)设等比 数列an满足a12，a4128. (1)求数列an的通项公式； (2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn. 【

4、思路点拨】利用公式求得an，再利用错位相减法求Sn.,6.并项法,将数列的每两项(或多次)并到一起后，再 求和，这种方法常适用于摆动数列的求和. 例六：Sn=12-22+32- 42 +(-1)n-1n2,当n是偶数时， Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2 =-3-7-(2n-1)= . 当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2 =1+5+9+(2n-1)= . 故Sn=(-1)n-1 (nN*).,1注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用 (2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性 (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和,2常见求和类型及方法 (1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解(但要注意对q要分q1与q1两种情况进行讨论)； (3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组转化法求an前n项和； (4)anbncn，bn是等差数列，cn是等