2013版高中数学 （主干知识典例精析）34正弦型函数yAsin（x）课件 理 新人教B版

1、第四节 正弦型函数y=Asin(x+),三年12考 高考指数: 1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义，能画出函数y=Asin(x+)的图象，了解参数A、对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.,1.图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点. 2.结合三角恒等变换考查y=Asin(x+)的性质及简单应用是考查的热点.,1.用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为: (1)定

2、点：先确定五点.即令x+分别等于0, , 2， 得对应的五点为 _, _，_,_, _.,(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象. (3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+)在R上的图象.,【即时应用】 (1)思考：三角函数y=Asin(x+)(A0,0,|)图象的 特点是什么？ 提示：函数y=Asin(x+)在R上的最大值为A，最小值为-A， 也就是图象的最高点与最低点的纵坐标.周期为 在一个周 期上必有一个最大值与一个最小值.,(2)用五点法作函数y=sin(x- )在一个周期内的图象时，主要确定的五个点

3、是_、_、_、_、 _.,【解析】分别令x- =0, , 2, 可求出x的值分别为 又因为A=1, 所以需要确定的五个点为：( 0),( 1),( 0), ( -1),( 0). 答案：( 0),( 1),( 0),( -1),( 0).,2.三角函数图象的变化规律(其中A0，0) (1)先平移后伸缩 y=sinx的图象 y=sin(x+)的图象 y=sin(x+)的图象 y=Asin(x+)的图象 y=Asin(x+)+k的图象,A,(2)先伸缩后平移 y=sinx的图象 y=Asinx的图象 y=Asinx的图象 y=Asin(x+)的图象 y=Asin(x+)+k的图象,A,【即时应用】

4、 (1)ysin(x )的图象是由ysinx的图象向_平移 _个单位得到的. (2)ysin(x )的图象是由ysinx的图象向_平移 _个单位得到的. (3)ysin(x )的图象是由ysin(x )的图象向_ 平移_个单位得到的. (4)y=sin(2x+ )的图象是由y=sin2x的图象向_平移 _个单位得到的.,【解析】(1)(2)(3)根据图象变化规律易求. (4)y=sin(2x+ )=sin2(x+ ), 将y=sin2x的图象向左平移 个单位长度就得到y=sin(2x+ )的图象. 答案：(1)左 (2)右 (3)右 (4)左,3.函数y=Asin(x+)的物理意义 在物理上，

5、当函数y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示简谐运动时，则各量的物理意义为,A,x+,【即时应用】 如图，它表示电流I=Asin(t+)(A0,0,| )在一个周期内的图象. 则(1)I=Asin(t+)的解析式：_，其频率f=_. (2)它的相位为_，初相为_.,【解析】由图象知A= 所以 由 +=2k+得=2k+ (kZ), | = 所以I= sin( t+ )，T= 即f= 答案：(1)I= sin( t+ ) (2),函数y=Asin(x+)(A0,0)的 图象及其图象变换 【方法点睛】 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的作法 (1)五点法:用“五点法”作y=Asi

6、n(x+)(A0,0)的简 图，主要是通过变量代换，设z=x+，由z取0， ， 2 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.,(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同.,【例1】画出函数y3sin(2x )，xR的简图. 【解题指南】作函数y3sin(2x )的图象可用五点作图或图象变换法. 【规范解答】方法一：五点法 由T 得T，列表：,描点画图： 将所得图象按周期向两侧扩展可

7、得y=3sin(2x+ )在R上的图象.,方法二：图象变换法 将所得图象按周期向两侧扩展可得 在R上的图象.,【反思感悟】1.五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图象. 2.用图象变换法作图仅能作出简图.,【变式训练】试述如何由y= sin(2x+ )的图象得到y=sinx的图象. 【解析】方法一：y= sin(2x+ )的图象 y= sin(x+ )的图象 y= sinx的图象 y=sinx的图象,方法二： (1)先将y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位，得到y= sin2x的图象； (2)再

8、将y= sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y= sinx的图象； (3)再将y= sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx的图象.,由图象求解析式 【方法点睛】 确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m, 则 (2)求，确定函数的周期T，则可得 (3)求，常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，,b已知)或,代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上 还是在下降区间上). 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点 为突破口.具体如

9、下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x+=0;“第二 点”(即图象的“峰点”)时x+= “第三点”(即图象下 降时与x轴的交点)时x+=;“第四点”(即图象的“谷点”) 时x+= “第五点”时x+=2. 【提醒】在求时要注意已知中所给的的范围.,【例2】(1)如图是函数yAsin(x)2(A0,0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( ) (A)A3， (B)A1， (C)A1， (D)A1， ,(2)函数y=Asin(x+)(0,|)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为( ) (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin( - )

10、(D)y=2sin(2x- ),(3)如图是f(x)Asin(x)，A0，0, 的一段图象，则函数f(x)的解析式为_. 【解题指南】由图象确定三角函数yAsin(x)中的各值，首先确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求；最后根据所给的数据求.,【规范解答】(1)选C.由图象知， 所以T= 由 + +2k得= +2k,kZ， 当k=-1时，= (2)选A.由图象知A=2， T=,=2, 函数解析式为y=2sin(2x+), 又当x= 时，y=2, 即sin( +)=1,=,(3)由图象得A=2，当x=0时，sin 因为 所以 所以由题图可知 =，=3.所以y=2sin(3x+ ). 答案

11、：y=2sin(3x+ ),【互动探究】把本例中(3)的图象改为如图，其他不变，如何求解？ 【解析】由图象知 所以T=16，则= 由6 +=+2k,kZ,| 得 所以函数的表达式为：y= sin( ).,【反思感悟】1振幅A与最值有关；与周期T有关；初相用待定系数法求解; 2利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重; 3要善于观察图象，抓住图象的特征.,【变式训练】函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| )的部分图象如图所示. (1)求，. (2)求函数的图象的对称轴和对称中心. 【解析】(1)由图象知A=1， T=,= =2, 由2 +=2k+ 得=2k+ (kZ),| = y=sin

12、(2x+ ). (2)由2x+ =k+ 得x= (kZ), 函数f(x)的对称轴为x= (kZ). 又由2x+ =k得x= (kZ), 故对称中心为( 0)(kZ).,三角函数性质的应用 【方法点睛】 函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 (1)奇偶性 =k(kZ)时，函数y=Asin(x+)为奇函数；=k+ (kZ)时，函数y=Asin(x+)为偶函数. (2)周期性 y=Asin(x+)存在周期性，其最小正周期为T=,(3)单调性 根据y=sint和t=x+的单调性来研究，由 +2kx+ +2k,kZ得单调增区间；由 +2kx+ +2k,kZ得单调减区间. (4)对称性 利用ysin

13、x的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令x+=k,(kZ)求得x. 利用y=sinx的对称轴为x=k+ (kZ)求解,令x+=k+ (kZ),得其对称轴.,【例3】(2012德州模拟)已知函数f(x)=Asin(x+) (A0,0,| )的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右 侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和 (x0+2,-2). (1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)若锐角满足cos= 求f(4)的值.,【解题指南】(1)根据已知条件，结合图象可求出A、，即可得出f(x)的解析式； (2)由cos= 及f(x)的解析式可求得f(4)的值. 【规范解答】(1)

14、由题意可得：A=2, =2,即 f(x)=2sin( x+),f(0)=2sin=1,由| 得= 所以f(x)=2sin( )， f(x0)=2sin( )=2， =2k+ x0=4k+ (kZ)，,又x0是满足2 sin( )=2的最小的正数， k=0时，x0= (2)f(4)=2sin(2+ )= sin2+cos2, (0, ),cos= sin= cos2=2cos2-1= sin2=2sincos= f(4)=,【互动探究】若本例条件不变，(1)求f(x)的单调增区间； (2)若x-,，求f(x)的值域. 【解析】(1)由 +2k x+ +2k,kZ得 +4kx +4k，所以f(x)

15、的单调递增区间为 +4k, +4k,kZ. (2)-x， x+ 所以 sin( x+ )1，所以 f(x)2，所以f(x)的 值域为 2.,【反思感悟】求三角函数y=Asin(x+)的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数y=sinx的性质为基础.另外在求解时要注意所给的范围和的取值.,【变式训练】求函数y=sinx+ cosx的周期、最大值和最小 值 【解析】因为y=sinx+ cosx=2( sinx+ cosx) =2sin(x+ ),所以，周期T= =2，最大值为2，最小值为 -2.,【变式备选】已知函数f(x)=Asin(x+),xR(其中A0,0,0

16、 )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 且图象上的一个最低点为M( ). (1)求f(x)的解析式； (2)当x 时，求f(x)的值域. 【解析】(1)由最低点为M( )，得A=2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为 得 即T=，= =2.,由点M( -2)在图象上，得2sin(2 +)=-2, 即sin( +)=-1, 故 +=2k- kZ, =2k- kZ. 又(0, ),= 故f(x)=2sin(2x+ ). (2)x ,2x+ . 当2x+ = 即x= 时，f(x)取得最大值2; 当2x+ = 即x= 时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为-1，2.,【易错误区】有

17、关三角函数性质的易错点 【典例】(2011天津高考)已知函数f(x)=2sin(x+),xR,其 中0,-.若f(x)的最小正周期为6,且当x= 时,f(x) 取得最大值,则( ) (A)f(x)在区间-2,0上是增函数 (B)f(x)在区间-3,-上是增函数 (C)f(x)在区间3,5上是减函数 (D)f(x)在区间4,6上是减函数,【规范解答】选A.由题意可得= = f(x) =2sin( ),当2k- +2k,即6k- x +6k,kZ时函数是增函数,所以f(x)在 -2,0上是增函数，故选A.,【解题指南】求出函数f(x)的解析式,再根据三角函数的性质判断.,【阅卷人点拨】通过高考中的

18、阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011安徽高考)已知函数f(x)=sin(2x+)，其中为实数，若f(x)|f( )|对xR恒成立，且f( )f()，则f(x)的单调递增区间是( ) (A)k- k+ (kZ) (B)k,k+ (kZ) (C)k+ k+ (kZ) (D)k- k(kZ),【解析】选C.由f(x)|f( )|对xR恒成立知，2 +=2k (kZ)，得到=2k+ 或=2k- (kZ)，代入f(x)并由f( )f()检验得，的取值为 2k- (kZ)，不妨取 所以2k- 2x- 2k+ 计算得单调递增区间是k+ k+ (kZ).,2.(2012济南模拟)已知函数f(x)= Asin(x+)(A0,0, )的部 分图象如图所示，则y=f(x)的图象可由函数 y=sinx的图象(纵坐标不变)变换如下( ) (A)先把各点的横坐标缩短到原来的 倍 ，再向右平移 个单位 (B)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位 (C)先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位 (D)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位,【解析】