角平分线的性质第二课时

1、1.4角平分线的性质,2015.3.16,1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定定理: 在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,3.性质定理和逆定理的关系 点在角平分线上 点到角两边的距离相等,回顾：,放开手脚 做一做,剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流,用心想一想，马到功成,证明：三角形三条角平分线相交于一点,已知：如图，设ABC的角平分线

2、BM、CN相交于点P， 求证：P点在BAC的角平分线上,证明：过P点作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足 BM是ABC的角平分线,点P在BM上 PD=PE 同理：PE=PFPD=PF 点P在BAC的平分线上 ABC的三条角平分线相交于点P,定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等,三角形角平分线的性质定理,比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理,例1如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD,用心想一想，马到功成,(1)解：AD是AB

3、C的角平分线，C=90，DEAB DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等边对等角) C=90，B= 90=45 BDE=9045=45 BE=DE(等角对等边) 在等腰直角三角形BDE中 (勾股定理)， AC=BC=CD+BD=(4+ )cm,例1如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD,用心想一想，马到功成,(2)证明：由(1)的求解过程可知， RtACDRtAED(HL) AC=AE BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD,如图1-29， 已知EFCD，EFAB，

4、MNAC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM分别为ACD和CAB的平分线呢？,图1-29, MECD， MNCA，,同理可得AM是CAB的平分线.,可以添加条件MN =ME （或MN =MF）., M在ACD的平分线上， 即CM是ACD的平分线.,图1-29, PE=PF.,在EBP中，BE+PEPB，, BE+PFPB.,图1-30,举例,三.尺规作图角平分线的作法,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC 作法:,用尺规作角的平分线.,1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB于点E、D,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为 半径作弧,两弧

5、在AOB内交于点C,3.作射线OC.,则射线OC就是AOB的平分线.,如图1-31，你能在ABC 中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？,图1-31,图1-32,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,（这个交点叫做三角形的内心）,如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA 于点C，EDOB 于点D. 求证：（1）ECD=EDC； （2）OC=OD.,2. 如图，在ABC 中，ADDE，BEDE，AC，BC 分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.,M,证明 作CMAB于点M., AC，BC 分别平分BAD，ABE， CD = CM，C

6、E = CM.,在RtACD和RtACM中， CM = CD，AC = AC，, RtACD RtACM. AD = AM. .,同理， BE = BM. 又 AB=AM+BM，AB=AD+BE,挑战自我,基本应用,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),12,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,试题分析：使PC=PD，即作CD的中垂线，并且P到AOB两边的距离相等，即作角平分线，两线的交点就是点P的位置如图所示：,.已知:如图,C=900, B=300, AD是RtABC的角平分线. 求证:BD=2CD.,小结：,1.定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,2.逆定理 ：