2024-2025学年广州市荔湾区八年级下学期期末数学试题及答案

初中初中广东省广州市荔湾区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式中是最简二次根式的是（

）A．a2+b2 B．a−b2 2．下列计算正确的是（

）A．12=32 C．62=33．一组数据的方差为s2=1A．5 B．4 C．30 D．204．△ABC的三条边分别记为a，b，c，三个内角分别记为∠A，∠B，∠C，则由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（

）A．a：b：C．∠A+∠B=2∠C D．a=2，b=3，c=45．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（

）年龄（单位：岁）13141516频数（单位：名）812x10−xA．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．众数，方差 D．平均数，方差6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（A．33 B．35 C．3+37．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC=10，BD=24，则OM的长为（

）A．5 B．132 C．6 D．8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（A．5s时，两架无人机都上升了B．10s时，两架无人机的高度差为C．乙无人机上升的速度为6D．10s时，甲无人机距离地面的高度是9．在平面直角坐标系中，已知点A2,0，B4,0，动点P在直线y=x上，当PA+PB的值最小时，点P的坐标是（A．2,2 B．3,3 C．23,210．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线上，且EF=22，AB=6，给出下列结论：①OD平分∠EOC；②CF=BD=217；③AE=10；④CF⊥AD，其中正确的是（A．①②③ B．③④ C．①③④ D．①②③④二、填空题11．若5+x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．12．某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了10位同学，得到如表数据：这10位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时．时长（小时）56789人数1233113．若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为1：5，则其中较小内角的度数是14．如图，一次函数y1=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数y2=kx(k为常数且k>0)的图象交于点P−4,−2，则关于x15．一次函数y=−2x−3，当m≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤y≤d，那么代数式d−cn−m的值是______16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，△AMN的顶点M，N分别在BC，CD边上，且MN=BM+DN，连接BD分别交AM，AN于点E，F.其中DF=22，则EF=______三、解答题17．计算：27+18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，使AE=BD，连接BE，求证四边形19．某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个苹果并编号为1号到10号，测得它们的直径（单位：mm）并制作统计图如图：统计量/供应商平均数中位数众数甲8080a乙80bc根据以上信息，解答下列问题：(1)a=______，b=______，c=______；(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；（填“甲”或“乙”）(3)超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果20．某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买A，B两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多80元，购买3台A型机器人模型和购买5台B型机器人模型的费用相同．(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？(2)学校准备购买A型和B型机器人模型共20台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，设购买A型机器人模型a台，购买A，B两种型号机器人模型共花费w元，求出w关于a的表达式，并求出购买多少台A型机器人模型时，w取值最小？最小是多少？21．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，其中BC=10．(1)如图1，若∠CBE=15°，求AB的长；(2)如图2，若AB=6，求EC的长．22．已知点A0,2，B4,0及第一象限的动点Px,y，且x+y=6，设△AOP，△BOP的面积分别为S(1)分别求出S1，S2关于x的函数解析式，以及相应(2)请判断S1=S(3)画出S1.S2的函数图象，并根据图象回答23．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在CD上，AE=5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AB−BC−CD向点D运动，到点D停止，设点P运动的时间为t秒．(1)当四边形APCE是平行四边形时，求t的值；(2)请用含有t的代数式表示出线段BP的长；(3)当t为何值时，△APE为直角三角形？请说明理由．24．如图，直线l1:y=43x+4分别交x轴，y轴于点B和点A，直线l2:y=kx+b分别交x轴，y轴于点D和点C，l(1)求直线l2(2)如图2，连接AD，将△DAB绕点D顺时针旋转90°得到△DA′B′，边A′B′(3)在（2）的条件下，将直线l2平移经过点B，得直线l3，将△AOB沿直线l3平移得到△A1O1B1，其中边A1B1所在直线与x轴交于点F，点G是直线l225．如图，平行四边形ABCD中，BC=BD，点F是线段AB的中点，过点C作CG⊥BD交BD于点G，CG的延长线交DF于点H，且CH=DB．(1)如图1，若DH=1，求FH的值；(2)如图2，连接FG，求证：DB=2(3)如图3，延长FG交CD于点N，求HGDN《广东省广州市荔湾区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷》参考答案1．A【分析】本题考查了最简二次根式的定义．最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．逐一分析各选项即可．【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：A2．D【分析】本题考查了二次根式的性质及运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的性质和二次根式的运算法则逐项计算，从而得出答案．【详解】解：A、12=2B、2，3不是同类二次根式，不可以合并，故本选项错误，不符合题意；C、62D、22故选：D．3．D【分析】根据方差的公式可以得到平均数，用平均数乘上这组数据的个数即可得解．本题考查方差公式的定义与意义，从方差的公式可以得到平均数是解题的关键．【详解】由方差公式可知，数据组的平均数为4．数据个数为5，因此总和为平均数乘以个数，即4×5=20．故选：D．4．B【分析】本题考查了直角三角形的判定；根据勾股定理逆定理和角度关系逐一分析选项，判断是否满足直角三角形的条件即可．【详解】解：A、∵a：b：c=1：1：3，∴设a=k，b=k，c=3∴a2+∴a∴△ABC不是直角三角形，故A不符合题意；B、∵b−c∴b∴b∴△ABC是直角三角形，故B符合题意；C、∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C+∠C=180°，∴∠C=60°，∴∠A+∠B=120°，∴△ABC不一定是直角三角形，故C不符合题意；D、∵a2+∴a∴△ABC不是直角三角形，故D不符合题意；故选：B．5．B【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，则总人数为：8+12+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；故选：B．6．A【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出AB的长，再根据作图得出AB=AD=BD=3【详解】解：由勾股定理得，AB=A∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，∴AB=AD=BD=3∴△ABD的周长为33故选：A．7．B【分析】此题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，根据勾股定理求出BC的长是解题的关键．由菱形的性质得AC⊥BD，OC=12AC=5，OB=12BD=12，则【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=5∴∠BOC=90°，∴BC=O∵点M为AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM=1故选：B．8．B【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，A．5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了C．甲无人机的速度为：40÷5=8m/s，乙无人机的速度为：40−30B．10s时，两架无人机的高度差为：8×10D．10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10=80故选：B．9．D【分析】本题考查了一次函数与几何综合；作点C为点B关于y=x的对称点，则C0,4，连接AC交直线y=x于点P，此时点P就是PA+PB的值最小时的位置，设直线AC的解析式为y=kx+4，代入点A2,0，求出y=−2x+4，将【详解】解：如图，作点C为点B关于y=x的对称点，则C0,4，连接AC交直线y=x于点P，此时点P就是PA+PB设直线AC的解析式为y=kx+4，代入点A2,02k+4=0，解得k=−2，∴y=−2x+4，当y=x时，x=−2x+4，解得x=4∴P4故选：D10．C【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据正方形的性质得∠DOE=45°，进而得出∠DOC=∠DOE=45°，可解答①；连接DF交OE于点P，FD的延长线交BC的延长线于点H，根据正方形的性质结合勾股定理得OE,接下来说明四边形OCHP是矩形，然后根据勾股定理分别求出CF，BD，可解答②；再结合OA，OE，根据AE=OA+OE说明③；设CF与AD交于点M，AD于OC交于点N，证明△AOD≌△COE，可得∠OAD=∠OCF，再说明【详解】解：①在正方形ABCO中，∠AOC=90°，AO=CO，∵点A，O，E在同一直线上，∴∠COE=90°，在正方形DEFO中，∠DOE=90°，∠DOE=45°，∴∠DOC=∠COE−∠DOE=45°，∴∠DOC=∠DOE=45°，∴OD平分∠EOC，故结论①正确；②连接DF交OE于点P，FD的延长线交BC的延长线于点H，如图所示：在正方形DEFO中，EF=OD=OF=22，DF⊥OE，OP=DP=PE=12在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE=E∴OP=DP=1在正方形ABCO中，OA=AB=BC=OC=6,∠AOC=∠OCB=90°，∴∠COP=∠OPH=∠OCH=90°，∴四边形OCHP是矩形，∴CH=OP=2,PH=OC=6，∴FH=PH+PF=6+2=8，DH=PH−DP=6−2=4,BH=CB+CH=6+2=8，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF=在Rt△BDH中，由勾股定理得：BD=∴CF≠BD，故结论②不正确；③∵OA=6，OE=4，∴AE=OA+OE=6+4=10，故结论③正确；④设CF与AD交于点M，AD与OC交于点N，如图所示：∵∠AOC=∠DOE=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOE+∠COD,∴∠AOD=∠COE，在△AOD和△COE中，AO=CO∠AOD=∠COE∴△AOD≌△COE(SAS∴∠OAD=∠OCF，在△OAN中，∠OAD+∠ONA+∠AOC=180°，在△AMN中，∠OCF+∠MNC+∠CMN=180°.又∵∠ONA=∠MNC，∴∠AOC=∠CMN=90°，∴CF⊥AD，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①③④．故选：C.11．x≥−5【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：5+x≥0，∴x≥−5，∴实数x的取值范围是x≥−5．故答案为：x≥−5．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．12．7.1【分析】本题考查了求平均数．根据平均数的运算法则计算即可．【详解】解：这10位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是：110故答案为：7.1．13．30°【分析】本题考查了平行四边形的性质．设相邻两个内角分别为x，5x，由平行四边形的相邻内角互补求出x=30°即可．【详解】解：设相邻两个内角分别为x，5x，由平行四边形的相邻内角互补，可得x+5x=180°，∴x=30°，∴其中较小的内角为30°．故答案为：30°．14．x=−4【分析】本题考查了一次函数的交点问题．根据交点作答即可．【详解】解：∵一次函数y1=ax+b（a,b为常数且a≠0）与正比例函数y2=kx∴关于x的方程ax+b=kx的解是x=−4，即关于x的方程a−kx+b=0的解是x=−4故答案为：x=−4．15．2【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数中k=−2<0所得性质是解决本题的关键．先分析一次函数y随x的增大而减小，再将点带到一次函数解析式中可得d与m的关系，c与n的关系，代入即可求解．【详解】解：∵一次函数中k=−2<0，∴y随x的增大而减小，∵当m≤x≤n时，函数y的取值范围是c≤y≤d，∴当x=m时，y=d；当x=n时，y=c，∴(m,d)，(n,c)在一次函数图象上，∴d=−2m−3①，c=−2n−3②，∴d−c=2(n−m)，∴d−c故答案为：2．16．5【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点A作AH⊥AN交CB的延长线于点H，过点B作BK⊥BD交AH于点K，连接EK，可知∠HAN=90°，∠KBE=90°，根据正方形的性质得到AB=AD=6，∠ABC=∠ADN=∠BAD=90°，∠ADF=∠ABE=45°，进而得到∠BAH=∠DAN，证明△ABH≌△ADN，△AMH≌△AMN，△ABK≌△ADF，△AKE≌△AFE，根据勾股定理求出BD=62，设EF=x，由勾股定理求出x=【详解】解：过点A作AH⊥AN交CB的延长线于点H，过点B作BK⊥BD交AH于点K，连接EK，如图所示：∴∠HAN=90°，∠KBE=90°，在正方形ABCD中，AB=AD=6，∠ABC=∠ADN=∠BAD=90°，∠ADF=∠ABE=45°，∴∠ABH=∠ADN=90°，∠HAN=∠BAD=90°，∴∠BAH+∠BAN=∠BAN+∠DAN，∴∠BAH=∠DAN，在△ABH和△ADN中，∠ABH=∠ADN=90°AB=AD∴△ABH≌△ADNASA∴BH=DN，AH=AN，∴MH=BM+BH=BM+DN，∵MN=BM+DN，∴MH=MN，在△AMH和△AMN中，AH=ANMH=MN∴△AMH≌△AMNSSS∴∠MAH=∠MAN，∵∠KBE=90°，∠ABE=45°，∴∠ABK=∠KBE−∠ABE=45°，∴∠ABK=∠ADF=45°，在△ABK和△ADF中，∠BAH=∠DANAB=AD∴△ABK≌△ADFASA∴BK=DF=22，AK=AF在△AKE和△AFE中，AK=AF∠MAH=∠MAN∴△AKE≌△AFESAS∴EK=EF，在Rt△ABD中，AB=AD=6由勾股定理得：BD=A设EF=x，则EK=EF=x，∴BE=BD−DF−EF=62在Rt△EKB中，由勾股定理得：B∴2解得：x=5∴EF=x=5故答案为：5217．3【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是牢记平方差公式，本题先根据平方差公式展开，再化简二次根式，合并各项即可．【详解】解：27=3=318．证明见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由题意得出四边形AEBD是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得证．【详解】证明：∵AE∥BC，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴四边形AEBD是矩形．19．(1)83，79.5，76(2)甲(3)1050个【分析】本题主要考查了众数、中位数、方差、样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）根据众数、中位数的定义求解即可；（2）先求出甲、乙的方差，然后根据方差越小，苹果大小越整齐求解即可；（3）用样本估计整体即可解答．【详解】（1）解：通过观察甲的数据可知83出现的次数最多，故众数a=83；对乙的10个数据进行排序为：75，76，76，76，79，80，81，83，86，88，出现最多的次数为76，所以，中位数为b=79+802=79.5故答案为：83，79.5，76．（2）解：S甲S乙∴S甲2∵5.8<18.4，∴甲的方差比乙的方差小．故答案为：甲．（3）解：3500×3答：大果约1050个．20．(1)A型机器人模型的单价是200元，B型机器人模型的单价是120元(2)购买5台A型机器人模型时，w取值最小，最小是2800元【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出方程与不等式是解题的关键．（1）设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是x−80元，根据题意，列出方程，即可求解；（2）设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型20−a台，根据题意，列出不等式，得到a的取值范围，再得到w关于a的函数关系式，然后一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是x−80元，根据题意得：3x=5(x−80)，解得：x=200，∴x−80=200−80=120，答：A型机器人模型的单价是200元，B型机器人模型的单价是120元；（2）解：设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型20−a台，根据题意得：20−a≤3a，解得：a≥5，∴5≤a<20，根据题意得：w=200a+120(20−a)=80a+2400，∵80>0，∴w随着x的增大而增大，∴a=5时，w最小，w最小答：购买5台A型机器人模型时，w取值最小，最小是2800元．21．(1)5(2)10【分析】本题考查了折叠的性质，30°角的性质，勾股定理．（1）根据折叠的性质得到∠FBC=30°，进而可知∠ABF=60°，根据30°角的性质即可求出AB的长；（2）根据勾股定理求出AF=8，设CE=x，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠FBC=2∠EBC=2×15∴∠ABF=90∴Rt△ABF中，∠AFB=30°，∴AB=1（2）由题知Rt△ABF中，AB=6，BF=BC=10∴AF=B∴DF=AD−AF=10−8=2，设CE=x，则FE=x，DE=6−xRt△DEF中22∴x=10EC的长是10322．(1)S1=x(0<x<6)(2)成立，P(3)图见解析，4<x<6【分析】本题考查一次函数的图象及性质．（1）根据三角形面积公式求解即可；（2）当−2x+12=x时求出P点坐标即可；（3）画出函数图象，直接可得取值范围．【详解】（1）S1S2（2）成立，理由如下：当−2x+12=x时，x=4，∴P4,2（3）由图可知，S1>S23．(1)t=(2)BP=(3)当t为32秒或10秒或338秒时，【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：（1）根据矩形的性质，结合勾股定理求出DE的长，进而求出CE的长，根据平行四边形的对边相等，得到AP=CE=5，求解即可；（2）分点P在AB边上，点P在BC边上，点P在DC边上三种情况进行讨论求解即可；（3）分∠APE=90°和∠AEP=90°两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4，DC=AB=8，∠D=90°，在Rt△ADE∵AE=5，∴DE=A∴CE=8−3=5，∵四边形APCE是平行四边形，∴AP=CE=5，∴2t=5，∴t=5（2）①当点P在AB边上时，0≤t≤4，∵AP=2t，AB=8，∴BP=AB−AP=8−2t；②当点P在BC边上时，4<t≤6，∵点P运动的距离为2t，∴BP=2t−8；③当点P在DC边上时，6<t≤10，如图，则CP=2t−12，∴BP=C∴综上，BP=8−2t（3）①当∠APE=90°时，如图，当点P位于AB边上，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∵∠APE=90°，∴四边形APED为矩形，∴AP=DE=3，∴2t=3，∴t=3②当∠APE=90°时，如图，当点P位于CD边上，此时点P与点D重合，∴2t=8+4+8=20，∴t=10（秒）；③当∠AEP=90°时，则点P位于BC边上，如图，由（2）知BP=2t−8，则CP=BC−BP=12−2t．在Rt△ABP中，A在Rt△ECP中，E在Rt△AEP∵AE∴5∴t=33综上，当t为32秒或10秒或338秒时，24．(1)y=−(2)H(3)22,−223【分析】（1）分别求出点D，E的坐标，即可求解；（2）A′K⊥x轴交于K点，由旋转的性质可得AD=A′D,∠ADA′=∠BDB′=90°（3）先求出l3的解析式为y=−13x−1，设B1m,−13m−1，由平移的性质得：直线A1B【详解】（1）解：令y=0，则x=−3，即B−3,0∴OB=3=3∴OD=2，∴D2,0令x=0，则y=4，即A0,4∵E−2,a在直线y=∴E−2,直线l2：y=k+b分别过点E和点D∴y=−1（2）解：∵A0,4∴OA=4，∵OB=3,OD=2，∴BD=5，A′K⊥x轴交于由旋转的性质得：AD=A′D,∠AD∴∠ADO+∠A′DK=90°∵∠AOD=∠A∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠A∴△AOD≌△DKA∴DK=OA=4，AK=OD=2，∴OK=6，∴A设直线A′B′把点A′6,2，6k解得：k1∴直线A′B′∴H0,（3）解：∵直线l2平移得直线l设l3的解析式为y=−将点B−3,0代入，可得1+s=0解得s=−1，∴l3的解析式为y=−设B1由平移的性质得：直线A1B1∴直线A1B1∴F5设Gn,−当B1F与m+5∴m=19，∴B∴O当B1G与m+n=5∴m=−17，∴B∴O综上所述：O1点坐标为22,−223【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．25．(1)1(2)见解析(3)3【分析】（1）先证明DF⊥AB，DF⊥DC，然后证∠BDF=∠DCH，最后根据AAS证明△DFB≌△CDH，问题随之得解；（2）如图过点F作FJ⊥BD于J，FK⊥CH交CH的延长线于K．过点D作DT⊥BD交FG的延长线于T，连接CT，设FT交CD于N