概率论第六章习题解答(全)

1、概率论第六章习题解答概率论第六章习题解答 1、在总体 2 (52,6.3 )N中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值X落在 50.8 与 53.8 之 间的概率。 解 因为 2 (52,6.3 )N，所以 50.8525253.852 50.853.8 6.3366.3366.336 X PXP 10.87.2 ()() 6.36.3 (1.71)( 1.14) 0.9564 1 0.87290.8293 2、在总体(12,4)N中随机抽取一容量为 5 的样本 1 X， 2 X， 3 X， 4 X， 5 X， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。 （2）求概率 123

2、45 max(,)15PXXXXX， 12345 min(,)10PXXXXX 解（1）总体均值为12， ，样本均值 5 1 14 (12, ) 55 i i XXN 所求概率为 |12| 11|12| 1PXPX 1 1121PX 1121 1 4 54 54 5 X P 55 1()() 22 22 (1.12) 2(1 0.8686)0.2628 （2） 1234512345 max(,)151max(,)15PXXXXXPXXXXX 12345 115,15,15,15,15P XXXXX 5 1 115 i i P X 5 1 1215 12 1 22 i i X P 5 1 (1.

3、5) 5 1 (0.9332)0.2923 . （3） 12345 min(,)10PXXXXX 12345 1min(,)10PXXXXX 12345 110,10,10,10,10P XXXXX 5 1 110 i i P X 5 1 1(110) i i P X 5 1 1210 12 1(1) 22 i i X P 5 1 1(1( 1) i 5 1 1(1) i 5 1 (0.8413)1 042150.5285 3、求总体(20,3)N的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。 解设容量为 10 的样本均值为X，样本容量为 15 的样本均值为Y，

4、 则 3 (20,) 10 X ， 3 (20,) 15 Y ， 331 ()(0,)(0, ) 10152 XYNN | 0.31| 0.3PXYPXY 1 0.30.3PXY 0.30.3 1 111 222 XY P 1 0.32() 20.32PXY 1(0.32)( 0.32) 22 (0.32) 22 (0.42) 2(1 0.6628)2 0.33720.6744 4、（1） 设 126 ,XXX样本是来自总体(0,1)N， 22 123456 ()()YXXXXXX， 试确定常数 C，使CY服从 2 分布。 （2）设 125 ,XXX来自总体(0,1)N样本， 12 1 222

5、 2 345 () () C XX Y XXX ，试确定常数 C 使Y 服从t分布。 （3）已知( )Xt n，求 2 (1, )XFn 解（1）因为 126 ,XXX是来自总体(0,1)N的样本， 由 2 (,) iii XN 知 222 121212 ()(,) Nnn XXXN ） 故 123 (0,3)XXXN， 456 (0,3)XXXN， 且相互独立，因此 123 (0,1) 3 XXX N ， 456 (0,1) 3 XXX N 且两者相互独立，由 222 12 , n XXX是来自总体(0,1)N的样本，则统计量 22222 12 ( ) n XXXn 由 2 分布的定义知 2

6、2 2 123456 ()() (2) 33 XXXXXX 即 2(2) 3 Y ，所以 1 3 C 。 （2）因为设 125 ,XXX是来自总体(0,1)N的样本 12 (0,2)XXN， 即有 12 (0,1) 2 XX N ， 又有 2222 345 (3)XXX 且 12 2 XX ， 222 345 XXX相互独立，于是由t分布的定义知 12 12 2221 222 2 345 345 3 2 (3) 2 () 3 XX XX t XXX XXX 因此所求常数为 3 2 C 。 （3）因为( )Xt n，故X可写成 Z Y n 的形式， 其中(0,1)ZN， 2( ) Yn，且Z，Y

7、相互独立，按F分布的定义知 2 (1, )XFn。 5、 （1）已知某种能力测试的得分服从正态分布 2 ( ,)N ，随机地取 10 个人 参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这 10 个人得分的平均值小于的概率。 （2）在（1）中设62， 2 25，若得分超过 70 就能得奖，求至少有一人得奖 的概率。 解设 i X表示参加测试的i个人的得分（1,2,10i ） ，则 2 ( ,) i XN ， 2 2 () 2 1 ( ) 2 x X fxe ，0，x 由于 1210 ,XXX相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为 2 2 () 10 2 1210 1 1 ( ,) 2 i x X

8、i fx xxe 10 2 1 2 () 10 2 1 () 2 i i x e 又 10 1 1 10 i i XX ， 1010 11 11 ()()() 1010 ii ii E XEXE X 2 1010 2 11 11 ()()() 101010 ii ii D XDXD X 故 2 ( ,) 10 XN ，则 0(0)0.5 10 X P XP （2）因为(62,25) i XN，若一人得分超过 70 就能得奖，则一人得奖的概率为 70170 ii P XP X 627062 11(1.6)1 0.94520.0548 55 i X P 则 10 个人得奖可以看作是一个二项分布：(

9、10,0.0548)b，设 A 表示没有人得奖，则 0010 10 ( )(0.0548)(0.9452)0.5692P AC ( )1 0.56920.4308P A 即至少有一得奖的概率为 0.4308。 6、设总体(1, )Xbp， 12 , n XXX是来自总体的样本。 （1）求 12 (,) n XXX的分布律； （2）求 1 n i i X 的分布律； （3）求()E X，()D X， 2 ()E S 解（1）因为 12 , n XXX相互独立，且有(1, ) i Xbp，1,2,in， 即 i X具有分布律 1 (1) ii xx i P Xxpp ，0,1 i x ， 因此 1

10、2 (,) n XXX分布律为（各个样本的分布律的乘积） 1 1122 11 ,(1) ii nn xx nni ii P Xx XxXxP Xxpp 11 (1) nn ii ii xx n pp （2）因为 12 , n XXX相互独立，且有(1, ) i Xbp，故 1 ( , ) n i i Xb n p ， 其分布律为 1 (1) n kkn k in i PXkC pp 7、设总体 2( ) Xn， 1210 ,XXX是来自X的样本，求()E X，()D X， 2 ()D S。 解因为 2( ) Xn，所以 2 ()() i E XEn， 2 ()()2 i D XDn1,2,10

11、i 1010 11 11 ()()() 1010 ii ii E XEXE Xn 1010 2 11 112 ()()() 1010105 ii ii nn D XEXE X 1010 22 222 11 11 ()( (10)() 10 () 99 ii ii E SEXXE XE X 因为 222 ()()( ()2 iii E XD XE Xnn 2 22 ()()( () 5 n E XD XE Xn 所以 10 222 1 1 ()(2) 10() 95 i n E Snnn 22 1 (10(2) 10() 95 n nnn 1 182 9 nn 8、总体 2 ( ,)XN ， 1

12、210 ,XXX是来自X的样本， （1）写出 1210 ,XXX的联合分布密度； （2）写出X的概率密度。 解（1） 1210 ,XXX联合概率密度 2 2 () 10 2 1,210 1 1 (,) 2 x i f x xxe 10 22 1( )2 2 5 1 (2) i x e （2）因为()E X， 2 () 10 D X ， 所以 2 2 2 2 () 5() 2(10) 15 ( ) 210 x x X fxee 。 一般地 2 ( ,)XN ， 2 2 () 2() 1 ( ) 2 x n X fxe n 。 9、设在总体 2 ( ,)XN 中抽取一容量为 16 的样本，这里， 2 均为未知。 （1）求 2 2 2.041 S P ；其中 2 S为样本方差。 （2） 2 ()D S。 解（1）设 1216 ,XXX为总体的一个样本，则由教材 P143 定理二知 2 2 2 1 (1) 1 S n n 从而 22 22 2.0411515 2.041 SS PP （n-