数值分析5-2(高斯消去法)课件

1、,一、高斯消去法,第五章 解线性方程组的直接法 2 高斯消去法,二、矩阵的三角分解,三、高斯消去法的计算量,四、高斯约当消去法,1,PPT学习交流,一、高斯消去法,1. 高斯消去法的基本思想,举例,用消去法解方程组,（求解过程详见书，请同学们自学）,基本思想：用逐次消去未知数的方法把原来方程组AX=b化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了！,2,PPT学习交流,2. 高斯消去法的一般过程,记 Ax = b 为 A(1)x = b(1)，,(1) 消元过程,第一次消元,3,PPT学习交流,(记 为 A(2)x = b(2),第n-1次消元,(记 为 A(n)x = b(n),4,

2、PPT学习交流,(2) 回代过程,高斯消去法的特点：消元和回代不同步！,5,PPT学习交流,3. 使用高斯消去法的条件,使用高斯消去法要求在每步消元时 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？,6,PPT学习交流,引理：约化的主元素 (i=1,2,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式,推论：如果A的顺序主子式不等于0，则,(k=2,3,n),7,PPT学习交流,定理：如果 n 阶矩阵A的所有顺序主子式均 不为零，则可通过高斯消去法（不进行交 换两行的初等变换），将方程组约化为三 角形方程组。,定理：如果A为 n 阶非奇异矩阵，则可通过高斯消去法（及交换两行的初等变换）将方程组 Ax=b

3、化为三角形方程组。,8,PPT学习交流,二、矩阵的三角分解,由矩阵理论可知，对系数矩阵 A 实施行的初 等变换相当于用初等矩阵左乘 A ，即,等价于,其中,初等 矩阵,9,PPT学习交流,例,则,其中,10,PPT学习交流,考察高斯消去法过程 ：,等价于,其中,11,PPT学习交流,消元时的系数,12,PPT学习交流,而且,13,PPT学习交流,重复这一过程，共进行 次消元，得,1,将上三角矩阵 A(n) 记为 U，则有,其中,Gauss消去法将A分解为两个三角矩阵相乘,14,PPT学习交流,定理: (矩阵的LU分解),设 A 为 n 阶矩阵，如果 A 的顺序主子式 ( i = 1,2,n-1

4、)， 则 A 可分解为一个单位下 三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，且 这种分解是唯一的。,注：若A 实现了LU分解，则,Ax = b,(LU)x=b,Ly = b Ux = y,求解两个三角形方程组!,15,PPT学习交流,举例：用系数矩阵的LU分解求下列方程组,解：,系数矩阵为,由高斯消去法， m21=0，m31=2 m32=1，故,16,PPT学习交流,则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组：,17,PPT学习交流,三、高斯消去法的计算量,定理：如果 A 为 n 阶非奇异矩阵，则用高斯 消去法解 Ax = b 所需的乘除法次数及加减法 次数分别为,例如：n=10时，高斯消

5、去法需要430次乘除法，而Cramer法则却需要39916800次乘法。,18,PPT学习交流,四、高斯约当消去法(Gauss-Jordan),高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。,19,PPT学习交流,第一次消元,(与高斯消去法不相同),第二次消元,20,PPT学习交流,21,PPT学习交流,故方程组的解为,高斯约当消去法的特点：,(1) 消元和回代同时进行；,(2) 乘除法的次数要比高斯消去法大，所以通常用于同时求解系数矩阵相同的多个方程组或求逆矩阵。,22,PPT学习交流,高斯-约当消去法的应用,1.同时求解系数矩阵相同的多个

6、方程组,例 用高斯-约当消去法求解两个方程组 AX=b1 和AX=b2 ，其中,23,PPT学习交流,解 增广矩阵为,消元,24,PPT学习交流,3/4,消元,25,PPT学习交流,于是求得方程组Ax=b1的解,方程组AX=b2的解,26,PPT学习交流,基本原理：设有系数矩阵都为A的m个方程组,将b1, b2, , bs依次排在A的第n+1, n+2, , n+m列，作一个n行n+m列的增广矩阵，那么可用高斯-约当消去法的同时求解m个方程组.,27,PPT学习交流,2.求解矩阵的逆,基本原理：,设A为n阶非奇异矩阵，I为单位矩阵。由线性代数的知识，若对n2n矩阵A, I作初等行变换，把A化为I，则原先的I就化成了A-1。,28,PPT学习交流,所以在计算机上用高斯-约当消去法计算即可。即,由关系式 AA-1 = I,得,其中x(s)为A-1的第s列，es为I的第s列(s=1, 2, , n)。,在计算机上用高斯-约当消去法求A-1就相当于同时求解n个线性方程组。,29,PPT学习