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1、第四章 金属自由电子理论,解：,（1）,由周期性边界条件得,每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，,则在面积元,中,容纳电子数为,又,所以E到E+dE之间的状态数,（2）,在E到E+dE内的电子数为dN,在绝对零度时,则,4.2 设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由 粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密 度的表示式。,解：,电子在方匣中运动，设其势函数,可写为,，,则薛定谔方程,(1),令,(2),(3),代入(1)式可得,(4),应用驻波边界条件：,可得驻波解为,式中波矢的各分量分别为,(5),这里,为任意正整数，,因而,也只取正值。,由(5)式得知，,间中一

2、个状态代表点所占体积为,代表金属体体积。,由上式知道，,空间中的状态密度等于8V。,这样，如计,入自旋，,之间的状态数,从(2)式知道，,于是，,状态密度为,(6),另一方面，若应用周期性边界条件,则从(3)(4)两式可得行波解,波矢各分量分别为,(7),取正负整数，电子的能量仍然表示为,从(7)式知道，在,空间中，每个状态代表点所占体积为,因而,空间中的状态密度为V，,计入自旋，,之间的,状态数为,故状态密度,(8),对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求 出的状态密度表示式是一样的。,4.3 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对零度时锂的电子气的

3、费米能量 (以电子伏特表示）。,解：,体心立方,又,所以,解：,低温下，金属摩尔热容量为,因,所以,可得,解：,因为,能量为E的等能面的方程式可写为,椭球的体积为,得椭球内所含状态数,为,之间的状态数为,(1).解一维薛定谔方程,(1),令,(2),解：,从(1)式解得,利用周期性边界条件,，得到,从上式可求得电子态在k空间的密度,从(2)式又知道,(3),可见能量E是波矢,的偶函数，,和,对应同一能级，因而,在能量区间,内的电子态数,(4),式中,为电子的能态密度。,即,代入(4)式，成为,由(3)式得,于是得,计及电子的自旋，则得到能态密度为,(2).电子服从费密统计。,故应有,当T=0K

4、时，费密分布函数,因此,(5),(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K),利用(5)式化简，从上式即得,（1）处于k状态的自由电子能量为,，k为,电子波矢。,由此得到，费密球内,证明：,当T=0K时，电子全部占据费密球内各态。,空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢,的球壳内的状态数为,在,，,电子的总能量,于是,(1),由此得到空间能量密度为,(2) 因为费密球内电子的总数,(2),把(2)式代入(1)式便得电子的平均能量,设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至,温度T时，,(1),式中的f(E)是费密分布函数。,的积分可利用如下的积分公式求得：如,，有,解：,它的总能量,(1)式已经过部分积分，其中最后,式中y(E)为能量E的某一函数。

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