期中期末试题_第1-2章答案

1、2012-2013学年1.（6分）设，求.解：，2分，2分=.2分2. (12分)(12分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：记=抽到第i地区考生的报名表,i=1,2,3.=第j次抽到的报名表是男生的,j=1,2.2分2分又因为2分2分2分2分3、(10分)甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.

2、2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。求目标被击落的概率。解：设A表示“目标被击落”，依次表示“甲、乙、丙击中目标”，表示“有i个人击中目标”，i=1，2，3。则有题设有：2分同理 2分2分由全概率公式得： 2分2分解2分知3分1分5、(4分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的号码后放回设X表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X服从什么分布（指出其参数）.答：(4分)b(5,0.5). 仅说明分布，没有写出参数2分7、(14分)设随机变量X服从标准正态分布(已知)。(1) 写出X的概率密

3、度；(2) 随机变量，求Y的概率密度；(3) 随机变量, 求Z的分布律.解：(1) , 2分(2) 1分2分3分(3)2分2012-2013学年某些标准正态分布的数值其中是标准正态分布的分布函数一（本题满分5分） 口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球求最小号码是5的概率 解： 设“取出4个球，最小号码是5” 10个球取出4个球，有取法种.2分 若最小号码是5，有取法种，因此 .3分二（本题满分5分） 一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率 解： 设“5位同学至少有两位的生日在同一月份” 5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有种可能.2分

4、考虑的逆事件，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的则 .3分三（本题满分8分）， 已知男人中的是色盲患者，女人中色盲患者占，今从男女比例为的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解： 设“任选一人为男性”，“任选一人是色盲患者” 所求概率为由Bayes公式，得 .3分 .5分四（本题满分8分） 在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是，和，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的求在一小时内 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） 至多只有一台机床需要维修的概率（4分） 解： 设，则1 .2分 .2分2 .2分 .2分五（本题满分8分） 试确定常数

5、，的值，使得函数为一连续型随机变量的分布函数 解： 因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此函数在分段点及处连续，所以有 ，即有.2分 ，即有.2分 又分布函数必须满足：，因而有 ，.2分由此得方程组 ，解此方程组，得 .2分六（本题满分8分） 某地区成年男子的体重（以计）服从正态分布若已知， 求与的值； 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过的概率 解： 由已知， .2分得 即 ，查正态分布表，得 ，解方程组，得，.2分 设“从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过”则 .2分 设：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过的人数则 设“5人中至少有两人的体重超过则 （已

6、知，）.2分十二（本题满分8分） 一家有间客房的旅馆的每间客房装有一台（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为求需要多少电力，才能有的可能性保证有足够的电力使用空调机 解： 设：该旅馆开房数目，则.2分 ：向该旅馆供应的电力则若电力足够使用空调机，当且仅当因此 由题设，.3分查表，得 ，.1分所以有 即至少向该旅馆供电千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用.2分2011-2012学年一（本题满分8分） 在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率 解： 设“任取一个家庭拥有汽车”，“任取一个家庭

7、拥有房产”由题设得 ，因此有 ； 所求概率为 二（本题满分8分） 假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解： 设， 由题设，可知如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布因此，由Bayes公式，我们有 三（本题满分8分） 某人

8、住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间（单位：分钟）服从的指数分布，如果他候车时间超过分钟，他就改为步行上班求他一周天上班时间中至少有天需要步行的概率 解： 的密度函数为 设“候车时间超过5分钟”，则 设：一周5天中他需要步行上班的天数则，因此所求概率为 四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 求常数； 求的分布函数 解： 由密度函数的性质，得 ，解方程，得 当时，； 当时，； 当时， 综上所述，随机变量的分布函数为八（本题满分8分） 某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为医院检验员任意抽查个服用此药品的病人，如果其中多于人治愈，就接受这一断言；否则就

9、拒绝这一断言试用中心极限定理计算， 如果实际上对这种疾病的治愈率确为，问拒绝这一断言的概率是多少？ 如果实际上对这种疾病的治愈率为，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布的分布函数的某些数值： 解： 设：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则 当时， 当时， 十二（本题满分10分） 三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止求： 抛掷硬币次数的分布律；（5分） 进行了3次还没确定付账人的概率（5分） 解： 的取值为并且 ， 即随机变量服从

10、参数的几何分布3 2011-2012学年一.（满分6分）已知，求,.解： 2分2分2分四(满分10分)某传染病的发病率为3% , 为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患有此病的人被检出阳性，但也会有0.5%未患此病的人被检出阳性。 求：(1)某人被此法检出阳性的概率；(2) 若某人已用此检验法检出阳性，实际上此人并未患这种传染病的概率。解：设事件某人被此法检出阳性，此人确实患有这种传染病。则 3分（1）由全概率公式 3分（2）由贝叶斯公式得所求概率为. 4分2010-2011学年一（本题满分8分） 一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出

11、生所在的年份）的概率 解： 设“6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”所求概率为.1分考虑事件的逆事件： “6位同学的生日各在不同的月份”.1分 .2分 .2分 .2分二（本题满分8分） 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是，和如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为、，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解： 设“朋友来访迟到”， “朋友乘火车来访”， “朋友乘轮船来访”， “朋友乘汽车来访”， “朋友乘飞机来访”.1分所求概率为，由Bayes公式得 .1分 .2分 .2分 .2分三（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为试求随机变量的分布函数

12、解： 当时， ； .1分 当时， ；.2分 当时， ；.2分 当时， .2分 因此，随机变量的分布函数为 .1分四（本题满分8分） 试决定常数，使得，为某一离散型随机变量的分布列，其中为参数 解： 若使，是某一随机变量的分布列，当且仅当，而且， .2分因此有 ，.4分所以有 .2分五（本题满分8分） 设与分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数试求一元二次方程有两个不相等的实数根的概率 解： 一元二次方程有两个不相等的实数根的充分必要条件是，或者.2分又的联合分布列为，.2分所以，一元二次方程有两个不相等的实数根的充分必要条件是的取值应为下列情形之一：，.2分 .2分六（本题满分8分） 设随机

13、变量服从区间上的均匀分布，试求随机变量的密度函数 解： 随机变量的密度函数为 .1分 设的分布函数为，则有 .1分 当时，； 当时，； 当时，.1分 综上所述，得随机变量的分布函数为 .1分因此，随机变量的密度函数为 .1分 当时，于是有，因此有； 当时，于是有，因此有.2分 因此，随机变量的密度函数为 .1分七（本题满分8分） 试解释“在大量独立重复试验中，小概率事件几乎必然发生”的确切意思 解： 设是一随机事件，其概率.1分 现独立重复做试验，则在次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为.2分令，则有.2分这表明，只要试验次数充分大，不管随机事件的概率多么小，随机事件在次独立重复试验中至

14、少发生一次的概率与1可以任意接近，即随机事件在次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的.3分十一（本题满分10分） 设，证明：随机事件与相互独立的充分必要条件是 证明： 必要性： 设随机事件与相互独立，所以随机事件与也相互独立因此有， ，.3分因此有 .2分 充分性： 由于 ，所以有 因此有 .3分由，得，因此有 整理，得 即得 这表明随机事件与相互独立.2分2010-2011学年一（本题满分8分） 在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率 解： 设“方程有两个实根”，所求概率为 设所取的两个数分别为与，则有， 因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应2分 随机事件与二维平面点集

15、，即与点集2分中的点一一对应 所以， 4分二（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有是质量问题；有是数量短缺问题；有是产品包装问题又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解： 设“事件属于质量问题”，“事件属于数量短缺问题”， “事件属于产品包装问题” “事件经过协商解决”所求概率为2分 由Bayes公式，得 2分 2分所以，2分三（本题满分8分） 设随机事件满足：证明：对任意随机事件，有 解： 因为，

16、所以，2分 所以，对任意的随机事件，由，以及概率的单调性及非负性，有 ，因此有2分 所以，对任意的随机事件，由，以及与的互不相容性，得 4分五（本题满分8分） 经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为某餐厅有个座位，但预定给了位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解： 设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则1分 则所求概率为2分 2分 3分七（本题满分10分） 设随机变量，求随机变量的密度函数 解： 由题意，随机变量的密度函数为，1分 设随机变量的分布函数为，则有 ，2分 所以，当时，；1分 当时， 2分 因此有 ，2分 所以，随机变量的密度函数为 2分2010-

17、2011学年,.一、（6分）设，则？；二、（12分）甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6，如果三人都击中，则目标一定被击落，求目标被击落的概率。解：设A表示“目标被击落”，依次表示“甲、乙、丙击中目标”，表示“有i个人击中目标”，i=1，2，3。则有题设有： 同理 由全概率公式得： +2 +10三、(12分)在电报通讯中，发射端发送“点”与“划”两种信号分别占60%与40%。由于随机干扰，接受端可能收到“点”，“划”与“不清”三种结果。假定发射“点”时，收到

18、“点”“划”与“不清”的概率依次是0.7, 0.1 与0.2；而发射“划”时，收到上述三种结果的概率相应为0, 0.9 与0.1。（1）求接收端收到“点”的概率；（2）若已知接受结果为“不清”时，求发射端发出的信号为“点”的概率。解：假设 A=接收端收到“点”, =发射端发送“点”，=发射端发送“划”(1) 由全概率公式，可得 .2分 由题意可知， .2分 将这些代入上面的全概率公式知所求的概率为 .2分 (2) 假设C=接受结果为“不清”,则由Bayes公式可得所求概率 .3分 3分四、(6分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的

19、号码后放回。设X表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X服从什么分布（指出其参数）？；6分五、（10分）设随机变量X服从标准正态分布。（1）写出X的概率密度；（2）随机变量, 求Z的分布律。 (1) ， 2分 (2) 8分六、（12分）设随机变量X的分布函数。（1）写出X的密度函数；（2）求 的密度函数。解：（1）X的密度函数为 .（2分）（2）解一： 的可取值范围是 由 得 故 在 上严格单减 .（2分）其反函数 ，且 .（4分） 所以 的密度函数 .（4分）解二：先求 的分布函数当时， ；当时， .（4分） .（2分） 因此， 的密度函数 .（4分）20092010学年一（本题满分8分） 某

20、城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率 解： 设事件，所求概率为.2分 .6分二（本题满分8分） 设随机事件，满足：，求随机事件，都不发生的概率 解： 由于，所以由概率的非负性以及题设，得，因此有.2分 所求概率为注意到，因此有.2分 .2分 .2分三（本题满分8分） 某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率 解： .2分 .2分 .4分四（本题满分8分） 某种型号的电子元件的使用寿命（单位：小时）具有以下的密度函数： 求某只电子元件的使用寿命大于1500

21、小时的概率（4分）； 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分） 解： 设，则 .4分 设，则所求概率为 .2分而 ，所以， .2分六（本题满分8分） 设在时间（分钟）内，通过某路口的汽车数服从参数为的Poisson（泊松）分布，其中为常数已知在1分钟内没有汽车通过的概率为，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率解： 的分布列为，.2分因此在分钟内，通过的汽车数为 ，由题设，所以.3分因此，.3分20092010学年一.（满分6分）已知，求。解： 由概率加法公式 由概率乘法公式 -3分 -3分二. （满分8分）根据以往的考试结果分析，努力学习的学

22、生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 解：设， 由题设，有 ，；，要求的概率为和由Bayes公式，有 -4分 -4分2008-2009学年一(满分6分)设A,B,C是三事件，且,求A,B,C至少有一个发生的概率。解：由，故二(满分8分)有外形相同的球，分装在三个盒子，每盒8个，其中第一个盒子中有5个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各4个；第三个盒子中则有红球6个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一

23、个盒子中取一球，若取得有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球，若在第一个盒子中取得字母是B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取得的是红球，则说试验成功。求试验成功的概率。解：设A1=从第一个盒子中取得标有字母A的球 A2=从第一个盒子中取得标有字母B的球B=第二次取得的是红球则三. (满分8分)设随机变量的概率密度为试求函数的概率密度。解：因为的分布函数为当时，；当时，故的概率密度为2008-2009学年一.（满分6分）已知，在下列情况下，分别求概率和。（1）A与B互斥；（2）A与B独立。解：（1）= -3分（2）= -3分二. （满分8分）某人衣袋中有两枚硬币,一枚是均匀的，另一枚两

24、面都是正面。(1)他随机取出一枚抛出，结果出现正面，求该枚硬币是均匀的概率;(2)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，求该枚硬币是均匀的概率。解:设B=取出的硬币是均匀的，Ai=第i次抛出的结果是正面，i=1，2 -2分则有：（1） -3分（2） -3分2007-2008学年一.（满分6分）已知，求。解： 因为所以2分.2分2分二. （满分8分）城乡超市销售一批照相机共10台,其中有3台次品,其余均为正品,某顾客去选购时,超市已售出2台,该顾客从剩下的8台中任意选购一台,求(1)该顾客购到正品的概率;(2)若已知顾客购到的是正品,则已售出的两台都是次品的概率是多少?解:设B=顾客买到的是正品

25、，Ai=售出的两台中有i台次品,则有：，且3分（1）由全概公式得.3分（2）由贝叶斯公式得1分三. （满分8分） 设随机变量服从0，4上的均匀分布，求随机变量的分布函数和概率密度。解：X的概率密度.2分当y2时，;2分2分故Y的分布函数1分Y的概率密度.1分2005-2006学年一、本题满分30分，每小题5分1 设事件A 、B 相互独立，且,计算概率，.解： （1分） （1分）= 0.8 （1分） （2分）2 设随机变量X的分布率为 试写出X的分布函数，并计算 解： （3分） = 3/15 =1/5（2分）4. 设随机变量的密度函数为，且概率求常数a,b的值。解：， （1分） （1分）， （1

26、分）a = 3/4, b = 3/4. （2分）二、本题满分40分，每小题8分7甲、乙两人独立地向某一目标进行射击，他们击中目标的概率分别为0.5，0.8。目标被一人击中而摧毁的概率为0.4，被两人击中而摧毁的概率为0.7.求目标被摧毁的概率. 解：A =目标被摧毁, = 目标被击中i 次，i=0,1,2, （1分） 由全概公式 （3分） （3分） （1分）8设随机变量XN(-1，1)，现在对X 进行4次独立观测，试求4次观测值都大于0的概率.解：, （4分） 设Y表示4次独立观测时观测值大于0的次数，则Yb(4,0.1587) （2分）所求概率为 . （2分）9保险公司售出某种寿险（一年）保

27、单1000份.每单交保费120元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得1万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为0.006，求（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利不少于6万元的概率.（试用中心极限定理计算）（已知）解：设X表示一年内死亡的人数，则Xb(1000,0.006） （1分） P保险公司亏本=P120000-10000X1。解：二、本题满分40分，每小题8分7一袋中有4个编号分别为1，2，3，4，的乒乓球，从中任意地取出两个，以X表示取出的两个球中的最大号码，写出X的分布率和X的分布函数。解: X=2,3,4. X2341/62/63/68某单位的仓库里有来自三个厂家提

28、供的的同一种原材料，它们外形没有区别。甲厂的一级品率为0.95, 乙厂的一级品率为0.98，丙厂的一级品率为0.90。甲、乙、丙三厂的该原材料所占比例为2：2：1。（1）在仓库里随机地取一件该原材料，求它是一级品的概率。（2）在仓库里随机地取一件该原材料，若已知它是一级品，求它是来自甲厂的概率。解: .由全概率公式和贝叶斯公式有=0.4*0.95+0.4*0.98+0.2*0.9=0.952.2003-2004学年一（本题满分56分，共有8道小题，每道小题7分） 1根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： 考试及格的学生中有