矩阵-精品课件

1、第一节 基本概念,矩阵概念,一些特殊的矩阵,矩阵问题的例,第二章 矩 阵,定义 1 m n 个元，排成 m 行 n 列（横称行，,纵称列）的矩型阵列（表）,称为维是 m n 的矩阵 (matrix),简称为m n 型矩阵.,一、矩阵概念,(2-1),常用大写黑斜体字母 如A、B、C， 记之，,必要时也可以以下标来区别不同的矩阵， 如A1，A2， ,在书写矩阵时，也有将 的m n矩阵写作,这里的 aij 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的代表性元 (今后简称为该矩阵的 i- j 元),A= aij ,另外 , 在不致引起混淆时还常将 简记作,二、一些特殊的矩阵,或者元本身就是个矩阵或其他更一般

2、的数学对象.,我们分别称这种矩阵为实矩阵、复矩阵、超矩阵等.,本书涉及的总是实矩阵.,m=n 的情形，此时称之为n 阶方阵或 n 阶矩阵.,矩阵 的元可以是实数也可以出现复数,从矩阵的形状看，遇到最多的是在 中,行数和列数相同的矩阵称为方阵,例如,(1) 方阵,A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，,今后，常将 1 阶矩阵作为数对待.,（2-2）,在表达矩阵的时候，元素之间不需添加逗号.,另外，只有一列（即 n = 1）或一行（即m = 1） 的矩阵也常碰到.,(2) 行矩阵和列矩阵,只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如 A = ( a11 a12 a1n ).

3、,如,只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).,作为列向量，常用小写黑体字母a，b,记之，,而行向量则常被记作aT，bT,或a，b, .,如,是个21的列矩阵，也可以当作列向量.,就向量而言，称其元为分量，分量的个数即 为向量的维.,故所谓n维向量就是 n 维数组，即,n个数的一个有序数组，,亦即是个n1的列矩阵,或 1 n的行矩阵.,（2-3）,这样, 称（2-3）是二维向量.,今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量.,对于方阵，主对角线是自左上角到右下角的那 条连线.,一般称元 ai,i+1 位于 A 的上对角线上,在下列这个 4 阶矩阵中, 表明其主对角线， 而及分别标示上、下对角线

4、：,而元 ai,i-1,在 A 的下对角线上.,(3) 上三角阵与下三角阵 对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其 上（或右）方，就称为上三角形矩阵（upper triangular matrix）,有时用 U 或 R ( right ) 表示，,如：,是 4 阶上三角阵.,值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零，,而其他元可以是零也可以不是零.,相反，非零元只出现在对角线及其下（或左） 方的方阵为下三角形矩阵(lower triangular matrix),记作 L ( left ).,如,是 3 阶下三角阵.,矩阵（diagonal matrix）,一个既是上三角又是下三角的矩阵称为

5、对角,(4) 对角阵,亦即对角阵是非零元,只能在主对角线上出现的方阵.,如,是 3 阶的对角阵.,显然，由对角线元就足以确定对角阵本身，,故常将这对角阵记作 D = diag ( 12 , 3 , 4 ) .,同样， diag (1 ,2 ,n ) 表示一组对角元分,别为1 ,2 ,n的 n 阶对角阵，,详细写出就是,当然允许某些 等于零.,（2-4）,量 时称为标量矩阵(scalar matrix) ,当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常,(5) 标量阵,特别称,=1 的标量矩阵为单位矩阵, 或称幺矩阵 (identity matrix),以 I 或 E 来记.,下角标明阶数，如,（2-4

6、）,必要时在其,在对许多实际问题作数学描述时，都要用到 矩阵的概念，,三、矩阵问题的例,这里讨论几个简单的例子.,例1 （通路矩阵） a 省两个城市 a1 , a2 和 b 省 三个城市 b1, b2, b3 的交通联结情况如图2-1所示，,每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路,总数.,由该图提供的通路信息，可用矩阵形式,表示（称之为通路矩阵），以便存贮、计算与 利用这些信息.,现有,通路矩阵 C 的行表示 a 省的城市，,列是 b 省的,而 cij 表示 ai 与 bj 间的通路数.,工厂中常用管道联结各种设备，于是也可 用一矩阵表明各设备间的连通情况.,图 2-1,城市，,例2 （价格矩阵） 四种食品（fo