特征函数课件

1、第四章 特征函数,4.1 一维特征函数的定义及其性质,4.2 多维随机变量的特征函数,4.3 母函数,1,学习交流PPT,4.1 一维特征函数的定义及其性质,一、定义及例,二、性质,三、特征函数与矩的关系,四、反演公式及惟一性定理,2,学习交流PPT,随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征， 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具， 既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。,欧拉公式,3,学习交流PPT,2. 复随机变量的数学期望,若复随机变量为,其中X, Y 均为实随机变量, 则Z 的数学期望定义为,4,学习交流PPT,一、定义及例,的分布函数为

2、, 称 的数学期望 为X 的特征函数.,有时也称为分布函数 的特征函数, 其中,记X 的特征函数为 , 在不会引起混乱的情况下简写为,1. 特征函数的定义,5,学习交流PPT,一、定义及例,的分布函数为 , 称 的数学期望 为X 的特征函数.,有时也称为分布函数 的特征函数, 其中,记X 的特征函数为 , 在不会引起混乱的情况下简写为,1. 特征函数的定义,6,学习交流PPT,3. 特征函数的计算,(1) 离散型,(2) 连续型,X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是 由X构造出来的复值随机变量的期望。,7,学习交流PPT,例4.1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即,求X 的特征函数

3、.,8,学习交流PPT,例4.1.2 设随机变量X 服从参数为p 的0-1分布(两点分布), 求其特征函数.,9,学习交流PPT,例4.1.3 设随机变量X 服从参数为n, p 的二项分布, 求其特征函数.,10,学习交流PPT,例4.1.4 设随机变量X 服从参数为 的泊松分布, 求其特征函数.,11,学习交流PPT,例4.1.5 设随机变量X 服从 的均匀分布, 求其特征函数.,当t=0时，,12,学习交流PPT,例4.1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特征函数.,13,学习交流PPT,二、特征函数的性质,性质4.1.1 随机变量X 的特征函数满足:,性质4.1.2 设X

4、 的特征函数为 , 则 的特征函数为,14,学习交流PPT,性质4.1.3 随机变量X 的特征函数 在R上一致连续.,15,学习交流PPT,性质4.1.4 随机变量X 的特征函数 是非负定的,即对任意正,整数n, 任意复数 , 以及 有,16,学习交流PPT,波赫纳-辛钦定理 若函数 连续,非负定且 ,则 必为特征函数.,17,学习交流PPT,三、特征函数与矩的关系,定理4.1.1 设随机变量X 的n 阶矩存在, 则X 的特征函数 的k,阶导数 存在, 且,18,学习交流PPT,四、反演公式及唯一性定理,定理4.1.2(反演公式) 设随机变量X 的分岂有此理函数和特征函,数分别为 和 , 则对

5、于 的任意连续点 和 ,有,若记,(4.1.8),则(4.1.8)等价于,19,学习交流PPT,四、反演公式及唯一性定理,(4.1.8),连续点:,不连续点:,反演公式,20,学习交流PPT,推论1(惟一性定理) 分布函数 及 恒等的充分必要条,件为它们的特征函数 及 恒等.,21,学习交流PPT,推论2 设随机变量X 的特征函数 于R 上绝对可积, 则X 为具有密度函数 的连续型随机变量, 且,22,学习交流PPT,例 设随机变量X 的特征函数,求随机变量X 的密度函数.,23,学习交流PPT,定理4.1.3 设X 为取整数值及0的随机变量, 其概率函数为,其特征函数为,则,24,学习交流P

6、PT,例 设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为,求随机变量X 的分布律.,25,学习交流PPT,4.2 多维随机变量的特征函数,一、定义及例,二、二维随机变量特征函数的性质,三、相互独立随机变量和的特征函数,26,学习交流PPT,一、定义及例,定义4.2.1 设(X, Y) 是一个二维随机变量, 其分布函数为,为任意实数, 记,称 为 的特征函数.,连续型:,27,学习交流PPT,一、定义及例,定义4.2.1 设(X, Y) 是一个二维随机变量, 其分布函数为,为任意实数, 记,称 为 的特征函数.,离散型:,其中,28,学习交流PPT,例4.2.1 设二维随机变量 的分布列

7、为,求二维随机变量的特征函数,29,学习交流PPT,例4.2.2 设二维随机变量,求二维随机变量的特征函数,30,学习交流PPT,n 维随机变量的特征函数:,定义 设有n 维随机变量,则称,为n 维随机变量 的特征函数.,31,学习交流PPT,二、二维随机变量特征函数的性质,性质4.2.1设随机变量的特征函数为 ，则有,(1) 且对任意,(2),(3) 于实平面上一致连续；,(4),其中 分别为 及 的特征函数,32,学习交流PPT,性质4.2.2 设 皆为常数, 为二维随机变量, 则,随机变量 的特征函数为,33,学习交流PPT,例4.2.4 设二维随机变量,求二维随机变量的特征函数,34,

8、学习交流PPT,性质4.2.3 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等.,35,学习交流PPT,性质4.2.4 设随机变量 的特征函数为 为任,意常数, 则 的特征函数为,36,学习交流PPT,例4.2.5 设二维随机变量,求 分布.,37,学习交流PPT,定理4.2.1 随机变量 服从二维正态分布的充分必要条件是X 与Y 的任一线性组合,服从一维正态分布. 其中a , b , c 为任意常数, 且a , b 不全为0.,38,学习交流PPT,定理4.2.2 设 为二维随机变量, 存在, 则其特征函,数 的偏导数 存在, 且,39,学习交流PPT,例4.2.6 设二维随机变量,求 分布.,40,学习交流PPT,三、相互独立随机变量的特征函数,定理4.2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为,的特征函数,41,学习交流PPT,则Y 的特征函数为,推论 设 为 n 个相互独立的随机变量, 令,42,学习交流PPT,例4.2.7 设 为n 个相互独立且均服从参数