数值积分用matlab实现

1、东北大学秦皇岛分校数值计算过程设计报告数值积分及其Matlab实现学院数学统计学院转业信息和计算科学学号5133117姓氏楚文玉指导教师张建波刚玉成就功绩教师意见：地图教师签名：2015年7月14日1简介在科学研究计算中，经常出现一些很难通过公式定理直接找到正确答案的积分问题，对于这类问题，我们通常会转化为数值积分问题，利用计算机解决问题。1.1主题的背景对于有限整数，有一个在特定条件下计算有限整数值的Newton-lebritz公式，但是在大多数情况下，原始函数不能求或变得复杂。基本函数(例如、等)很难用基本函数表示。某些函数的原始函数存在，但表达式太复杂，计算太多，甚至不能使用解析表达式。

2、因此，使用牛顿-莱布尼兹公式计算明确积分的情况并不多。此外，许多实际问题的积分函数通常是列表函数或其他形式的离散函数。这些函数的定积分不能用无限积分法求解，只能使用求近似值的方法。探讨近似计算的数值积分方法具有明显的实际意义。也就是说，为了解决定积分的近似计算，需要研究定积分的数值计算方法。数值积分是解决这些问题的有效方法，其特点是利用积分函数中一些节点的信息推导出明确积分的近似值。微积分的发明是人类科学史上的伟大成就，在科学技术中，积分往往是重要的计算环节数值积分是数学中的重要课题之一，也是数值分析中的重要内容之一。随着计算机的出现，近几十年来对数值积分问题的研究成为了一个非常活跃的研究领域

3、。现在数值积分在计算机图形、积分方程、工程计算、金融数学和应用科学等领域有着非常重要的应用。所以研究数值积分问题很重要。国内外很多学者在数值积分应用领域也提出了很多新方法。在很多实际应用中，只能知道特定点上积分函数的值。例如，天气测量中的温度、湿度、气压等医学测量中的血压、浓度等。通过本主题的研究，我们将更好地掌握利用数值积分算法寻找特殊积分函数明确积分的几种基本方法、理论依据。并通过Matlab软件编程的实现，应用于实际生活。1.2主题的主要内容框架1.2.1数值积分求积公式简介简介牛顿寇特求积公式及辛普森求积公式、龙伯格求积公式、高斯求积公式的基本理论基础和方法。1.2.2旧公式的代码实现

4、通过理解各种数值积分求积公式的原理，通过Matlab软件进行编程，实现了上述求积公式。1.2.3应用程序示例通过简单的例子，直接创建相对简单复杂的函数，使用上面编写的Matlab源程序解决实际问题，理解数值积分和Matlab的优点。2牛顿-柯特公式及其Matlab实现2.1牛顿-柯特公式的基本原理方法为积分区间a，b分割为n等分，步长设定为的等距节点规划选取差异类型求积公式，(2.1)这叫牛顿-柯特公式，在样式中叫科特系数。据说，(2.2)引入变量替代后(2.3)N=2时，截断系数为，相应的求积公式为辛普森求积公式。(2.4)2.2牛顿-科特公式Matlab的实现FunctionC，g=NCo

5、tes(a，b，n，m)% a，b分别是积分的上限和下限。% n是子间隔数。% m是调用的第几个产品函数。% n=1时计算梯形公式。如果N=2，则计算辛普森公式。I=n；h=(B- a)/I；z=0；For j=0 : Ix(j 1)=a j * h；s=1；If j=0S=sElseFor k=1 : js=s * k；EndEndr=1；If I-j=0R=rElseFor k=1 : (I-j)r=r * k；EndEndIf mod(I-j)，2)=1q=-(I * s * r)；Elseq=I * s * r；Endy=1；For k=0 : IIf k =jy=y *(sym(t)

6、-k)；EndEndL=int(y，0，I)；c(j 1)=l/q；Z=z C(j 1)*f1(m，x(j 1)；EndG=(b-a)*z3复合求积公式及其Matlab实现3.1复合梯形公式的基本原理在每个子地块()中，使用梯形公式将地块a，b除以n，再除以分点。(3.1)记忆(3.2)公称(3.2)是复合梯形公式。3.2复合梯形公式的Matlab实现Function s=trap11 (f，a，b，n)% f表示乘法函数。% a，b表示上限和下限积分。% n是子间隔数。h=(B- a)/n；s=0；For k=1 : (n-1)x=a h * k；S=s feval(f，x)；EndForm

7、at longS=h * (f，a) f eval (f，b)/2h * s；3.3复合辛普森求积公式的基本原理如果将宗地a，b等分，并在每个子区段采用辛普森公式(3.3)记忆(3.4)形式(3.4)是复合辛普森求积公式。3.4复合辛普森求积公式的Matlab实现Function s=simpr1(f，a，b，n)% f表示乘法函数。% a，b表示上限和下限积分。% n是子间隔数。h=(B- a)/(2 * n)；S1=0；S2=0；For k=1 : nx=a h *(2 * k-1)；S1=S1 feval(f，x)；EndFor k=1 : (n-1)x=a h * 2 * k；S2=S

8、2 feval(f，x)；EndS=h * (f，a) f eval (f，b)4 * S12 * S2)/3；4 longberg求积公式及其Matlab实现4.1 longberg算法的基本原理梯形传递法将积分区间等分时、复合梯形公式计算的结果作为积分的近似值，误差近似值如下(4.1)用这个误差作为一种补偿，很快(4.2)作为积分的近似值，预计其精度会提高。根据复杂的求积公式，不难直接验证(4.3)这展示了如何在分割前后重复梯形公式的值两次(4.4)线性组合与复合辛普森公式的值完全一致，更接近近似。同样地(4.5)作为线性组合使用，可以获得更精确的值，并且可以通过直接验证来使用(4.6)财

9、源(4.7)通过线性组合和，可以获得更精确的值。一般记录如下(4.8)这个式子(4.8)叫做longberg求积公式。利用上述几个积分近似估计更精确的积分近似的方法称为外推。我们将序列分别是梯形序列、辛普森序列、科特序列、朗伯序列。以龙伯格顺序求积的算法称为朗伯算法。具体步骤如下。第一步：根据公式计算聚集的值(4.9)找到；找到。第二步：根据地块a，b除以一半计算出的值(4.3)和(4.9)表达式，和；第三步：再次将地块分成两半，计算值，然后基于(4.3)和(4.9)进行计算，最后使用公式(4.4)进行计算。步骤4:再次将宗地除以一半进行计算，然后根据公式进行计算(4.5)。步骤5:与上述流程

10、计算一样，将间隔除以一半。在龙堡顺序中，重复上述步骤，直到前后两个项目的绝对值差异不超过给定的错误风险。4.2 longberg算法的Matlab实现Function r，quad，err，h=rom ber (f，a，b，n，delta)% f表示乘法函数。% a，b表示上限和下限积分。% n是子间隔数% delta是错误限制m=1；h=B- a；Err=1j=0；R=zeros(4，4)；R (1，1)=h * (f，a) f eval (f，b)/2while(err delta)(J n)|(J 4)J=J 1；h=h/2；s=0；For p=1 : Mx=a h *(2 * p-1)

11、；S=s feval(f，x)；EndR(J 1，1)=R(J，1)/2h * s；M=2 * MFor K=1 : JR (j 1，k 1)=r (j 1，k) (r (j 1，k)-r (j，k)/(4k-1)；EndErr=abs(R(J，J)-R(J 1，K 1)；End四元菜单=r (j 1，j 1)；5高斯-勒让德求积公式及其Matlab实现5.1高斯-勒让德求积公式的基本原理高斯求积公式(5.1)如果在中使用加权函数=1，间距-1，1，则得到公式(5.2)Legendre多项式是间距-1，1的正交多项式，因此Legendre多项式的零点称为高斯公式(5.2)的高斯，Gaussia

12、n-Legendre求积公式(例如(5.1)。下表5.1显示了高斯-Legendre求积公式的节点数和系数。5.2高斯-勒让德求积公式的Matlab实现Function quad=高斯8 (f，a，b，x，a)n=length(x)；T=zeros(1，N)；t=(a b)/2(B- a)/2)* x；Quad=(b-a)/2) * sum (a. * f eval (f，t)；表5.1高斯-勒让德求积公式的节点数和系数nn00.0000002.00000030.8611630.33998100.34785480.652145210.57735031.00000040.90619780.538

13、46930.0000000.236990.47862870.568888920.77459670.0000000.5555560.88888950.93246950.6620940.23861920.1732450.3676160.4679139六角求积公式的应用实例及比较分析6.1简单数值积分的解决方案(精确值0.946083070367183)6.1.1牛顿-柯特n=1时梯形算法和n=2时辛普森算法的结果解决方案：首先使用m文档定义f1.m函数Function f=f1(i，x)g(1)=sqrt(x)；If x=0g(2)=1；Elseg(2)=sin(x)/x；Endf=g(I)；输入Ncotes(0，1，1，2)回车；回车。Ans=0.9270输入Ncotes(0，1，2，2)回车：Ans=0.94616.1.2复合梯形公式和复合辛普森积