




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、微分方程的基本概念,含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程;,未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;,未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程;,微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.,能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解.,微分方程的解、通解与特解,如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解.,不包含任意常数的解为微分方程特解.,可分离变量的微分方程,1定义 形如,的方程称为可分离变量的方程.,特点 - 等式右端可以分解成两个函数之积,其中一个只是x的函数,另一个只
2、是y的函数,2解法:,两端积分得通解:,齐次方程,如果一阶微分方程 可以化成 的形式,则称此方程为齐次微分方程 这类方程的求解分三步进行: (1)将原方程化为方程 的形式 (2)作变量代换 以 为新的未知函数(注意, 仍是 的函数),就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方程来求解,由 ,得 两端求导,得 代入方程中,得,这是变量可分离的微分方程分离变量并积分,得 (3)求出积分后,再以 代回,便得到所求齐次方程的通解,一阶线性微分方程,形如 的方程称为一阶线性微分方程,其中P(x),Q(x)是连续函数,且方程关于y及 是一次的,Q(x)是自由项.,为一阶线性非齐次方程,,为一阶线性齐次方程
3、.,一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:,1.先求,的通解:,分离变量后得,化简后,方程(2)的通解为,其中C为任意常数.,2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解:,设,是方程(1)的解,其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数,得,代入方程(1)中,得,化简后,得,把(5)式代入(4)式中,即得方程(1)的通解为,通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数,然后求出线性非齐次方程的通解,这种方法称为常数变易法.,二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性微分方程 二、 常系数线性齐次微分方程解的结构 三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法,的方程,称为二阶
4、线性微分方程.当 时,方程(1)成为,形如,当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时,则称方程,为二阶常系数线性齐次微分方程,称方程,/,为二阶常系数线性非齐次微分方程.,定理 设y1(x), y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解,则 也是方程(3)的解,其中C1, C2是任意常数.,一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解,则,就是方程(3)的通解.,求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤:,1.写出特征方程,并求出特征方程的两个根;,2 .根据两个特征根的不同情况,
5、按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:,二阶常系数非齐次线形微分方程,二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为: 当 时,二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 的特解,其中 是与 同次(m次)的多项式,而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。,当 或 时, 由欧拉公式知道, 和 分别是 的实部和虚部。 而方程 具有形如 的特解,其中 是与 同次(m次)的多项式,而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。 方程 和 的特解分别是(9)式的特解的实部和虚部。,欧拉方程,形如 的方程称为欧拉方程,其中 为常数。 欧拉方程的特点是:方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 解法:作变量替换 将自变量x换成t,则有,如果采用记号
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025至2030中国皮箱行业产业运行态势及投资规划深度研究报告
- 2025至2030中国电热辐射管行业市场现状分析及竞争格局与投资发展报告
- 2025至2030中国猪养殖行业市场发展分析及发展前景与投资报告
- 毛豆养护知识培训课件
- 广日电梯培训课件
- 危急值及修订常规制度培训
- 个性化教育培训课程设计满足不同学习者的需求
- 2025年中国不锈钢高真空保温壶数据监测研究报告
- 2025年中国三足式袋卸料离心机数据监测研究报告
- 深度解析教育科技行业未来发展方向
- 板式换热器、半容积式换热器换热器面积计算表(自动计算)
- 直流屏检修作业指导书
- 冷镦机 质量要求技术条件
- 《全国统一安装工程预算定额》工程量计算规则
- translated-NCCN临床实践指南:非小细胞肺癌(中文版2022.V5)
- GB/T 8312-2002茶咖啡碱测定
- 通信线路工程施工组织设计方案【实用文档】doc
- 护士注册健康体检表下载【可直接打印版本】
- 预计财务报表编制及分析课件
- Q∕SY 1347-2010 石油化工蒸汽透平式压缩机组节能监测方法
- 西门子顺序功能图语言S7-Graph的应用
评论
0/150
提交评论